Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
Η βασική ιστοσελίδα του μαθήματος είναι στο e-learning: https://elearning.auth.gr/course/view.php?id=14316 έχει video, εργασίες και άλλο χρήσιμο υλικό. Εδώ θα έχουμε αναλυτικό Ημερολόγιο με την κάλυψη της ύλης.
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Δείτε και τί λέει ένας μεγάλος μαθηματικός, ο Irv Kaplansky, για την σχέση Γραμμικής Άλγεβρας και Γεωμετρίας, και πώς η Γεωμετρία δεν έχει την θέση που της αξίζει στα προγράμματα σπουδών στα Μαθηματικά:
“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary schools; it is jostling calculus for the right to be taught first. Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after all, they do need to know what a projective plane is.” Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 12-2 στην Δ31 και Πέμπτη 12-2 στην αίθουσα Δ21.
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| Ημερομηνία, Ώρες | Κάλυψη ύλης | |
|---|---|---|
| 2/10/23 [2,2] | Εισαγωγή στις έννοιες του μαθήματος, διανυσματικοί, αφινικοί και προβολικοί χώροι. Ευκλείδειες εκδοχές τους. Επισκόπηση ΔΧ: γραμμικοί συνδυασμοί, ανάπτυγμα. | |
| 5/10/23 [2,4] | Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις, παραδείγματα, υποχώροι, Λήμμα ανταλλαγής του Steinitz, Λήμμα επέκτασης βάσης. Άθροισμα υποχώρων, θεώρημα διάστασης. Γραμμικές απεικονίσεις, συναρτήσεις που διατηρούν γραμμικούς συνδυασμούς. Εικόνες βάσης προσδιορίζουν ΓΑ. | |
| 12/10/23 [2,6] | Πίνακας γραμμικής απεικόνισης ως προς βάσεις. Σύνθεση απεικονίσεων οδηγεί σε γινόμενο πινάκων. Εικόνα και πυρήνας, παραδείγματα με γραφικές λύσεις, το θεώρημα rank/nullity, παραδείγματα και (αρχή) απόδειξης. | |
| 19/10/23 [2,8] | Απόδειξη θεωρήματος rank-nullity. Ορίζουσα ώς όγκος-με-πρόσημο και κριτήριο γραμμικής ανεξαρτησίας. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων: παράδειγμα με ερμηνεία συνόλου λύσεων, ΣΓΕ σε μορφή πινάκων, ερμηνεία μέσω γραμμικής απεικόνισης, το σύνολο λύσεων. | |
| 23/10/23 [2,10] | ΣΓΕ και γραμμική απεικόνιση, ύπαρξη και μοναδικότητα, πυρήνας και σύνολο λύσεων, παραδείγματα. Αφινικές ευθείες και επίπεδα (ή παραμετρικές μορφές ευθείας και επιπέδου). | |
| 30/10/23 [2,12] | Αφινικοί συνδυασμοί στην περιγραφή αφινικών ευθειών και επιπέδων. Αφινικοί χώροι: ορισμός, δράση, ορισμός διαφοράς σημείων. Έκφραση σημείου ως αφινικός συνδυασμός σημείων μόνο. | |
| 2/11/23 [2,14] | Αφινικές βάσεις και βαρυκεντρικές συντεταγμένες, φυσική ερμηνεία. Κυρτοί συνδυασμοί. Παραδείγματα ΑΧ και δράσεων: το R^n ως ΑΧ, αφινικές ευθείες και επίπεδα, επιλογή δράσεων, μέθοδος από θεωρία ΣΓΕ (με εύρεση βάσης πυρήνα). | |
| 6/11/23 [2,16] | Αφινικές βάσεις, αφινικές και βαρυκεντρικές συντεταγμένες, αφινικό ανάπτυγμα. Αφινικές απεικονίσεις διατηρούν αφινικούς συνδυασμούς. Παραδείγματα και ερμηνεία. Έκφραση ως προς διανυσματοποιήσεις των 2 Α.Χ. Σύνθεση και αντίστροφο. | |
| 9/11/23 [2,18] | Η αφινική ομάδα Aff(X) ενός ΑΧ, ειδικές κατηγορίες (μετατοπίσεις, διαστολές κλπ). Αφινικοί υποχώροι, και εικόνες τους για αφινικές απεικονίσεις, παραδείγματα. Ορισμός παραλληλίας, παραδείγματα και εξήγηση. Θεώρημα: Κάθε αφινική απεικόνιση διατηρεί παραλληλία. | |
| 13/11/23 [2,20] | Απόδειξη θεωρήματος παραλληλίας. Αφινική Γεωμετρία: ΑΧ με την αφινική του ομάδα. Αλλαγή αφινικής βάσης, ομοιότητα τριγώνων, αλλά όχι τετραπλεύρων, εκτός παραλληλογράμμων. Το Θεώρημα του Θαλή, αφινική απόδειξη. | |
| 20/11/23 [2,22] | Τα θεωρήματα Μενελάου και Ceva στην Αφινική Γεωμετρία. Πολυωνυμικές εξισώσεις στις αφινικές συντεταγμένες ΑΧ, γραμμικές εξισώσεις και σχέση με ΣΓΕ. Τετραγωνική εξίσωση. | |
| 22/11/23 [2,24] | [Αναπλήρωση 1η] Έκφραση τετραγωνικής εξίσωσης με βοήθεια συμμετρικού πίνακα. Mη-συστηματικές απόπειρες απλοποίησης, ανάγκη για αφινική αλλαγή μεταβλητών. Τα βήματα της συστηματικής μεθόδου απλοποίησης τετραγωνικής εξίσωσης, κανονικές μορφές. Πρώτο βήμα: απλοποίηση τετραγωνικού μέρους. Επισκόπηση θεωρίας ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, το Φασματικό Θεώρημα, εφαρμογή σε απλοποίηση τετραγωνικού μέρους. | |
| 23/11/23 [2,26] | Απόδειξη Φασματικού Θεωρήματος, ορθογώνιοι πίνακες. Οι εννέα κανονικές μορφές για τους γεωμετρικούς τόπους λύσεων τετραγωνικής εξίσωσης. Απαλοιφή γραμμικών όρων. | |
| 27/11/23 [2,28] | Οι πέντε μη-εκφυλισμένες κανονικές μορφές, κριτήρια αναγνώρισης, απόδειξη, βασισμένη σε αποτελέσματα για ορίζουσα block-πινάκων. Ευκολία εφαρμογής κριτηρίων, παραδείγματα. | |
| 30/11/23 [2,30] | Αναγνώριση εκφυλισμένων μορφών, κριτήρια και πρακτικός υπολογισμός. Η συνθήκη det C=0 συνεπάγεται ότι ο τετραγωνικός όρος είναι τέλειο τετράγωνο. Κριτήριο για να έχουμε παραβολή. Προβολικοί χώροι: εισαγωγικά, αντιστοίχιση σημείων αφινικού επιπέδου και διανυσματικών ευθειών. | |
| 4/12/23 [2,32] | Ορισμός προβολικού επιπέδου ως συνόλου κλάσεων ισοδυναμίας. Επισκόπηση ΣΙ και ΚΙ, αντιπρόσωποι. Η προβολική ευθεία. Η προβολική "ευθεία" είναι, τοπολογικά, κύκλος! Το προβολικό "επίπεδο" είναι φραγμένο σύνολο που παίρνουμε από δίσκο με ταυτίσεις στον συνοριακό του κύκλο. Παράσταση του RP2 ως το cross cap. | |
| 7/12/23 [2,34] | Ομογενείς συντεταγμένες (=Κ.Ι.). Πολυωνυμικές εξισώσεις δίνουν σύνολο λύσεων σε προβολικό χώρο εφόσον είναι ομογενείς. Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις: μία εξίσωση δίνει προβολική ευθεία. Δύο ομογενείς εξισώσεις δίνουν δύο προβολικές ευθείες που πάντα τέμνονται σε μοναδικό σημείο. Αναγωγή στο αφινικό επίπεδο, ως υποσύνολο του προβολικού, ακόμα και παράλληλες αφινικές ευθείες δίνουν Σημείο τομής (διανυσματική ευθεία παράλληλη σε αυτές.) | |
| 11/12/23 [2,36] | Τετραγωνική ομογενής εξίσωση σε προβολικό επίπεδο, έκφραση μέσω συμμετρικού πίνακα. Οι πέντε κανονικές προβολικές μορφές που δίνει το Φασματικό Θεώρημα και οι τόποι που δίνουν στο R^3 και στο RP^2. Εξήγηση σχέσης με τετραγωνική εξίσωση (μη-ομογενή) σε αφινικό επίπεδο. Πώς παίρνουμε τις 9 αφινικές κανονικές μορφές. Κριτήριο Sylvester αναγνώρισης θετικά ορισμένου πίνακα. | |
| 14/12/23 [2,38] | Απόδειξη κριτηρίου Sylvester. Πρόταση για ύπαρξη αρκετών θετικών ιδιοτιμών και χρήση της για εκλέπτυνση του κριτηρίου του Sylvester, παραδείγματα εφαρμογής. Ανάγκη ορισμού απόλυτων μετρήσεων σε ΔΧ και σε ΑΧ. | |
| 18/12/23 [2,40] | Ευκλείδειοι Διανυσματικοί Χώροι: εσωτερικά γινόμενα, υπάρχουν πολλά, παραδείγματα μή-συνήθους ΕΓ. Το ΕΓ δίνει συνάρτηση (απόλυτου) μέτρου διανύσματος, και έννοια καθετότητας. Ορθοκανονικές βάσεις, ιδιότητα: συντεταγμένες βρίσκονται άμεσα, χωρίς λύση ΣΓΕ, παράδειγμα. Θεώρημα: κάθε διατεταγμένη βάση δίνει ο.κ. βάση, με διατήρηση αναπτυγμάτων και "προσανατολισμών" (Gram-Schmidt), γεωμετρική εικονα της μεθόδου. | |
| 20/12/23 [2,42] | [2η αναπλήρωση] Απορίες πάνω στην ύλη του μαθήματος και τις Εργασίες. | |
| 21/12/23 [2,44] | Προβολή διανύσματος σε υποχώρο, ελαχιστοποίηση και καθετότητα. Η μέθοδος Gram-Schmidt από προβολές. ΕΓ και γωνία: η ανισότητα Cauchy-Schwartz και ορισμός γωνίας. Η τριγωνομετρική ανισότητα. Ορθογώνιες απεικονίσεις, γενικός ορισμός, πίνακας ως προς ορθοκανονική βάση είναι ορθογώνιος ως προ σύνηθες βαθμωτό ΕΓ. | |
| 8/1/24 [2,46] | Πρόταση: Ορθογώνια απεικόνιση είναι και γραμμική, απόδειξη. Η ορθογώνια ομάδα O(V^n) και για πίνακες η O(n,R). Ορίζουσα είναι +/- 1, περιστροφές. Ορθογώνιες απεικονίσεις σε 2 διαστάσεις, για detA=1 έχουμε περιστροφές, και για detA=-1 έχουμε (αντ)ανακλάσεις, ιδιοδιανύσματα και εύρεση ευθείας της ανάκλασης. Ορισμός συνάρτησης απόστασης/μετρικής σε ΑΧ όταν η δράση είναι από ΕΔΧ. Ορισμός Ευκλείδειου Αφινικού Χώρου. | |
| 15/1/24 [2,48] | [11/1/24 δεν έγινε λόγω κατάληψης] Συνάρτηση απόστασης (μετρική) σε ΕΑΧ, αφινική ορθοκανονική βάση. ΕΑΧ είναι το σωστό πλαίσιο για την γνωστή μας Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ισομετρία ΕΑΧ. Θεώρημα: ισομετρία <=> αφινική, με ορθογώνιο γραμμικό μέρος, απόδειξη. Ισομετρίες επιπέδου, προκαταρκτική ταξινόμηση, γεωμετρική εξήγηση περιστροφών. | |
| 18/1/24 [2,50] | Ισομετρίες επιπέδου: γνήσιες ισομετρίες είναι μετατοπίσεις ή περιστροφές (χωρίς μετατόπιση), απόδειξη, σταθερό σημείο. Μη-γνήσιες ισομετρίες είναι η αντανακλάσεις ή ολισθαίνουσες αντανακλάσεις, απόδειξη, η εικόνα του πίνακα (I-P) και το διάνυσμα μετατόπισης c_0, αναλλοίωτη ευθεία σταθερών σημείων ή κανένα σταθερό σημείο. ΤΕΛΟΣ | |
| 6/2/24 [2,52] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] Στην πλατφόρμα του Zoom |