Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, Πληροφορίες
[3/11/22] Μαθήματα αποριών και ασκήσεων γίνονται κάθε Τετάρτη στις 12 στην αίθουσα Δ11.
[19/10/2022] Το μάθημα της Δευτέρας, 24/10 του Τμήματος Α της ΚΔΓ Ι (12-2μ.μ.) θα γίνει ηλεκτρονικά στην πλατφόρμα του zoom και στον σύνδεσμο
https://authgr.zoom.us/j/97760950323?pwd=N1Z3TlBPVWg5Y3N1eHhPQUpGTWVTUT09
Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).
Διδασκαλία: Δευτέρα 12-2 (Δ11), Πέμπτη 10-1 (Δ21)
Ενδεικτική βιβλιογραφία:
- M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2nd ed. Dover 2016
- A. Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd ed. Springer 2010 (και στον Εύδοξο, μεταφρασμένη η 1η έκδοση)
- M. Lipschutz: Schaum’s Outline of Differential Geometry, McGraw 1969
- Αρβανιτογεώργος Α.: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Κάλλιπος 2015 (ελεύθερη πρόσβαση)
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
[ν,μ] : ν ώρες, μ ώρες συνολικά (5 ώρες ανά εβδομάδα)
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ, ΩΡΕΣ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ |
|---|---|---|
| 3/10/22 [2,2] | Εισαγωγή: καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο, καμπυλότητα και στρέψη. Επιφάνειες και τύποι καμπυλότητας. | |
| 6/10/22 [3,5] | Επισκόπηση ΔΧ: βάσεις, εσωτερικά γινόμενα, θετικά ορισμένοι πίνακες, ΕΔΧ και ορθοκανονικές βάσεις. | |
| 10/10/22 [2,7] | Εύρεση συντεταγμένων ως προς ο.κ. βάση. Μέθοδος Gram-Schmidt, προβολή διανύσματος σε υποχώρο. Το εξωτερικό γινόμενο στο R3. Προσανατολισμοί βάσεων ΔΧ. | |
| 13/10/22 [3,10] | Τριπλό γινόμενο. Γεωμετρική θεμελίωση της ορίζουσας, διαχωρισμός εννοιών που δεν εξαρτώνται από ΕΓ. Αφινικοί και ΔΧ και ευκλείδειες εκδοχές τους. Καρτεσιανό γινόμενο (ΑΧ,ΔΧ). Η παράγωγος λείας απεικόνισης F: Rn->Rm ως γραμμική απεικόνιση. Διατύπωση του Θεωρήματος Αντίστροφης Συνάρτησης. | |
| 17/10/22 [2,12] | Αφινική προσέγγιση συνάρτησης. Το ΘΑΣ και αλλαγή μεταβλητών, παραδείγματα. Προεργασία για το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης, σύνολο λύσεων mx(k+m)-ΣΓΕ αν rank(A)=m. Πρώτη διατύπωση του θεωρήματος. | |
| 20/10/22 [3,15] | Το Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης, ανάλυση σε σχέση με αφινική προσέγγιση, παραδείγματα. Θεωρία καμπύλων: Ορισμός κανονικής παραμέτρησης καμπύλης, παραδείγματα. | |
| 24/10/22 [2,17] | [Zoom] Παραδείγματα (συν.) έλικες. Επιτάχυνση και μέτρηση καμπύλωσης, ανάγκη να μην έχει γραμμική συνιστώσα. Λήμμα καθετότητας. Αναπαραμετρήσεις, ορισμός συνάρτησης μήκους, η φυσική παραμέτρηση, πχ για την έλικα, δυσκολίες στη γενική περίπτωση. | |
| 31/10/22 [2,19] | Ορισμός συνάρτησης καμπυλότητας και μοναδιαίου κάθετου ΔΠ n(s) όταν η κ δεν είναι 0. Μηδενική κ δίνει ευθύγραμμη κίνηση. Εφαπτόμενο αφινικό πεδίο και ορθοκανονικό σύστημα αφινικών συντεταγμένων. Τετραγωνική προσέγγιση και εφαπτόμενη παραβολή. | |
| 3/11/22 [3,22] | Προσεγγίσεις, εφαπτόμενη ευθεία, εφαπτόμενη παραβολή. Επαφή τάξης k μεταξύ καμπυλών, εφαπτόμενος κύκλος. Δισκάθετο διάνυσμα και η ο.κ. βάση Frenet. Τα τρία επίπεδα σε κάθε σημείο. Εξισώσεις για τις παραγώγους της ο.κ. βάσης. Ορισμός στρέψης. | |
| 7/11/22 [2,24] | Εξισώσεις Frenet-Serret, στοιχεία από θεωρία ΔΕ, η στρέψη. Μηδενική στρέψη δίνει επίπεδη καμπύλη. Παραδείγματα, η έλικα. Γεωμετρική ερμηνεία στρέψης. Υπολογισμός στρέψης από φυσική παραμέτρηση. | |
| 9/11/22 [Τ1] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 10/11/22 [3,27] | Υπολογισμός καμπυλότητας, στρέψης και ο.κ. βάσης από μη-φυσική παραμέτρηση, παραδείγματα. Καμπύλες σε επίπεδο, διαφοροποίηση στον ορισμό μοναδιαίου κάθετου πεδίου και συνάντησης καμπυλότητας, πρόσημο κ και αριστερή/δεξιά στροφή, παραδείγματα. | |
| 14/11/22 [2,29] | Συνέχεια θεωρία καμπυλών στο επίπεδο: Προσεγγίσεις, εφαπτόμενος κύκλος, συμπεριφορά για μη-σταθερή κ, προσαρμογή του θεμελιώδους θεωρήματος, τώρα μόνη της η κ προσδιορίζει καμπύλη, με προσέγγιση ισομετρίας. Καμπυλότητα και ρυθμός μεταβολής γωνίας: δυσκολίες στον ορισμό γωνίας, μόνο ο ρυθμός μεταβολής της είναι καλά ορισμένος, κίνηση σε μοναδιαίο κύκλο. | |
| 21/11/22 [2,31] | Η συνάρτηση ρυθμού μεταβολής και το ολοκλήρωμά της πάνω σε κίνηση, που δίνει συνολική μεταβολή γωνίας Δθ. Στην περίπτωση όπου η κίνηση είναι το διάνυσμα ταχύτητας κανονικής καμπύλης, η συνάρτηση είναι η καμπυλότητα. Ορισμός γενικής καμπύλης και γενικεύσεις (εμβυθισμένη, τμηματικά C^2). Παραδείγματα υπολογισμού συνολικής γωνίας, το θεώρημα Umlaufsatz για απλές, κλειστές καμπύλες, εμβυθισμένες καμπύλες με Δθ 2πn. | |
| 23/11/22 [T2] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 24/11/22 [3,34] | Θεωρία επιφανειών: εισαγωγικά, τί επιτρέπουμε ως επιφάνεια, παραδείγματα. Κανονική παραμέτρηση επιφάνειας, εξήγηση συνθήκης κανονικότητας. Παραδείγματα (αφινικά επίπεδα, κύλινδροι). Η συνθήκη ru X rv μη 0. Μοναδιαίο κάθετο n. Ορισμός εφαπτόμενου διανύσματος και εφαπτόμενου επιπέδου. Παραδείγματα-συν. (σφαίρες). Ορισμός επιφάνειας, πόσες παραμετρήσεις χρειάζονται; | |
| 28/11/22 [2,36] | Προσανατολίσιμες (και μη) επιφάνειες, προσανατολισμός από κάθε παραμέτρηση, η ταινία Möbius. Κατηγορίες επιφανειών: γραφήματα, παραδείγματα. Συνάρτηση απεικόνισης στοιχείου εμβαδού, παραδείγματα. | |
| 30/11/22 [T3] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 1/12/22 [3,39] | Υπολογισμός εμβαδού επιφάνειας. Επιφάνειες εκ περιστροφής: περιστροφές ως ορθογώνιες απεικονίσεις, πίνακες. Συνθήκη κανονικότητας, παραδείγματα (κύλινδρος, σφαίρα, ο τόρος). | |
| 5/12/22 [2,41] | ||
| 8/12/22 | ||
| 12/12/22 | ||
| 15/12/22 | ||