Η δεύτερη εργασία εδώ.
Τετάρτη 9:15-10:30 (Αίθουσα Μ3), Πέμπτη 12-1:30 (Αίθουσα Μ3)
Παρουσίαση στοιχείων της θεωρίας μη-γραμμικών συστημάτων ελέγχου από γεωμετρική σκοπιά. Τα μαθηματικά εργαλεία, από τη Διαφορική Γεωμετρία και τα Δυναμικά Συστήματα, δεν θεωρούνται γνωστά και θα μας απασχολήσουν πρώτα. Έμφαση θα δοθεί και στη θεωρία ευστάθειας, με τοπική αλλά και ολική χρήση συναρτήσεων Lyapunov.
| Ημερομηνία | Κάλυψη Ύλης | Αρχεία |
| 5-10-2016 | Εισαγωγή στη ΓΘΕ. Περιορισμοί της γραμμικής ΘΕ. Χώροι κατάστασης είναι πολλαπλότητες, η δυναμική δεν μπορεί να είναι ολικά γραμμική. Το εκκρεμές. | |
| 6-10-2016 | Διαφορίσιμες πολλαπλότητες, ορισμός και παραδείγματα (σφαίρες, γραφήματα, προβολικοί χώροι). | |
| 12-10-2016 | Παραδείγματα (συνέχεια): γινόμενο πολλαπλοτήτων, τόρος. Ck συναρτήσεις σε πολλαπλότητα, απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων. Ορισμοί εφαπτόμενου διανύσματος. | |
| 13-10-2016 | Παράγωγος Df και γραμμικοποίηση στο Rn. Η εφ. δέσμη T Rn = Rn X Rn. Παράγωγος κατά κατεύθυνση και ορισμός εφ. χώρου σε σημείο πολλαπλότητας. Ιδιότητες και εφ. δέσμη. Παραδείγματα. | |
| 19-10-2016 | Διανυσματικά πεδία στο Rn και σε πολλαπλότητες. Ορισμός και ιδιότητες (τοπικής) ροής. | |
| 20-10-2016 | Γραμμικά διανυσματικά πεδία στο Rn . Εκθετική συνάρτηση πίνακα και τρόποι υπολογισμού της. Παραδείγματα μορφών Jordan, εισαγωγή στα πορτρέτα κίνησης (μέσω παραδείγματος). [26, 27-10 δεν έγιναν μαθήματα.] | |
| 2-11-2016 | Διανυσματικά πεδία σε πολλαπλότητα ως διαφορικοί τελεστές. Η αγκύλη Lie δύο ΔΠ. Η άλγεβρα Lie των ΔΠ. Η αγκύλη για γραμμικά ΔΠ. Σχέση με τις ροές των ΔΠ. | |
| 3-11-2016 | Αγκύλη και εναλλαγή ροών, σχέση με προβλήματα ελέγχου. Ορισμός συστήματος ελέγχου, άλγεβρας Lie ελέγχου και κατανομών. Ενειλιγμένες και ολοκληρώσιμες κατανομές, διατύπωση θεωρήματος Frobenius. | |
| 9-11-2016 | Τοπικές βάσεις κατανομής. Θεώρημα Frobenius και απόδειξή του. | |
| 10-11-2016 | ||
| 23-11-2016 | [Το μάθημα της 16-11 αναβλήθηκε.] Σύνοψη της προσέγγισης των ΣΕ μέσω αλγεβρών Lie ΔΠ. Υποθέσεις για εφαρμογή του θεωρήματος Frobenius. Η φύλλωση Reeb, ολική γεωμετρία φυλλώσεων. Γενίκευση για μη-σταθερό rank: το θεώρημα των Sussmann-Stefan. Ιδιάζουσες φυλλώσεις. Drift-free ΣΕ. | |
| 24-11-2016 | Το ΣΕ του παράλληλου παρκαρίσματος είναι drift-free και πλήρως ελέγξιμο. Ορισμός παραγώγου Lie, υπολογισμός για γραμμικά ΔΠ και ισότητα με την αγκύλη Lie. Γενίκευση: παράγωγος Lie συνάρτησης και διαφορικών μορφών. | |
| 30-11-2016 | Υποπολλαπλότητες. Κανονικά και κρίσιμα σημεία. Κρίσιμες τιμές, θεώρημα των Sard-Brown. Επισκόπηση Λογισμού: θεωρήματα αντίστροφης και πεπλεγμένης συνάρτησης. | |
| 1-2-2016 | Θεώρημα Sard-Brown και θεώρημα κανονικής τιμής. Φυλλώσεις με σύνολα f-1(a), με α κανονική. Whitney: “Κάθε κλειστό σύνολο μπορεί να είναι f-1(a)”. Συναρτήσεις Morse, Λήμμα Morse και μορφές για n=1,2. Σε κάθε πολλαπλότητα υπάρχουν συναρτήσεις Morse. | |
| 7-12-2016 | Θέματα για 1η Εργασία. Συναρτήσεις Morse, μετρικές Riemann σε πολλαπλότητα, ΔΠ κλίσης, θετικά ορισμένοι πίνακες και εσωτερικά γινόμενα. | |
| 8-12-2016 | Πεδία κλίσης και ιδιότητές τους. Δυναμικά συστήματα: Μη-εκφυλισμένα σημεία ισορροπίας είναι μεμονωμένα. Οριακά σημεία. | |
| 14-12-2016 | Δυναμικά Συστήματα και Ευστάθεια: ορισμός ευστάθειας και ασυμπτ. ευστ., παραδείγματα: γραμμικά ΔΣ στο R2 και γενικά σε Rn. Προβλήματα πραγματικών κανονικών μορφών πινάκων. | |
| 15-12-2016 | Αναλλοίωτοι υποχώροι για γραμμικά ΔΣ (ευσταθής/ασταθής και ουδέτερος). Δομική ευστάθεια: γενικά, δυσκολίες ορισμού ισοδυναμίας ΔΣ, με παραδείγματα. Ορισμός τοπολογικής τροχιακής ισοδυναμίας και διατύπωση του θεωρήματος των Hartman-Grobman. | |
| 21-12-2016 | Ταξινόμηση ΔΣ μέσω ΤΤΙ, υπερβολικά γραμμικά ΔΣ μέσω της διάστασης του ασταθούς υποχώρου. Το θεώρημα Hartman-Grobman δεν ισχύει για μη-υπερβολικά ΣΙ: κέντρο στο επίπεδο και μη-γραμμικές διαταραχές, ΔΣ σε πολικές συντεταγμένες. ΔΣ στον κύκλο. | |
| 22-12-2016 | Τοπολογίες σε χώρους συναρτήσεων και χώρους ΔΠ. Ορισμός δομικής ευστάθειας, παραδείγματα δομικά ασταθών ΔΣ. Εγκαρσιότητα και θεώρημα Thom. | |
| 18-1-2017 | Εγκαρσιότητα: ορισμός δεσμών πιδάκων (jet bundles) και παραδείγματα. Το θεώρημα εγκαρσιότητας για πίδακες του Thom. Εφαρμογές: θεωρήματα Whitney και ύπαρξη συναρτήσεων Morse (διατύπωση μόνο). | |
| 19-1-2017 | Στρωμάτωση της δέσμης πιδάκων με τα σύνολα Sr. Σύνολα πινάκων σταθερού βαθμού. Απόδειξη του θεωρήματος του Whitney για τις εμβυθίσεις. | |
| 25-1-2017 | Συναρτήσεις Morse είναι άφθονες, από το θεώρημα εγκαρσιότητας, και για υποπολλαπλότητες του RN (γενικές συναρτήσεις ύψους, απόστασης). Θεωρία Morse: θεώρημα μη-κρίσιμου λαιμού, προσθήκη k-χερουλιού για κρίσιμο σημείο δείκτη k. | |
| 26-1-2017 | Σύνοψη Θεωρίας Morse. Θεώρημα ύπαρξης ευσταθούς και ασταθούς πολλαπλότητας για υπερβολικό ΣΙ. Απεικόνιση Poincaré και διακριτά ΔΣ, υπερβολικότητα, οριακοί κύκλοι. Ορισμός non-wandering set, Morse-Smale ΔΣ και θεώρημα Peixoto. | |
| 1-2-2017 | Chain-recurrent set και διαφορές με το non-wandering set. Θεώρημα Conley. Συναρτήσεις Lyapunov στη θεωρία ΔΣ και στη θεωρία Ευστάθειας και ΣΕ. Θεώρημα Lyapunov. | |
| 2-2-2017 | Απόδειξη θεωρ. Lyapunov. Χαμιλτονιανά ΔΠ και σύγκριση με ΔΠ κλίσης, το εκκρεμές χωρίς και με τριβές. | |
| 8-2-2017 | Το εκκρεμές με απόσβεση. Ασυμπτωτική ευστάθεια από συναρτήσεις Lyapunov και η αρχή του LaSalle. Περιοχή έλξης. | |
| 9-2-2017 | Ελεγχόμενη δυναμική, εισαγωγή: αφινική δέσμη, ιδιάζον σύνολο, εγκάρσιες πολλαπλότητες και δυναμική πάνω τους. Ανάλυση γραμμικού ΣΕ. Σχέση με άλλες μεθόδους. [ΤΕΛΟΣ] |