Εισαγωγή στην Άλγεβρα

Χειμερινό Εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2014-2015. Τμήμα Α.

Περιεχόμενα:

• Ανακοινώσεις

• Γενικές Πληροφορίες

• Ύλη μαθήματος

• Ημερολόγιο Μαθήματος

• Ασκήσεις

• Επιπλέον Υλικό

 

Ανακοινώσεις #

• Η πρώτη Πρόοδος θα γίνει τη Δευτέρα, 3 Νοεμβρίου, στις 10π.μ. στο μεγάλο αμφιθέατρο.
• Αποτελέσματα 1ης Προόδου: πρωτοετείς, μεγαλύτερου έτους, μεταγραφές-εκτός κατάστασης (τα θέματα βρίσκονται στο Ημερολόγιο)
• Δεν θα γίνει το μάθημα της Τρίτης, 23-12-2014.
• Δεύτερη Πρόοδος (Προσοχή: *ΑΛΛΑΓΗ* σε σχέση με την ημερομηνία που είχα αναφέρει στο μάθημα.) Την Τρίτη 13-1-2015 στις 9π.μ. ακριβώς (όχι 9:15 π.χ.) στο Αμφιθέατρο. Διάρκεια: 30 λεπτά.
• Αποτελέσματα 2ης Προόδου: πρωτοετείς, μετεγγραφές και μεγαλύτεροι. Γενικά η 2η πρόοδος πήγε καλά και δεν σας δυσκόλεψε πολύ. Η Τελική Εξέταση θα περιλαμβάνει σε μεγαλύτερο βαθμό αποδείξεις και θεωρία –και θέλει ιδιαίτερη προετομασία. (Η καθυστέρηση στην ανάρτηση των αποτελεσμάτων οφείλεται σε προβλήματα στο ΚΛΔ του ΑΠΘ.)
• Η τελική βαθμολογία του μαθήματος είναι εδώ. Για πρωτοετείς λαμβάνει υπόψη τα ποσοστά 30-30-40. Οι βαθμοί που είναι κάτω από 5 θα πάνε στη Γραμματεία ως ακέραιοι. Αν το όνομά σας δεν είναι στη λίστα, στείλτε μου ένα μήνυμα. (Γενικά, όσοι παρακολούθησαν το μάθημα δεν είχαν πρόβλημα. Πολλοί  άλλοι όμως ήρθαν πολύ απροετοίμαστοι.)

Γενικές Πληροφορίες #

Ώρες παραδόσεων: Τρίτη 2-3μμ (Δ11), Πέμπτη 9-11πμ (Δ21)

Ώρες ερωτήσεων/αποριών για πρωτοετείς: Δευτέρα 9-11πμ και 1-3μμ, στην Αίθουσα Μ0.

Αξιολόγηση μαθήματος: θα υπάρξουν πρόοδοι (που μετρούν κατά 60%) και τελική εξέταση (για το 40% του τελικού βαθμού). Οι πρόοδοι είναι υποχρεωτικές μόνο για τους πρωτοετείς φοιτητές. Όσοι φοιτητές από μετεγγραφή δεν έχουν δώσει προόδους,  καθώς καθυστέρησε η εγγραφή τους στο ΑΠΘ, θα δώσουν μόνο την τελική εξέταση για το 100% του βαθμού τους.

top

Ύλη μαθήματος#

Σύνολα, Συναρτήσεις. Σχέσεις ισοδυναμίας και σχέσεις διάταξης. Πράξεις σε σύνολο. Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Μαθηματική Επαγωγή. Αρχή της καλής διάταξης. Αριθμήσιμα σύνολα. Το διώνυμο του Νεύτωνα. Στοιχεία συνδυαστικής ανάλυσης. Ομάδες, Δακτύλιοι, Σώματα: ορισμοί και παραδείγματα. Ο δακτύλιος των ακεραίων. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί. Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη. ΜΚΔ, ΕΚΠ. Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών. Ο δακτύλιος των κλάσεων υπολοίπων mod n. Το σώμα Ζ_p. Γραμμικές ισοδυναμίες. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις.

top

 

 

Ημερολόγιο Μαθήματος#

Μάθημα	Ημερομηνία	Περιεχόμενο	Ασκήσεις
B1M1	30-9-2014	Εισαγωγή: Μαθηματικά, αποδείξεις, εικασίες. Παραδείγματα
B1M2	2-10-2014	Συνεπαγωγή και Μαθηματική Επαγωγή: σύντομες παρουσιάσεις. Σύνολα. Δυναμοσύνολο συνόλου.
Β2Μ1	7-10-2014	Καρτεσιανό γινόμενο. Συναρτήσεις: (και τα 3 σημαντικά!) Παραδείγματα. Συναρτήσεις 1:1 και επί. Εικόνα και αντίστροφη εικόνα.
Β2Μ2	9-10-2014	Συναρτήσεις: αντίστροφη εικόνα και αντίστροφη συνάρtηση. Χαρακτηρισμός . Σχέσεις, πιθανές ιδιότητές τους, παραδείγματα. Σχέσεις ισοδυναμίας.
Β3Μ1	14-10-2014	Σχέσεις ισοδυναμίας, παραδείγματα, κλάσεις ισοδυναμίας.  Διαμερισμός συνόλου και Σ.Ι.
Β3Μ2	16-10-2014	Γεωμετρικά παραδείγματα Σ.Ι. και διαμερισμών τους. Ισοδυναμία συνόλων και πληθικότητα. Άπειρο υποσύνολο αριθμήσιμου συνόλου είναι αριθμήσιμο.
Β4Μ1	21-10-2014	Πληθικότητα: αριθμήσιμα. Μη-αριθμησιμότητα του .
Β4Μ2	23-10-2014	Πληθικότητες και η Υπόθεση του Συνεχούς. Θεώρημα για την card . Εισαγωγή στα μερικώς διατεταγμένα σύνολα.
Β5Μ1	30-10-2014	Μαθηματική επαγωγή και παραδείγματα. Δεύτερη ώρα είδαμε τα σετ ασκήσεων ως προετοιμασία για την 1η πρόοδο.
Β6Π1	3-11-2014	Πρώτη Πρόοδος Θέματα
Β6Μ1	4-11-2014	Διαιρετότητα στο Z. Ιδιότητες. Ευκλείδεια διαίρεση.
Β6Μ2	6-11-2014	Απόδειξη ύπαρξης και μοναδικότητας των q,r. Αριθμοί σε βάση b. Παραδείγματα και δυαδικοί αριθμοί. Εισαγωγή στους ΜΚΔ και τον Αλγόριθμο του Ευκλείδη.
Β7Μ1	11-11-2014	Απόδειξη εύρεσης ΜΚΔ με τον Αλγόριθμο Ευκλείδη. Σχέση Bézout.
Β7Μ2	13-11-2014	Άπειρες λύσεις για τη σχέση Bézout. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί. Λήμμα του Ευκλείδη. Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Κόσκινο του Ερατοσθένη.
Β8Μ1	18-11-2014	Αποδείξεις με εις-άτοπον-απαγωγή: δεν είναι ρητός, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Σχόλια για την 1η Πρόοδο.
Β8Μ2	20-11-2014	ΘΘΑ και ΜΚΔ και ΕΚΠ. Γενίκευση για πάνω από 2 αριθμούς. Ισοδυναμία mod n στο Ζ, εισαγωγή.
Β9Μ1	25-11-2014	Οι ακέραιοι mod n. Ιδιότητες (ίδιες με αυτές στο Ζ, και οι 2 είναι δακτύλιοι), παραδείγματα. Κριτήρια διαιρετότητας.
Β9Μ2	27-11-2014	Συζητήσαμε απορίες από τις ασκήσεις (δεν έγινε κανονικό μάθημα, λόγω της απεργίας και έλειψης ΜΜΜ.)
Β10Μ1	2-12-2014	Κριτήρια διαιρετότηταs. Υπολογισμός υπολοίπου διάιρεσης με χρήση mod n αριθμών. Πρώτοι ειδικής μορφής: 4n+3.
Β10Μ2	4-12-2014	Απόδειξη ύπαρξης απείρων πρώτων της μορφής 4n+3. Πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού στα σύνολα  και παρατηρήσεις (αβελιανή ομάδα ως προς πρόσθεση, μη-ύπαρξη αντιστρόφων.)
Β11Μ1	9-12-2014	Συνθήκη για ύπαρξη αντιστρόφου στο Συνάρτηση φ(n) totient του Euler.
Β11Μ2	11-12-2014	Ανάλυση της συνάρτησης φ(n) του Euler. Πολλαπλασιαστική ομάδα   και υπολογισμός αντιστρόφων από τον Ευκλ. αλγόριθμο, παραδείγματα. Ορισμός της συμμετρικής ομάδας .
Β12Μ1	16-12-2014	Σύνθεση συναρτήσεων 1:1 και επί ως “πράξη”, ύπαρξη ταυτοτικού στοιχείου και αντιστρόφων. Γενικός ορισμός ομάδας και παραδείγματα (αβελιανές και μη-αβελιανές).
Β12Μ2	18-12-2014	Η γενική γραμμική ομάδα GL(n,R), ομάδες συμμετρίας. Μοναδικότητα ταυτοτικού στοιχείου και αντιστρόφου. Ιδιότητες πινάκων Cayley. Ομάδες τάξης 2 και 3.  Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί ομάδων, αρχή συμπλήρωσης πίνακα για |G|=4.
Β13Μ1	8-1-2015	Προετοιμασία για τη 2η πρόοδο. Είδαμε ασκήσεις και βασικά αποτελέσματα από τις παραδόσεις και τα σετ ασκήσεων. Δώσαμε τους συνδυαστικούς συντελεστές στο .
Β14Π2	13-1-2015	Δεύτερη Πρόοδος
Β14Μ1	13-1-2015	Ομομορφισμός ομάδων. Πυρήνας και εικόνα. Ομάδες συμμετρίας. Κυκλικές ομάδες.
Β14Μ2	15-1-2015	Υπάρχουν 2 διαφορετικές ομάδες με 4 στοιχεία: , ισόμορφες με κυκλική ομάδα τάξης 4 και με την 4-ομάδα του Klein. Τάξη στοιχείου και απόδειξη ότι διαιρεί την τάξη της ομάδας.

(BnMm σημαίνει Βδομάδα n, Mάθημα m (επομένως m=1 ή 2) )

top

Ασκήσεις#

1. Πρώτο σετ ασκήσεων
2. Δεύτερο σετ ασκήσεων
3. Τρίτο σετ ασκήσεων
4. Τέταρτο σετ ασκήσεων
5. Πέμπτο σετ ασκήσεων
6. Έκτο σετ ασκήσεων
7. Έβδομο σετ ασκήσεων
8. Όγδοο σετ ασκήσεων

top

 

Επιπλέον Υλικό#

• “Transformation of a Math Student’s Learning” από το site της AMS: μιά φοιτήτρια περιγράφει τη διαδικασία εμβάθυνσης της μελέτης των μαθηματικών (η προτελευταία παράγραφος αφορά το δυναμοσύνολο συνόλου!) Προσέξτε επίσης και την ωραία αναφορά αποσπάσματος βιβλίου του Paul Zeitz.

top