Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, Πληροφορίες
Τελική Εξέταση της 31/1: Τα αποτελέσματα αναρτήθηκαν στην ιστοσελίδα στο e-learning. Οι βαθμοί είναι με βάση το 100 (και όχι το 10). Αγνοήστε τελικό βαθμό αν εμφανίζεται, μόνο ο βαθμός της τελικής εξέτασης είναι σωστός. Εάν έχετε απορίες ή θέλετε να δείτε τα λάθη σας, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου σύντομα. Η τελική βαθμολόγηση θα γίνει μετά, αφού οριστικοποιηθούν οι βαθμοί της εξέτασης.
Εξετάσεις Φεβρουαρίου, Οδηγίες για τους φοιτητές εδώ
[18 Νοεμβρίου 2021] Οι αναπληρώσεις συνεχίζονται: Παρασκευές 19/11 και 26/11, ώρα 11-1 στην Μ0. Θα προγραμματιστούν επίσης ώρες ασκήσεων, όπου θα λύσετε, με την βοήθειά μου, ασκήσεις από τις έως τώρα εργασίες.
Αναπληρώσεις: Παρασκευή 5/11 και 12/11, ώρα 11-1, στην αίθουσα Μ0.
Ώρες Γραφείου: Δευτέρα 10-11 και Τρίτη 9-10, ή στείλτε απλά ένα μήνυμα για να κανονιστεί συνάντηση.
Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).
Διδασκαλία: Τρίτη 11-1 (Δ13), Πέμπτη 11-2 (Δ21)
Ενδεικτική βιβλιογραφία:
- M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2nd ed. Dover 2016
- A. Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd ed. Springer 2010 (και στον Εύδοξο, μεταφρασμένη η 1η έκδοση)
- M. Lipschutz: Schaum’s Outline of Differential Geometry, McGraw 1969
- Αρβανιτογεώργος Α.: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Κάλλιπος 2015 (ελεύθερη πρόσβαση)
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
[ν,μ] : ν ώρες, μ ώρες συνολικά (5 ώρες ανά εβδομάδα)
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ, ΩΡΕΣ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ | ΕΡΓΑΣΙΕΣ |
|---|---|---|---|
| 12/10/21 [2,2] | Εισαγωγή: καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο, καμπυλότητα και στρέψη. Επιφάνειες και τύποι καμπυλότητας. | ||
| 19/10/21 [2,4] | Επισκόπηση ΔΧ, γραμμικοί συνδυασμοί και ΔυΧ, βάσεις, θεώρημα διάστασης. Εσωτερικά γινόμενα σε ΔΧ, θετικά ορισμένοι πίνακες. | ||
| 21/10/21 [3,7] | Κριτήρια για θετικά ορισμένο πίνακα, ιδιοτιμές, Sylvester. ΕΓ και θετικά ορισμένοι πίνακες, παράδειγμα. Ορθοκανονικές βάσεις, εύρεση συντεταγμένων. Προβολή σε υποχώρο. Μέθοδος Gram-Schmidt. Γεωμετρική ερμηνεία ορίζουσας. | ||
| 2/11/21 [2,9] | Ορίζουσες σε γενική διάσταση. Το εξωτερικό γινόμενο, ορισμός και δύο τύποι. Τριπλό γινόμενο. ΔΧ και Αφινικοί Χώροι, σημεία και διανύσματα, Καρτεσιανοί γινόμενο R3XR3. Στοιχεία Λογισμού Πολλών Μεταβλητών. Ερώτηση: πώς ορίζεται η παράγωγος συνάρτησης πολλών μεταβλητών; | ||
| 4/11/21 [3,12] | Η παράγωγος ως γραμμική απεικόνιση Διαν.Χώρων σε σημεία. Θεώρημα αντίστροφης συνάντησης και αλλαγή μεταβλητών, παραδείγματα (πολικές, σφαιρικές). Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης, ερμηνεία μέσω γραμμικών συναρτήσεων. | ||
| 5/11/21 [2,14] | Αναπλήρωση 1: ΘΠΣ, εξήγηση, παραδείγματα. Θεωρία Καμπύλων: Ορισμός καμπύλης, συνθήκη κανονικότητας, παραδείγματα. | ||
| 9/11/21 [2,16] | ΘΠΣ, πάλι, εξήγηση. Παραδείγματα καμπύλων. Ανάπτυγμα Taylor καμπύλης κοντά σε σημείο: εφαπτόμενη ευθεία, επιτάχυνση, πότε ορίζεται εφαπτόμενο επίπεδο. | ||
| 11/11/21 [3,19] | Αναπαραμετρήσεις, φυσική παραμέτρηση μήκους, παραδείγματα. Λήμμα: καθετότητα διανύσματος ταχύτητας για κίνηση σε σφαίρα. Καμπυλότητα και μοναδιαία κάθετο πεδίο. | ||
| 12/11/21 [2,21] | Αναπλήρωση 2: Κινούμενη ορθοκανονική βάση σε καμπύλη (Frenet frame). Ανάπτυγμα Taylor, τετραγωνική προσέγγιση από παραβολή. Ορισμός επαφής τάξης k, εφαπτόμενος κύκλος. Τρία επίπεδα σε κάθε σημείο. | Frenet frame έλικας (video) | |
| 18/11/21 [3,24] | Εξισώσεις Frenet-Serret, στοιχεία από θεωρία ΔΕ, η στρέψη. Παραδείγματα, η έλικα. Γεωμετρική ερμηνεία στρέψης. | ||
| 19/11/21 [2,26] | Αναπλήρωση 3: Υπολογισμός στρέψης από φυσική παραμέτρηση. Υπολογισμός συναρτήσεων καμπυλότητας και στρέψης από μη-φυσική παραμέτρηση. Εύρεση πλαισίου Frenet σε σημείο, δύο μέθοδοι. | ||
| 23/11/21 [2,28] | Καμπύλες στο επίπεδο, ορισμός μοναδιαίου καθέτου ΔΠ, καμπυλότητα-με-πρόσημο. Παραδείγματα, υπολογισμός κ από γενική παραμέτρηση. | ||
| 25/11/21 [3,31] | Καμπύλες στο επίπεδο, Παραδείγματα συνέχεια: σπείρα. Προσεγγίσεις, εξισώσεις F-S. Δυσκολίες στον ορισμό γωνίας, γεωμετρικός ορισμός ρυθμού μεταβολής, σχέση με καμπυλότητα. | ||
| 26/11/21 [2,33] | Αναπλήρωση 4: Καμπύλη από συνάρτηση καμπυλότητας, γενίκευση για C^1 και τμηματικά C^2 καμπύλες. Θεωρία επιφανειών: εξήγηση συνθήκης κανονικότητας, παραδείγματα, εφαπτόμενο επίπεδο ως γραμμική προσέγγιση και εφαπτόμενα διανύσματα. | ||
| 30/11/21 [2,35] | Εφαπτόμενο διάνυσμα ως διάνυσμα ταχύτητας καμπύλης στην επιφάνεια. Παραδείγματα, συνέχεια (κύλινδρος, σφαίρα). Mοναδιαίo κάθετο ΔΠ. Ανάγκη για πάνω από μία παραμέτρηση. | ||
| 2/12/21 [3,38] | Ορισμός επιφάνειας, προσανατολίσιμη και μη επιφάνεια, παραδείγματα, η ταινία Möbius. Παραδείγματα επιφανειών (συν.): γραφήματα. Απεικόνιση στοιχείου εμβαδού, παραδείγματα και ερμηνεία. Επιφάνειες εκ περιστροφής, προετοιμασία: περιστροφές και πίνακες τους. | ||
| 7/12/21 [2,40] | Επιφάνειες εκ περιστροφής, στοιχειώδη παραδείγματα, τόρος. Υπολογισμός εμβαδού τμήματος επιφάνειας από συνάρτηση απεικόνισης στοιχείου εμβαδού, παραδείγματα (σφαίρα, τόρος). | ||
| 9/12/21 [3,43] | Αλλαγή παραμέτρησης, παραδείγματα. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή, ορισμός και παραδείγματα. | ||
| 14/12/21 [2,45] | Παραδείγματα, συνέχεια: γραφήματα. Εφαρμογή της ΠΘΜ για υπολογισμό μήκους και γωνίας εφαπτόμενων διανυσμάτων, μήκους καμπύλης πάνω σε επιφάνεια (παραδείγματα: έλικα, λοξοδρομία), εμβαδού τμήματος επιφάνειας, σχέση det Q με συνάρτηση απεικόνισης στοιχείου εμβαδού. | ||
| 16/12/21 [3,48] | Θα δοθούν 3 τρόποι ορισμού "καμπύλωσης" επιφάνειας. Πρώτη προσέγγιση: τοπική απόκλιση από εφαπτόμενο επίπεδο, ορισμός της ΔΘΜ και του συμμετρικού της πίνακα P(u,v). Το φασματικό θεώρημα, κριτήριο του Sylvester. Παραδείγματα, γραφήματα, σχέση με Εσιανό πίνακα, ταξινόμηση σημείων (ελλειπτικά, υπερβολικά, παραβολικά, κυκλικά, επίπεδα), παραδείγματα, ο τόρος. | ||
| 21/12/21 [2,50] | 2η προσέγγιση: Μεταβολή εφαπτόμενου επιπέδου μέσω του ΔΠ n, η απεικόνιση Gauss, παραδείγματα. Ανάγκη ορισμού της παραγώγου της, υπενθύμιση παραγώγου ως γραμμικής απεικόνισης εφαπτόμενων χώρων. | ||
| 23/12/21 [3,53] | Ο πίνακας της παραγώγου ως προς την βάση του εφαπτόμενου επιπέδου. Λήμμα: εναλλακτική μορφή ΔΘΜ. Πρόταση: Μηδενική ΔΘΜ δίνει επίπεδο. 3η προσέγγιση: κάθετη καμπυλότητα καμπύλης στην επιφάνεια, το θεώρημα του Meusnier. | ||
| 11/1/22 [2,55] | Ανάλυση του τελεστή σχήματος, θεώρηση ως απεικόνιση κάθετης καμπυλότητας στο S^1, απόδειξη ότι είναι συμμετρικός, φασματικό θεώρημα, πρωτεύουσες ιδιοτιμές και κατευθύνσεις (ο.κ. βάση του εφ. επιπέδου). | ||
| 13/1/22 [3,58] | Ο τύπος του Euler, γεωμετρικά παραδείγματα. Καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα. Υπολογισμοί πρωτευουσών καμπυλοτήτων και κατευθύνσεων, υπολογιστικά παραδείγματα. | ||
| 18/1/22 [2,60] | Παραδείγματα υπολογισμών, συνέχεια: ο τόρος. Σύνοψη των 3 προσεγγίσεων στην καμπυλότητα επιφάνειας. Αλλαγή παραμέτρησης και ΠΘΜ, ΔΘΜ. | ||
| 20/1/22 [3,63] | Αλλαγή παραμέτρησης και αναλλοίωτο καμπυλότητας Gauss. Ορισμός λείας απεικόνισης μεταξύ επιφανειών. Παράγωγος λείας απεικόνισης επιφανειών. Γραμμική ισομετρία ΕΔΧ και ισομετρία ΕΑΧ. Τοπική ισομετρία μεταξύ επιφανειών, παραδείγματα: κύλινδρος, κώνος. | ||
| 25/1/22 [2,65] | Ισομετρία αλυσοειδούς και ελικοειδούς επιφάνειας. ΔΕ για παραγώγους των ΔΠ βάσης (r_u, r_v, n). | ||
| 27/1/22 [2,67] | Το θεώρημα Bonnet, συνθήκες συμβατότητας: εξισώσεις Codazzi-Mainardi και Gauss, το θεώρημα theorema egregium του Gauss. Απορίες και σχόλια για εργασίες και εξετάσεις. ΤΕΛΟΣ |