Περιεχόμενα
[26/3/2019] Μία πρώτη συλλογή ασκήσεων είναι εδώ, η οποία θα εμπλουτιστεί σύντομα και θεωρείται προσωρινή (μικρή διόρθωση στην #2, 15-4).
Διδασκαλία: Τρίτη 11-1 (Μ3) και Πέμπτη 1-2 (Μ3) (19-3: αλλαγή αίθουσας (Μ3) τις Πέμπτες, 14-2: έχει γίνει αλλαγή στις ώρες και την αίθουσα της Τρίτης.)
Πρώτο μάθημα: παρακαλώ πείτε μου πώς σας φάνηκε η επισκόπηση του Διανυσματικού Λογισμού που κάναμε (όλα γνωστά; πολύ γρήγορο; πολύ αργό;…) –με email ή αν προτιμάτε ανώνυμα συνεννοηθείτε και ας μου πει ένας εκ μέρος όλων.
Περιεχόμενο μαθήματος: Επισκόπηση στοιχείων Διανυσματικής Ανάλυσης. Εναλλασσόμενη άλγεβρα. Διαφορικές μορφές σε διανυσματικό χώρο, εξωτερικό γινόμενο και διαφορικό μορφής. Πολλαπλότητες με σύνορο, το θεώρημα του Stokes. Λήμμα του Poincaré. Ορισμός συνομολογίας de Rham.
Βιβλιογραφία:
- Spivak, Michael Λογισμός σε Πολλαπλότητες, μια μοντέρνα προσέγγιση στα κλασικά θεωρήματα του Προχωρημένου Λογισμού (Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 235)
- do Carmo M. Διαφορικές Μορφές: Θεωρία και Εφαρμογές (Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 50659160)
- Hubbard J. and B. Διανυσματικός Λογισμός, Γραμμική Άλγεβρα και Διαφορικές Μορφές (Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 22767187)
Ημερολόγιο μαθήματος
[ν,μ], όπου ν ώρες διδασκαλίας μαθήματος και μ το σύνολο των ωρών έως τώρα.
| Ημερομηνια, ώρες | Καλυψη υλης | Αρχεια | Εργασιες |
|---|---|---|---|
| 12-2-2019 [2,2] | Εισαγωγή. Πώς εμφανίζονται οι διαφορικές μορφές στην Διανυσματική Ανάλυση, τοπολογικές συνθήκες και τα θεωρήματα Stokes και Gauss. | ||
| 14-2-2019 [1,3] | Εναλλασσόμενες μορφές σε Δ.Χ., βασικοί ορισμοί και ιδιότητες, βάση του ΔΧ των εναλ. k-μορφών. | ||
| 19-2-2019 [2,5] | Οι τρεις ΔΧ ίδιας διάστασης  δεν είναι κανονικά ισόμορφοι. Συναρτητής  , για γραμ. απεικ. Τ. Η ορίζουσα. Το σφηνοειδές (wedge) γινόμενο (ή εξωτερικό), παραδείγματα υπολογισμού. | ||
| 21-2-2019 [1,6] | Χαρακτηρισμός από ιδιότητες, κανονικοποίηση. Βάση k-μορφών μέσω γινομένου 1-μορφών της δυϊκής βάσης, παραδείγματα. | ||
| 26-2-2019 [2,8] | Επισκόπηση της θεωρίας διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων. | ||
| 28-2-2019 [1,9] | Εφαπτόμενη και συνεφαπτόμενη δέσμη, καρτεσιανό γινόμενο πολλ'των, πηλίκο για fixed-point-free involution, προβολικοί χώροι. | ||
| 5-3-2019 [2,11] | Διαφορικές μορφές, γενικοί ορισμοί. 1-μορφές και το διαφορικό συνάρτησης, η δυϊκή βάση dx^i. Σφηνοειδές γινόμενο διαφ. μορφών, η παράγωγος d μορφών και ιδιότητές της. | ||
| 14-3-2019 [1,12] | Η παράγωγος d και το σύμπλοκο de Rham, ύπαρξη και μοναδικότητα. Φυσικότητα (αντιμετάθεση d και f*). | ||
| 19-3-2019 [2,14] | Προσανατολισμοί: πώς συναντούνται στην Διαν. Ανάλυση. Προσ'μοί ΔΧ, δύο δρομοσυνεκτικές συνιστώσες. Προσανατολίσιμες πολλαπλότητες. | ||
| 21-3-2019 [1,15] | Υπο-πολλαπλότητα αντίστροφης εικόνας είναι προσανατολίσιμη. Πολλαπλότητες με σύνορο. | ||
| 26-3-2019 [2,17] | Ολοκληρώματα σε πολλαπλότητες: επικαμπύλια ολοκληρώματα και αναπαραμετρήσεις. Αλλαγή μεταβλητών, γεωμετρική θεώρηση. | ||
| 28-3-2019 [1,18] | Ορισμός ολοκληρώματος διαφορικής n-μορφής σε πολλαπλότητα. Partitions of unity. | ||
| 2-4-2019 [1,19] | Partitions of unity, ορισμός σε πολλαπλότητα. Το ολοκλήρωμα n-μορφής μέσω του ολοκληρώματος Lebesgue. | ||
| 4-4-2019 [2,21] | Συνέχεια του ορισμού ολοκληρώματος n-μορφής, densities και ολοκληρώματα σε μη-προσανατολίσιμες πολ'τες. | ||
| 9-4-2019 [2,23] | Πολλαπλότητες με σύνορο (ΠμΣ). Τοπικό μοντέλο ημι-χώρος, διαφορομορφισμοί. Πολλαπλότητες με σύνορο, το σύνορο είναι πολλαπλότητα. | ||
| 16-4-2019 [2,25] | Συμβατοί προσανατολισμοί συνόρου πολλ. Το θεώρημα του Stokes: γεωμετρική ερμηνεία μέσω συνόρου στοιχειώδους παραλ'έδου. | ||
| 18-4-2019 [2,27] | Το θεώρημα του Stokes, απόδειξη. | ||
| 7-5-2019 [2,29] | Ορισμός της συνομολογίας de Rham. Συνοπτική παρουσίαση της θεωρίας της simplicial homology, παραδείγματα. Δυϊκές έννοιες: (co)cycles, (co)boundaries κοκ. | ||
| 9-5-2019 [2,31] | de Rham cohomology, ορισμός ως functor, με απόδειξη. Στοιχειώδεις υπολογισμοί:  για κλειστή πολ'τα. | ||
| 14-5-2019 [2,33] | Ομοτοπικές απεικονίσεις, ομοτοπική ισοδυναμία ΤΧ, retractions και deformation retractions, παραδείγματα. | ||
| 16-5-2019 [2,35] | Αναφορά σε simple homotopy equivalence. Ομοτοπικές απεικονίσεις και η κατηγορία hTop. Αναλλοίωτο ομοτοπίας της συνομολογίας de Rham, προεργασία απόδειξης. | ||
| 21-5-2019 [2,37] | Απόδειξη αναλλοίωτου ομοτοπίας της συνομολογίας de Rham. Πορίσματα, το Λήμμα του Poincaré. | ||
| 23-5-2019 [1,38] | Το κλασικό Λήμμα του Poincaré για star-shaped σύνολα και τύπος για την αντι-παράγωγο. Συνέπειες για τα κλασικά πεδία. | ||
| 28-5-2019 [2,40] | Συμμετρικές διγραμμικές μορφές. Δείκτης σ.δ.μ. και τετραγωνικοί χώροι. Semi-Riemannian πολλαπλότητες. | ||
| 30-5-2019 [1,41] | Προετοιμασία για ορισμό του τελεστή *, δυϊκός χώρος χώρου εναλλασ. μορφών, οι ισομορφισμοί  μεταξύ ΔΧ και δυϊκού του από το ΕΓ. | ||
| 4-6-2019 [2,43] | Επισκόπηση ΔΧ με γινόμενο μη-0 δείκτη, ορθοκανονικές βάσεις. Ορισμός βαθμωτού γινομένου στον ΔΧ  , αντίστοιχη ο.κ. βάση. | ||
| 6-6-2019 [2,45] | Ορισμός του τελεστή * σε τετραγωνικό ΔΧ και σε semi-Riemannian πολλαπλότητα. Η αντι-παράγωγος δ. Επισκόπηση αποτελεσμάτων της θεωρίας Hodge. ΤΕΛΟΣ |