Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, πληροφορίες
[20/10/20] Κάθε βδομάδα έχουμε 4 βίντεο στο e-learning. Μην ξεχάσετε να συμβουλεύεστε και το Ημερολόγιο, πιο κάτω σε αυτή την ιστοσελίδα, όπου περιγράφεται η κάλυψη της ύλης, και όπου θα αναρτάται χρήσιμο υλικό (εργασίες κλπ).
[8/10/20] Τα τέσσερα βίντεο της πρώτης βδομάδας είναι διαθέσιμα (Πέμπτη 8/10, 8:30π.μ.). Καθώς καλύπτουν αρκετά μεγάλο μέρος της Γραμμικής Άλγεβρας, συνιστάται η προσεκτική τους μελέτη, επικουρούμενη από εξάσκηση μέσω παραδειγμάτων.
Τα video πλέον πρέπει να παίζουν αυτόματα σε παράθυρο μέσα στην ιστοσελίδα, Για τυχόν προβλήματα, ενημερώστε με άμεσα.
[1/10/20] Στην συνάντηση στο zoom σήμερα δόθηκαν διευκρινίσεις σχετικά με το μάθημα και εξηγήθηκε ο τρόπος διδασκαλίας. Τα μαθήματα θα είναι διαθέσιμα ως video στην πλατφόρμα του e-learning. Εν καιρώ, θα γίνουν και μαθήματα αποριών στο zoom. Έως να οργανωθούν οι λίστες των εγγεγραμμένων φοιτητών, η πλατφόρμα θα έχει ανοικτή πρόσβαση, αλλά καθώς δεν υπάρχει δυνατότητα επικοινωνίας με ανακοινώσεις στο forum και email, παρακαλείστε να παρακολουθείτε τις δύο ιστοσελίδες του μαθήματος.
Γενικά: Η Εισαγωγή στη Γεωμετρία Ι είναι νέο υποχρεωτικό μάθημα του Γ’ εξαμήνου. Η ύλη είναι παρόμοια με αυτή του μαθήματος Αναλυτική Γεωμετρία Ι, το οποίο έχει καταργηθεί, αλλά είναι σε ελαφρά υψηλότερο επίπεδο. Σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα σπουδών, όσοι έχουν περάσει την ΑΓ Ι δεν χρειάζεται να πάρουν το μάθημα. Καθώς οι φοιτητές του 2ου έτους έχουν ήδη διδαχθεί την Αναλυτική Γεωμετρία Ι στο 2ο εξάμηνο, φέτος το μάθημα διδάσκεται μόνο για να διευκολύνει όσους το χρωστάνε από προηγούμενα εξάμηνα, και σε ένα ενιαίο τμήμα. Το Εαρινό Εξάμηνο θα διδαχθεί η συνέχεια αυτού του μαθήματος ως το μάθημα Εισαγωγή στη Γεωμετρία ΙΙ (ΥΕ Τομέα Γεωμετρίας), προσφέροντας έτσι μια ολοκληρωμένη παρουσίαση των διαφόρων τύπων Γεωμετρίας.
[Η πρώτη συνάντηση έγινε την Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου, στις 10π.μ., στην πλατφόρμα Zoom, όπου και συζητήθηκε αναλυτικά ο τρόπος που θα γίνει το μάθημα φέτος. Το μάθημα συνεχίζεται με video και, αργότερα, μαθήματα ασκήσεων και αποριών στο zoom.]
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Δείτε και τί λέει ένας μεγάλος μαθηματικός, ο Irv Kaplansky, για την σχέση Γραμμικής Άλγεβρας και Γεωμετρίας, και πώς η Γεωμετρία δεν έχει την θέση που της αξίζει στα προγράμματα σπουδών στα Μαθηματικά:
“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught
everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary
schools; it is jostling calculus for the right to be taught first.
Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as
the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear
algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar
becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing
up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after
all, they do need to know what a projective plane is.”
Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 11-1 και Πέμπτη 10-12.
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος θα υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| Ημερομηνια, Ωρες | Καλυψη υλης | Αρχεια | Εργασιες |
|---|---|---|---|
| 1η Εβδομάδα 6-10-2020 [2,2] | Εισαγωγή στις έννοιες του μαθήματος, διανυσματικοί, αφινικοί και προβολικοί χώροι. Επισκόπηση ΔΧ, ανάπτυγμα, ανεξαρτησία, βάσεις. | ||
| 1η Εβδομάδα 8-10-2020 [2,4] | Βάσεις, Λήμμα ανταλλαγής του Steinitz, θεώρημα επέκτασης βάσης, υποχώροι, ορισμός U+W, θεώρημα διαστάσεων. Γραμμικές απεικονίσεις, προσδιορισμός μέσω εικόνων διανυσμάτων βάσης, έκφραση, ως προς επιλογές βάσεων, με πίνακα. Διατύπωση θεωρήματος βαθμού-μηδενικότητας (rank-nullity). | ||
| 2η Εβδομάδα 13-10-2020 [1,5] | Θεώρημα rank-nullity, παραδείγματα. Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων και γινόμενο πινάκων. Γεωμετρική ερμηνεία ορίζουσας. | ||
| 2η Εβδομάδα 14-10-2020 [2,7] | Ορίζουσες, 3Χ3 και γενική περίπτωση. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων, απλά παραδείγματα, ερμηνεία μέσω ΔΧ και γραμμικών απεικονίσεων. Ύπαρξη και μοναδικότητα. | ||
| 2η Εβδομάδα 15-10-2020 [1,8] | Παραδείγματα ΣΓΕ, υπολογισμός πυρήνα και συνόλου λύσεων. | ||
| 3η Εβδομάδα 20-10-2020 [2,10] | Παραδείγματα ΣΓΕ, συνέχεια. Παραμετρική μορφή ευθείας και επιπέδου, αφινικοί συνδυασμοί. | ||
| 3η Εβδομάδα 22-10-2020 [2,12] | Ορισμός αφινικών χώρων και δράσης ΔΧ σε ΑΧ. Αφινικοί συνδυασμοί. Παραδείγματα. | ||
| 4η Εβδομάδα 27-10-2020 [2,14] | Συνέχεια παραδείγματος αφινικού επιπέδου, χρήση πυρήνα για ορισμό δράσης. Αφινικοί συνδυασμοί. Αφινικές βάσεις (δύο μορφές, συμμετρική και μή-συμμετρική), αφινικές και βαρυκεντρικές συντεταγμένες. Θεώρημα: οι τρείς διάμεσοι ευθείες τριγώνου έχουν κοινό σημείο τομής. | ||
| 4η Εβδομάδα 29-10-2020 [2,16] | Κατηγορίες ΑΧ. Αφινικές απεικονίσεις. Έκφραση αφινικής απεικόνισης ως προς επιλογές αφιν. βάσεων. Παραδείγματα αφινικών απεικονίσεων. | ||
| 5η Εβδομάδα 3-11-2020 [2,18] | Παραδείγματα, συνέχεια. Σύνθεση αφινικών απεικονίσεων και ύπαρξη αντίστροφης. Ιδιότητες αφινικών απεικονίσεων, αφινικοί υποχώροι πηγαίνουν σε αφινικούς υποχώρους, σύνθεση, η ταυτοτική απεικόνιση, η αφινική ομάδα Aff(X). Κατηγορίες στοιχείων της Aff(X): μετατοπίσεις, διαστολές, ομοθεσίες. | ||
| 5η Εβδομάδα 4-11-2020 [2,20] | Αλλαγή βάσης σε ΑΧ. Πώς αλλάζουν οι αφινικές συντεταγμένες. Παράδειγματα αλλαγής βάσης. Ορισμός παραλληλίας αφινικών υποχώρων ενός ΑΧ. Θεώρημα: κάθε αφινική απεικόνιση διατηρεί την παραλληλία. | ||
| 6η Εβδομάδα 9-13/11 [2,22] | Θεώρημα παραλληλίας: Ειδική περίπτωση και γενική απόδειξη. Η Αφινική Γεωμετρία, σύγκριση με την Γραμμική Άλγεβρα. Δεν έχουμε μήκη ή γωνίες, αλλά έχουμε σε κάθε ευθεία έννοια σχετικής απόστασης. Στην Αφ. Γεωμ. όλα τα τρίγωνα είναι ισοδύναμα. | ||
| 6η Εβδομάδα 9-13/11 [2,24] | Στην Αφινική Γεωμετρία όλα τα τρίγωνα είναι ισοδύναμα, αλλά όχι τα τετράπλευρα, εκτός αν είναι παραλληλόγραμμα. Τετράεδρα στον χώρο. Θεωρήματα Αφινικής Γεωμετρίας: Θαλή, Μενελάου. Θεώρημα Ceva. Γεωμετρικοί τόποι σε ΑΧ οι οποίοι ορίζονται από εξισώσεις στις αφινικές συντεταγμένες ως προς επιλογή βάσης. Στοιχειώδη παραδείγματα. | ||
| 7η Εβδομάδα 16-20/11 [2,26] | Τετραγωνική εξίσωση σε ΑΧ, έκφραση μέσω συμμετρικού πίνακα, μη-συστηματικές απόπειρες απλοποίησης, ανάγκη για αφινική αλλαγή μεταβλητών. | ||
| 7η Εβδομάδα 16-20/11 [2,28] | Τα βήματα της μεθόδου απλοποίησης τετραγωνικής εξίσωσης, κανονικές μορφές. Πρώτο βήμα: απλοποίηση τετραγωνικού μέρους. Επισκόπηση θεωρίας ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. | ||
| 7η Εβδομάδα 16-20/11 [A1] | [Πε 19/11, 10-12] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. | ||
| 8η Εβδομάδα 23-27/11 [2,30] | Συμμετρικές διγραμμικές μορφές και τετραγωνικές μορφές και σχέση με συμμετρικό πίνακα. Το Φασματικό Θεώρημα. Απόδειξη Φασματικού Θεωρήματος, ορθογώνιοι πίνακες. Εφαρμογή σε απλοποίηση τετραγωνικού μέρους. | ||
| 8η Εβδομάδα 23-27/11 [2,32] | Aπλοποίηση τετραγωνικού μέρους, παράδειγμα, χρησιμότητα κριτηρίων αναγνώρισης της απλοποιημένης μορφής. Οι εννέα κανονικές μορφές για τους γεωμετρικούς τόπους λύσεων τετραγωνικής εξίσωσης. Κριτήρια για τις πέντε μη-εκφυλισμένες μορφές. Απαλοιφή γραμμικών όρων. | ||
| 9η Εβδομάδα 30/11-4/12 [2,34] | Απόδειξη θεωρήματος κριτηρίων, αποτελέσματα από θεωρία πινάκων για ορίζουσα block πίνακα. Ευκολία εφαρμογής κριτηρίων σε παραδείγματα. Οι εκφυλισμένες μορφές, θεώρηση τετραγωνικού τους μέρους. Αναγνώριση εκφυλισμένων μορφών. Η συνθήκη det C=0 συνεπάγεται ότι ο τετραγωνικός όρος είναι τέλειο τετράγωνο. Κριτήρια για να έχουμε παραβολή. Κωνικές τομές, πρώτη επαφή. | ||
| 9η Εβδομάδα 30/11-4/12 [2,36] | Εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία. Μη-παράλληλες ευθείες έχουν μοναδικό σημείο τομής. Αφινικό επίπεδο στο R^3 και αντιστοίχιση σημείων του με ευθείες στον χώρο που περνούν από το 0. Το προβολικό επίπεδο ως το σύνολο των ευθειών στον χώρο και το υποσύνολο των ευθειών που δεν έχουν τομή με το αφινικό επίπεδο. Ορισμός προβολικού επιπέδου ως συνόλου κλάσεων ισοδυναμίας. Επισκόπηση ΣΙ και ΚΙ, αντιπρόσωποι. Η προβολική ευθεία. | ||
| 9η Εβδομάδα 30/11-4/12 [A2] | [Πε 3/12, 10-12] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. | ||
| 10η Εβδομάδα 7-11/12 [2,38] | Η προβολική "ευθεία" είναι, γεωμετρικά, κύκλος! Το προβολικό "επίπεδο" είναι φραγμένο σύνολο που παίρνουμε από δίσκο με ταυτίσεις στον συνοριακό του κύκλο. Σημασία διάκρισης σημείων και ευθειών σε ΑΧ και σημείων σε ΠΧ. Γεωμετρική ερμηνεία ανάθεσης σημείου τομής παραλλήλων ευθειών στο αφινικό επίπεδο ως ευθεία/σημείο του RP^2. Ορισμός σημείου τομής παραλλήλων ευθειών στο προβολικό επίπεδο και γεωμετρική ερμηνεία. Ανάγκη περιορισμού σε ομογενείς συναρτήσεις για να έχουμε καλά ορισμένο σύνολο λύσεων σε προβολικό χώρο. Ομογενείς πολυωνυμικές συναρτήσεις. | Το Προβολικό Επίπεδο ως cross-cap (Video του Jos Leys) | |
| 10η Εβδομάδα 7-11/12 [2,40] | Γεωμετρικός τόπος συνόλου λύσεων ομογενούς εξίσωσης είναι ένωση ευθειών, δηλαδή υποσύνολο του προβολικού επιπέδου. Μορφή πολυωνυμικής τετραγωνικής εξίσωσης με συμμετρικό 3Χ3 πίνακα, που είναι ακριβώς ο επαυξημένος της αφινικής τετραγωνικής εξίσωσης! Γραμμική εξίσωση δίνει επίπεδο στον χώρο, αλλά προβολική ευθεία στο προβολικό επίπεδο. Γραμμικές εξισώσεις στο αφινικό επίπεδο και, αντίστοιχα, τομή επιπέδων στον χώρο, εξήγηση (πάλι) του ορισμού "σημείου" στο RP2 τομής παραλλήλων ευθειών, τετραγωνική εξίσωση, το Φασματικό Θεώρημα δίνει απλοποιημένες μορφές. | ||
| 11η Εβδομάδα 14-18/12 [2,42] | Αντιστοίχιση των 9 αφινικών κανονικών μορφών με τις πέντε μορφές. Κριτήριο αναγνώρισης, ορισμός θετικά ορισμένου πίνακα, θεώρημα Sylvester. Απόδειξη κριτηρίου Sylvester. Πρόταση για ύπαρξη αρκετών θετικών ιδιοτιμών και χρήση της για εκλέπτυνση του κριτηρίου του Sylvester. | ||
| 11η Εβδομάδα 14-18/12 [2,44] | Ευκλείδειοι διανυσματικοί χώροι: Ορισμός εσωτερικού γινομένου σε ΔΧ, συνάρτηση μέτρου, καθετότητα. Παραδείγματα: το σύνηθες "βαθμωτό" γινόμενο στο R^n, παραδείγματα μη-συνήθων εσωτερικών γινομένων και γεωμετρία που δίνουν. | ||
| 12η Εβδομάδα 21-24/12 [2,46] | Ορθοκανονικές βάσεις, προβολή διανύσματος σε ευθεία, προβολή σε υποχώρο και η μέθοδος Gram-Schmidt. Η ανισότητα Cauchy-Schwartz και ορισμός γωνίας. | ||
| 12η Εβδομάδα 21-24/12 [2,48] | Τριγωνομετρική ανισότητα. Ορθογώνιες απεικονίσεις μεταξύ ΕΔΧ. Διατήρηση μέτρου, γωνίας. Εφόσον απεικόνιση είναι ορθογώνια, είναι και γραμμική -- απόδειξη. Πίνακας ορθογώνιας απεικόνισης, ιδιότητες ορθογώνιων απεικονίσεων, ορθογώνιες απεικονίσεις στο επίπεδο. | ||
| 12η Εβδομάδα 21-24/12 [Α3] | [Τρ 22/12] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. | ||
| 13η Εβδομάδα 11-15/1 [2,50] | Ορθογώνιες απεικονίσεις στο επίπεδο, περιστροφές και ανακλάσεις. Μετρική και παραδείγματα, απόσταση μεταξύ σημείων σε ΑΧ. Ορισμός Ευκλείδειων Αφινικών Χώρων. Ορισμός ισομετρίας Ευκλείδειου αφινικού χώρου. Κάθε ισομετρία διατηρεί ο.κ. αφινική βάση και είναι αφινική απεικόνιση, με ορθογώνιο γραμμικό μέρος. | ||
| 13η Εβδομάδα 11-15/1 [3,53] | Ισομετρίες του αφινικού επιπέδου: ορισμός σταθερών σημείων και εύρεσή τους. Σχέση με τις ιδιοτιμές του πίνακα P του γραμμικού μέρους της αφινικής μορφής της y=Px+c. Πρόταση: Εάν o P δίνει περιστροφή κατά μη-μηδενική γωνία, τότε η ισομετρία είναι περιστροφή, γύρω από το μοναδικό σταθερό σημείο της. Ισομετρίες του αφινικού Ευκλείδειου επιπέδου, απόδειξη πρότασης για περιστροφές, μετατοπίσεις, διατύπωση θεωρήματος ότι υπάρχουν ακριβώς τέσσερις τύποι: μετατοπίσεις, περιστροφές, ανακλάσεις και ολισθαίνουσες ανακλάσεις. Απόδειξη ότι κάθε ισομετρία με detP=-1 δίνει είτε ανάκλαση είτε ολισθαίνουσα ανάκλαση, γεωμετρικές ερμηνείες. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ! | ||
| 13η Εβδομάδα 11-15/1 [A4] | [Πε 14/1] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. |