Αλγεβρική Τοπολογία | Algebraic Topology 2016

Εαρινό εξάμηνο 2015-2016
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις #

Η τρίτη εργασία αναρτήθηκε 7-6-16. Προθεσμία: μέχρι τις εξετάσεις, οι οποίες θα γίνουν την Τρίτη 28-6 στις 10πμ. Την Δευτέρα 13-6 στις 12 έχουμε συνάντηση για να δούμε τις εργασίες.

Η πρώτη εργασία να ετοιμαστεί μέχρι τη Δευτέρα 4 Απριλίου, στις 12. Nα την φέρετε στο γραφείο μου, χειρόγραφες ή με LaTeX είναι εντάξει, αλλά όχι με MS Word 🙂

Ώρες διδασκαλίας: Το μάθημα διδάσκεται σε δύο 90-λεπτα,Τρίτη, 11-12:30 (Αίθουσα Μ3) και Πέμπτη, 12-1:30μ.μ. (Αίθουσα Μ3).

Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με εργασίες και μία τελική εξέταση. Πιθανόν να υπάρξουν και παρουσιάσεις.

Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.

Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.

Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων.

top

Ημερολόγιο#
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ ΑΡΧΕΙΑ
 18-2-2016  Τί είναι η ΑΤ. Συμπαγείς επιφάνειες και χαρακτηριστική Euler. ΄Εχουμε συναντήσει στοιχεία Αλγεβρικής Τοπολογίας στη Διανυσματική Ανάλυση, διπλά διαφορικά, τοπολογικές συνθήκες ύπαρξης δυναμικών.  Εισαγωγή
 25-2-2016 Θεωρήματα Stokes και Gauss και ύπαρξη “δυναμικών”, έννοιες συνεκτικότητας πέραν της “απλής”. Σύντομη παρουσίαση διαφορικών μορφών και συνομολογίας de Rham.
 1-3-2-16 Η μέθοδος της ΑΤ. Ομοιομορφισμοί, ομοτοπίες μεταξύ απεικονίσεων. Παραδείγματα. Αποτελέσματα για σφαίρες.
 3-3-2016  Ομοτοπική ισοδυναμία και τύπος ομοτοπίας. Συμπτύξεις και παραδείγματα. Μη-ύπαρξη σύμπτυξης του δίσκου στον κύκλο, θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Εισαγωγή στις κατηγορίες.
 8-3-2016  Συναρτητές. Αντιμεταθετικά διαγράμματα. Η κατηγορία hTop. Παραμορφωτικές συμπτύξεις και κύλινδρος απεικόνισης.
 17-3-2016 Συναρτητές ομοτοπίας: π0(Χ) και δρομοσυνεκτικότητα.  Κατηγορία ζευγών ΤΧ, ομοτοπία δρόμων, γινόμενο δρόμων.
22-3-2016 Θεμελιώδες ομαδοειδές. Ορισμός θεμελιώδους ομάδας π1(X, x0) σημειωμένου χώρου και συναρτητή π1 από την Top* στην Group. Εξάρτηση από το σημείο βάσης. 1η Εργασία
 24-3-2016  Θεώρημα: \pi_1 ( S^1 , 1) \simeq \mathbf{Z}. Χώροι κάλυψης και HLP.
29-3-2016 Απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας ανύψωσης ομοτοπίας για χώρους κάλυψης. Θεμελιώδης ομάδα για συμπτύξεις και παραμορφωτικές συμπτύξεις.
31-3-2016 Θεώρημα Borsuk-Ulam. Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (τοπολογική απόδειξη). Θεώρημα: \pi_1 ( X \times Y , ( x_0 , y_0 )) \simeq \pi_1 ( X , x_0 ) \times \pi_1 ( Y , y_0) .
5-4-2016 Κατασκευές ομάδας από συλλογή ομάδων: ευθύ γινόμενο, ευθύ άθροισμα, ελεύθερο γινόμενο. Ορισμός ελεύθερης ομάδας F(S) σε σύνολο S (και ελεύθερης αβελιανής ομάδας).
7-4-2016 Παραστάσεις ομάδων, γεννήτορες και σχετιστές. Καθολική ιδιότητα της F(S). Το θεώρημα των Seifert-van Kampen, διατύπωση και εφαρμογή για απλά συνεκτική τομή.
12-4-2016 Εφαρμογές του θ. S-vK: α) θεμελιώδης ομάδα συμπαγούς επιφάνειας (τόρος, προβολικό επίπεδο), β) κόμβοι, ορισμοί και κατηγορία τορικών κόμβων. Η π1 του τετριμμένου κόμβου Κ0 είναι κυκλική.
14-4-2016  Η σφαίρα ως ένωση δύο στερεών τόρων. Υπολογισμός ομάδας τορικών κόμβων. Προβολές κόμβου και υπολογισμός παράστασης γενικού κόμβου. Ομάδα του τρίφυλλου.
19-4-2016  Χώροι κάλυψης (Covering spaces). Υπενθύμιση ορισμού και ιδιοτήτων ανύψωσης δρόμων και ομοτοπιών. Παραδείγματα. Ανυψωτική συμπεριφορά και ισοδυναμία ΧΚ.
21-4-2016 Χώροι κάλυψης και θεμελιώδης ομάδα: συνθήκη για να υπάρχει ανύψωση, ισομορφία Χ.Κ. και ομάδα Χ.Κ., ταξινόμηση Χ.Κ. (διατύπωση μόνον.)  2η Εργασία
 10-5-2016 Ισοδύναμοι ΧΚ και χαρακτ. ομάδα. Κατασκευή ΧΚ για υπο-ομάδα της \pi_1 (X). Ανάγκη υπόθεσης ημι-τοπικής απλής συνεκτικότητας. Καθολικοί ΧΚ.
 12-5-2016 Συνοπτική παρουσίαση επιπλέον ιδιοτήτων και παραδειγμάτων ΧΚ (καθολικοί, διπλά καλύμματα). Θεωρία Ομολογίας: σύμπλοκα και ιδιάζοντα σύμπλοκα, σύνορο.
17-5-2016 Πρόταση: \partial^2 =0. Ορισμός ομάδων ομολογίας. Αλυσιδωτά σύμπλοκα και ο συναρτητής X \leadsto S_* (X). Στοιχειώδη παραδείγματα κύκλων και συνόρων.
19-5-2016  H_* ( pt ) H_0 (X). Θεωρία Ελεύθερων Αβελιανών Ομάδων. Ομομορφισμός σε ομολογία που επάγει μία συνεχής απ.  f: X  \to Y \leadsto f_* : H_p (X) \to H_p (Y). Απόδειξη στην κατηγορία Chain Αλυσ. Συμπλόκων.
24-5-2016 Ομοιόμορφοι ΤΧ έχουν ίδια ομολογία. Ομολογία κυρτού υποσυνόλου του  Rn είναι μηδενική για p > 0. Έννοια αλυσιδ. ομοτοπίας στην κατηγορία Chain –δίνει ισομορφισμό στην ομολογία.
26-5-2016 Ομοτοπικές απεικονίσεις δίνουν ίδιο ομομορφισμό σε ομολογία. Ακριβείς ακολουθίες, παραδείγματα. Βραχείες ακριβείς ακολουθίες.
31-5-2016  Μακρά ακολουθία ομολογίας από βραχεία ακολουθία αλυσιδωτών συμπλόκων, λήμμα του φιδιού.
2-6-2016 Μακρά ακολουθία σχετικής ομολογίας H_* (X,A). Μειωμένη ομολογία \tilde{H}_* (X). Υπολογισμός ομολογίας σφαιρών. Βασικό θεώρημα υπολογισμού ομολογίας και εξήγηση.
7-6-2016 Η ακολουθία Mayer-Vietoris. Εφαρμογές στον υπολογισμό της ομολογίας σφαιρών και του τόρου.  3η Εργασία
9-6-2016  Ο βαθμός deg απεικ. f : Sn –> Sn, ιδιότητες και εφαρμογές. Εκτομή, το Λήμμα των 5 και απόδειξη. Εφαρμογή σε τοπική ομολογία. Διατύπωση (μόνο) του θεωρήματος Hurewicz. ΤΕΛΟΣ
13-6-2016

top

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Scroll to Top