Διαφορικές Μορφές | Differential Forms 2020

• Ανακοινώσεις, πληροφορίες
• Βιβλιογραφία
• Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις, Πληροφορίες

• [5-4-20] Διορθώσεις στις ασκήσεις 8 και 9. Νέα προθεσμία για την πρώτη εργασία: Δευτέρα 6-4.
• [26-3] Το link του αυριανού μαθήματος μέσω Skype for Business. Θα αρχίσουμε στις 10 και ελπίζω να κάνουμε δίωρο (καταλήξαμε να κάνουμε τρίωρα!) Εσείς θα χρειαστείτε μόνο μια εφαρμογή που θα σας προτείνει να κατεβάσετε, το Skype Meetings νομίζω. https://meet.lync.com/aristotleuniversity-office365/kappos/JQAQC6U5
• [25/3] Ας αρχίσουμε τα ηλεκτρονικά μας μαθήματα αυτή την Παρασκευή 27/3. Προτείνω το Skype ή Skype for Business όπου μπορεί να σας σταλεί πρόσκληση με URL link. Θα χρειαστεί να κατεβάσετε λογισμικό (αν δεν το έχετε ήδη κάνει για άλλο μάθημα). Ας ξεκινήσουμε με ένα δίωρο, από 10-12πμ.
• [8/3] Πρώτη εργασία στο Ημερολόγιο.
• Αναπλήρωση [21/2]: Δευτέρα 24/2, 11-2 στην Μ0.
• Αλλαγή ώρας: Παρασκευή 14/2, θα ξεκινήσουμε στις 11 αντί στις 10.
• Διδασκαλία: Πέμπτη 12-1 (Μ0), Παρασκευή 10-12 11-1 (Α).
• Περιεχόμενο μαθήματος: Επισκόπηση στοιχείων Διανυσματικής Ανάλυσης. Εναλλασσόμενη άλγεβρα. Διαφορικές μορφές σε διανυσματικό χώρο, εξωτερικό γινόμενο και διαφορικό μορφής. Πολλαπλότητες με σύνορο, το θεώρημα του Stokes. Λήμμα του Poincaré. Ορισμός συνομολογίας de Rham.

Βιβλιογραφία

1. Hubbard J. and B. Διανυσματικός Λογισμός, Γραμμική Άλγεβρα και Διαφορικές Μορφές (Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 22767187)
2. Spivak, Michael Λογισμός σε Πολλαπλότητες,  μια μοντέρνα προσέγγιση στα κλασικά θεωρήματα του Προχωρημένου Λογισμού (Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 235)
3. do Carmo M. Διαφορικές Μορφές: Θεωρία και Εφαρμογές (Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 50659160)

Ημερολόγιο μαθήματος

[μ,ν] μ ώρες μαθήματος, ν συνολικά

Ημερομηνια, ωρες	Καλυψη υλης	Αρχεια	Εργασιες
13-2-2020 [1,1]	Εισαγωγή. Πώς εμφανίζονται οι διαφορικές μορφές στην Διανυσματική Ανάλυση, παράγωγοι βαθμωτών και διανυσματικών πεδίων. Γεωμετρική ερμηνεία περιστροφής.
14-2-2020 [2,3]	Τοπολογικά μη-τετριμμένοι χώροι και προβλήματα στον ορισμό δυναμικών. Τα θεωρήματα Green, Gauss και Stokes. Διαφορικές μορφές ως ολοκληρωτέα αντικείμενα.
20-2-2020 [1,4]	Pairing ΔΜ k τάξεως με γεωμετρικό αντικείμενο διάστασης k: διαφορικές 1-μορφές στο R3 και καμπύλες.
21-2-2020 [2,6]	Διαφορικές 2-μορφές στο R3, ορισμός και γεωμετρική ερμηνεία, pairing με επιφάνειες, σχέση με κλασική έννοια ροής διαμέσου επιφάνειας. Ορισμός pull-back μορφών. Ορισμός 3-μορφών στο R3 και σχέση με ορίζουσα.
24-2-2020 [3,9]	Εξωτερικό ή σφηνοειδές γινόμενο. Το διαφορικό d για ΔΜ στο R3, το σύμπλοκο του de Rham σε υποσύνολο του R3 και ορισμός ΔΧ συνομολογίας de Rham. Επισκόπηση της έννοιας της διαφορίσιμης πολλαπλότητας, παραδείγματα.
5-3-2020 [1,10]	Απεικονίσεις πολλαπλοτήτων, καλά-ορισμένο rank σε σημείο, θεωρήματα αντίστροφης συνάρτησης, κανονικού σημείου, σταθερού rank. Κρίσιμα σημεία και τιμές.
6-3-2020 [2,12]	Υπο-πολλαπλότητες, Θεώρημα κανονικής τιμής, παραδείγματα πολλαπλοτήτων Sn, O(n,R). Γινόμενα, π.χ. τόροι. Πηλίκα, fixed-point-free involutions και προβολικοί χώροι. Τρείς προσεγγίσεις στον ορισμό εφαπτομένων διανυσμάτων (μέσω ΚΙ καμπυλών, μέσω derivations στην germ algebra, μέσω χαρτών).		Πρώτη εργασία ΔΜ
27-3-2020 [2,14]	[Μέσω Skype] Εφαπτόμενο επίπεδο με 3 τρόπους, εφαπτόμενη δέσμη, πάραγωγος λείας συνάρτησης, διανυσματικά πεδία. Αλγεβρική θεωρία k-μορφών σε ΔΧ. Ορισμός και 3 παραλλαγές της εναλλασσόμενης ιδιότητας, διάσταση των ΔΧ Alt^n (V).
3-4-2020 [3,17]	[Μέσω Skype] Μορφές και η ορίζουσα. Εισαγωγή στις κατηγορίες και τους συναρτητές. Contravariant συναρτητής που από γραμμική απεικόνιση ΔΧ δίνει απεικόνιση μορφών. Το εξωτερικό ή σφηνοειδές γινόμενο. Ο ΔΧ Alt*(V) είναι μια graded (anti)commutative algebra with unit.
10-4-2020 [3,20]	[Μέσω Skype] Χαρακτηρισμός σφηνοειδούς γινομένου από ιδιότητες. Διαφορικές μορφές σε πολλαπλότητα. Διαφορικές 1-μορφές και διαφορικό λέιας συναρτησης, οριστική ερμηνεία των dx^i. Προσανατολισμοί σε ΔΧ.
8-5-2020 [3,23]	[Μέσω Zoom] Προσανατολισμοί πολλαπλοτήτων, θεώρημα για αντίστροφη εικόνα κανονικής τιμής να είναι προσανατολίσιμη. Ολοκλήρωση σε πολλαπλότητες: πυκνότητες και σχέση με μορφές.
15-5-2020 [1,24]	[Μέσω Zoom] Επισκόπηση του μέχρι τώρα τρόπου διεξαγωγής του μαθήματος και του περιεχομένου του, συνέχιση με χρήση βιβλίου.
22-5-2020 [3,27]	[Μέσω Zoom] Επισκόπηση θεωρίας ολοκληρώματος Lebesgue στο R^n, ορισμός ολοκληρώματος διαφορικής n-μορφής σε n-πολλαπλότητα.
29-5-2020 [2,29]	[Μέσω Zoom] Μάθημα ασκήσεων και αποριών, η πρώτη εργασία
3-6-2020 [2,31]	[Μέσω Zoom] Αναλυτικός ορισμός ολοκληρώματος διαφορικής μορφής σε πολλαπλότητα.
5-6-2020 [2,33]	[Μέσω Zoom] Πολλαπλότητες με σύνορο.
16-6-2020 [2,35]	[Video στο elearning] Η παράγωγος Cartan (εξωτερική παράγωγος)
29-6-2020 [2,37]	[Video στο elearning] Διαμερισμοί της μονάδας.
2-7-2020 [2,39]	[Video στο elearning] Το Θεώρημα του Stokes.