Εαρινό Εξάμηνο 2020-21, Υποχρεωτικό Επιλογής Τομέα Γεωμετρίας, Στ’ εξάμηνο
Συνέχεια της μελέτης των καμπύλων και επιφανειών η οποία ξεκίνησε στο υποχρεωτικό μάθημα ΚΔΓ Ι. Η έμφαση θα είναι αφενός στην περαιτέρω μελέτη της εξωτερικής και εσωτερικής γεωμετρίας επιφανειών, με έννοιες όπως οι γεωδαισιακές καμπύλες και η χρησιμότητα τους, και αφετέρου σε κάποιες ολικές απόψεις, δηλαδή μελέτη ιδιοτήτων καμπύλων και επιφανειών ως σύνολο. Εδώ η παρουσίαση αγγίζει κάποια θέματα τοπολογίας. Το θεώρημα Gauss-Bonnet έχει κεντρική θέση στην βασική αυτή μελέτη.
Το μάθημα γίνεται Παρασκευή 10:15-1 π.μ. (μία ώρα αργότερα απ’ ό,τι εμφανίζεται στο πρόγραμμα), στην πλατφόρμα zoom, και στον σύνδεσμο που εμφανίζεται στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο e-learning (προσβάσιμο σε όσους έχουν κάνει εγγραφή στο μάθημα).
Ημερολόγιο
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ, ΕΒΔΟΜΑΔΕΣ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ |
|---|---|---|
| 19/2/21 [1] | Εισαγωγή | |
| 26/2/21 [2] | Καμπύλη πάνω σε επιφάνεια, ταχύτητα και επιτάχυνση. Κινούμενη βάση κατά μήκος της καμπύλης, κάθετη καμπυλότητα. | |
| 5/3/21 [3] | Γεωδαισιακή καμπυλότητα, γεωδαισιακές καμπύλες, παραδείγματα. | |
| 19/3/21 [4] | Οι εξισώσεις για γεωδαισικές σε μορφή συστήματος ΔΕ 1ης τάξης και οι εφαπτόμενες δέσμες. Τοπική ύπαρξη και μοναδικότητα γεωδαισιακών. Παραδείγματα. Οι καμπύλες που ελαχιστοποιούν την απόσταση μεταξύ σημείων είναι γεωδαισιακές. Απόδειξη. | |
| 26/3/21 [5] | Γεωδαισιακές σε σφαίρα και σε επιφάνειες εκ περιστροφής. Η σταθερά κίνησης του Clairaut. Πρόβλημα αντιστοίχισης διανυσμάτων σε διαφορετικά εφαπτόμενα επίπεδα, μέθοδος μέσω γεωδαισιακών -επισκόπηση. Διανυσματικά πεδία. | |
| 2/4/21 [6] | Παράλληλη μετατόπιση, συναλλοίωτη παράγωγος, γεωδαισιακές και παράλληλη μετατόπιση. Παράδειγμα: παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος παράλληλου κύκλου σφαίρας. | |
| 9/4/21 [7] | Παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος παράλληλου κύκλου σφαίρας, 2η μέθοδος. Γεωδαισιακές σε επιφάνεια εκ περιστροφής, περιγραφή μέσω σχέσης Clairaut. Προετοιμασία για το θεώρημα των Gauss-Bonnet. Ο Gauss για γεωδαισιακά τρίγωνα, ο Bonnet γενίκευσε. Η χαρακτηριστική του Euler για συμπαγείς, κλειστές επιφάνειες, υπολογισμοί για πλατωνικά πολύεδρα. Ολική μορφή του Gauss-Bonnet, υπολογισμοί ολοκληρώματος καμπυλότητας για σφαίρα, τόρο. | |
| 16/4/21 [8] | Θεώρημα Gauss-Bonnet, προετοιμασία για την διατύπωση της τοπικής του μορφής. Ορισμός μεταβολής γωνίας και ρυθμού μεταβολής της. Μεταβολή γωνίας μεταξύ ΔΠ, σχέση με συναλλοίωτη παράγωγό τους. Ερμηνεία της γεωδαισιακής καμπυλότητας ως ρυθμό μεταβολής γωνίας σε σχέση με παράλληλο ΔΠ. | |
| 27/4/21 [9] | Προετοιμασία για το θεώρημα των Gauss Bonnet, συναλλοίωτη παράγωγος και ρυθμός μεταβολής γωνίας. Το θεώρημα Umlaufsatz με περίγραμμα της απόδειξης του Hopf. Η τοπική διατύπωση του θεωρήματος Gauss-Bonnet, απόδειξη. | |
| 14/5 [10] | Τριγωνοποίηση κλειστών επιφανειών, Η χαρακτηριστική του Euler. Προσανατολίσιμες επιφάνειες. Ολική μορφή του Θεωρήματος των Gauss-Bonnet. Εφαρμογές, επιφάνειες με θετική καμπυλότητα παντού είναι ομοιόμορφες με σφαίρα, γεωδαισιακές σε επιφάνεια με μη-θετική καμπυλότητα, διανυσματικά πεδία. | |
| 21/5 [11] | ||
| 28/5 [12] | ||
| 4/6 [13] |