Χειμερινό εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-17, Τμήμα Β.
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις#
Τα αποτελέσματα της εξεταστικής της 1ης Σεπτεμβρίου εδώ. Εάν θέλετε να δείτε το γραπτό σας, ελάτε Τρίτη 19-9, 10:30-11:30. Οι βαθμοί θα στρογγυλοποιηθούν στην τελική λίστα που θα υποβληθεί μετά. Τα θέματα ήταν σχετικά απλά, και σχεδόν όλα είχαν καλυφθεί στο μάθημα: ο τόρος και οι επιφάνειες-γραφήματα αναφέρθηκαν επανειλημμένα και εμφανίστηκαν σε προηγούμενες εξετάσεις, όπως φυσικά και η έλικα (που ελάχιστοι κατάφεραν να βρουν!) Είναι απογοητευτικό ότι ένα από αυτά που σας δυσκόλεψαν περισσότερο ήταν και το πιο απλό: το υπερβολικό συνημίτονο –ένας μόνο “κατάφερε” να δώσει το γράφημα! Αναρωτιέμαι τί ακριβώς αφομοιώνετε από τους 4 Λογισμούς.
Τα αποτελέσματα της εξέτασης για επί πτυχίω φοιτητές (τμήμα Β) του Ιουνίου 2017 εδώ.
Τα αποτελέσματα της τελικής εξέτασης του Φεβρουαρίου 2017 εδώ.
Δεύτερη πρόοδος: Τα θέματα εδώ. Αποτελέσματα, μαζί με συνολικούς βαθμούς από τις δύο προόδους εδώ (έδωσα, όπως υποσχέθηκα, μια μικρή ώθηση και στην τελική στήλη είναι ο βαθμός που θα μετρήσει από τις 2 προόδους —με συντελεστή 40% στην τελική βαθμολογία.)
Αλλαγή αίθουσας: Όπως έχει ανακοινωθεί, την Πέμπτη 26-1 θα κάνουμε μάθημα στην αίθουσα Μ1 και όχι στην Δ31.
Τα μαθήματα συνεχίζονται την επόμενη βδομάδα, όπως έχει αποφασίσει το Τμήμα μας (Δευτέρα 23 έως Πέμπτη 26-1).
Δεύτερη Πρόοδος: Τρίτη 17-1, 1:10-2 μ.μ.
[Ανακοίνωση της Τετ 11-1, 11πμ:] ***Αναβάλλεται*** Η πρόσφατη κακοκαιρία δυσκολεύει πολύ τις μετακινήσεις και επιβάλλει την αναβολή της Προόδου, η οποία επομένως δεν θα γίνει αύριο Πέμπτη. Καθώς ο καιρός είναι ακόμα απρόβλεπτος, η νέα ημερομηνία διεξαγωγής της θα ανακοινωθεί σύντομα (πιθανόν να γίνει την 2η ώρα της ερχόμενης Τρίτης 17-1.)
Πέμπτη, 12-1-2017, 9:15-10:00, πάνω στις Επιφάνειες (ύλη που καλύφθηκε μέχρι τα Χριστούγεννα).
Πρώτη πρόοδος: Αποτελέσματα εδώ, τα θέματα εδώ.
Πρώτη πρόοδος: Πέμπτη, 24-11 στις 9:15 π.μ., πάνω στις καμπύλες στο χώρο και στο επίπεδο. Υπενθυμίζω ότι οι πρόοδοι είναι αναγκαστικές για όλους τους φοιτητές του Ε’ Εξαμήνου και ότι μετρούν για το 20% του βαθμού η κάθε μία.
Πρώτη Εργασία: Αναρτήθηκε στο Ημερολόγιο. Υπενθυμίζω ότι έχετε διαθέσιμες τρεις εργασίες προς το παρόν (τις δύο πρώτες περσινές και την παρούσα, 31 ασκήσεις συνολικά). Για τις εργασίες, καλό είναι να έχετε πρόσβαση σε κάποιο κατάλληλο λογισμικό για να κάνετε τα σχήματα που απαιτούνται. Η πλήρης επίλυση και κατανόησή τους, μαζί με την ουσιαστική κατανόηση του υλικού των παραδόσεων είναι καλή προετοιμασία και για τις εξετάσεις.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος του περασμένου έτους θα βρείτε σετ ασκήσεων, τα οποία ισχύουν φυσικά και για φέτος. Προς το παρόν (3-11), ασχοληθείτε με τα δύο πρώτα. Σύντομα θα αναρτηθεί και νέο σετ πάνω στις καμπύλες, καθώς και στις προαπαιτούμενες γνώσεις.
Παραδόσεις: Δευτέρα, Τρίτη 12-2. Παραδόσεις/Ασκήσεις: Πέμπτη 9-10.
Αξιολόγηση: Για φοιτητές του 5ου εξαμήνου (και όσους παλαιότερους το θελήσουν) δύο Πρόοδοι (20+20%) και Τελική Εξέταση (60%).
Ημερολόγιο#
([ν,μ] σημαίνει ν ώρες, μ ώρες συνολικά)
| Μάθημα/Ώρες | Κάλυψη ύλης | Αρχεία/Links | Εργασίες/Πρόοδοι/Εξετάσεις |
| 3-10-2016 [2,2] | Εισαγωγή. Γεωμετρία (αφινική/ευκλείδεια), παράδειγμα μη κανονικού εσωτερικού γινομένου. Τί γεωμετρία έχει μία καμπύλη (στο επίπεδο/χώρο) και τί μιά επιφάνεια. Ο ρόλος του κύκλου-σφαίρας. Παραδείγματα (τόρος). | ||
| 4-10-2016 [2,4] | Επισκόπηση Γραμμικής Άλγεβρας. ΔΧ, βάσεις, εσωτερικό γινόμενο δίνει μήκος και γωνίες, ορθοκανονικές βάσεις, μέθοδος Gram-Schmidt. Μεταβλητές βάσεις — πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο. | ||
| 6-10-2016 [1,5] | Υπολογισμός προβολής σε ευθεία, επίπεδο, εύρεση ο.κ. βάσης με τη μέθοδο Gram-Schmidt. Γραμμικές απεικονίσεις. | ||
| 10-10-2016 [2,7] | Καμπύλες: έννοια καμπύλης, ορισμός κανονικής παραμέτρησης καμπύλης, παραδείγματα. | Twisted cubic | |
| 11-10-2016 [2,9] | Παραδείγματα. Ορισμός καμπύλης. Αναπτύγματα Taylor και γραμμική προσέγγιση –εφαπτόμενη ευθεία σε σημείο. Λήμμα: Εάν το μέτρο ταχύτητας μιάς κίνησης είναι σταθερό, η επιτάχυνση είναι κάθετη στην ταχύτητα. | ||
| 13-10-2016 [1,10] | Παραμετρήσεις. Συνάρτηση μήκους. Αναπαραμετρήσεις και παραδείγματα. Παραμέτρηση μήκους. | ||
| 17-10-2016 [2,12] | Φυσική παραμέτρηση μήκους και παραδείγματα. Επιτάχυνση και ευθύγραμμη κίνηση όταν μηδενίζεται. Ορισμός καμπυλότητας και κάθετου διανύσματος n(s). Παράδειγμα της έλικας. | ||
| 18-10-2016 [2,14] | Δισκάθετο διάνυσμα b(s) και τρίεδρο του Frenet. Τετραγωνική προσέγγιση: ορισμός επαφής καμπυλών τάξης k, εφαπτόμενη παραβολή και κύκλος. | ||
| 20-10-2016 [1,15] | Μάθημα επισκόπησης και ασκήσεων: θεωρίας καμπυλών, εύρεση τριέδρου Frenet από μη-φυσική παραμέτρηση, παράδειγμα. | ||
| 24-10-2016 [2,17] | Εξισώσεις Frenet-Serret. Ορισμός στρέψης. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας καμπύλης. | ||
| 25-10-2016 [2,19] | Οι εξισώσεις Frenet-Serret, περιστροφές στο επίπεδο και τον χώρο. Υπολογισμός στρέψης για την έλικα –“μοναδική” λύση με σταθερή καμπυλότητα/στρέψη. Πρόταση: μηδενική στρέψη σε διάστημα  η καμπύλη είναι επίπεδη. |
||
| 31-10-2016 [2,21] | Τρόποι υπολογισμού στρέψης. Υπολογισμοί καμπυλότητας και στρέψης από γενική παραμέτρηση, παραδείγματα. | ||
| 1-11-2016 [2,23] | Καμπύλες στο επίπεδο: ορισμός πλαισίου Frenet, καμπυλότητας. Γεωμετρική ερμηνεία και παραδείγματα. Προσεγγίσεις (εφαπτ. ευθεία, παραβολή ή κύκλος). | ||
| 3-11-2016 [1,24] | Μάθημα επισκόπησης και ασκήσεων: Καμπύλες ως τομή επιφανειών, ανάλυση μεθόδων, παράδειγμα: τομή σφαίρας και επιπέδου | ||
| 7-11-2016 [2,26] | Δυσκολίες στον ορισμό “γωνίας”. Αναλυτικός και γεωμετρικός ορισμός συνολικής μεταβολής γωνίας. Η καμπυλότητα ως ρυθμός μεταβολής της. Διατύπωση του Umlaufsatz. Εμβυθίσεις καμπυλών και παραδείγματα. | ||
| 8-11-2016 [2,28] | Καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας, εξισώσεις Frenet για επίπεδες καμπύλες, λύσεις τους. Παράδειγμα τομής σφαίρας με επίπεδο: ορθογώνιοι πίνακες. Εισαγωγή στις επιφάνειες. | 1η Εργασία | |
| 10-11-2016 [1,29] | Επιφάνειες: ορισμός κανονικής παραμέτρησης επιφάνειας και εξήγηση της συνθήκης κανονικότητας. Παραδείγματα (επίπεδο, κύλινδρος). | ||
| 14-11-2016 [2,31] | Παράδειγμα της σφαίρας, εφαπτόμενα διανύσματα, εφαπτόμενος χώρος, μοναδιαίο κάθετο πεδίο. Προσανατολισμός επιφάνειας. | ||
| 15-11-2016 [2,33] | Γραφήματα συναρτήσεων δίνουν πάντα επιφάνειες. Σχέση με τον ορισμό επιφάνειας ως του συνόλου λύσεων F(x,y,z)=0. Επιφάνειες εκ περιστροφής, παραδείγματα. | ||
| 21-11-2016 [2,35] | Γεωμετρική ερμηνεία του  , μοναδιαίο κάθετο πεδίο n(s) και προσανατολισμός. Απεικόνιση στοιχείου εμβαδού:  . Παράδειγμα της σφαίρας. Παραδείγματα επιφ. εκ περιστροφής: ο τόρος. |
||
| 22-11-2016 [2,37] | Αλυσοειδής και ελικοειδής επιφάνεια. Αλλαγή μεταβλητών (diffeomorphism) και παραδείγματα. Ορισμός επιφάνειας και αλλαγή παραμέτρησης. | ||
| 24-11-2016 | ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΟΔΟΣ | 1η Πρόοδος | |
| 28-11-2016 [2,39] | Λύσεις θεμάτων της Προόδου και σχόλια.
Εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο επιφάνειας, εσωτερικό γινόμενο και μέτρο στο R3 και πώς παίρνουμε μη-κανονικό εσ. γινόμενο στο επίπεδο, που εξαρτάται από το σημείο. |
Virtual Math Museum | |
| 29-11-2016 [2,41] | Ο πίνακας Q(u,v) του εσ. γινομένου στο R2 και απόδειξη ότι είναι θετικά ορισμένος, συνάρτηση μέτρου. Παραδείγματα: κύλινδρος, αφινικό επίπεδο, γραφήματα, σφαίρα. Ορισμός της πρώτης Θεμελιώδους Μορφής. | ||
| 1-2-2016 [1,42] | ΠΘΜ, κλασικός ορισμός και ορισμός μέσω Q(u,v). Καμπύλες σε επιφάνειες. Παράδειγμα: λοξοδρομικές καμπύλες σε σφαίρα. | ||
| 5-12-2016 [2,44] | Λοξόδρομοι (συνέχεια). Μήκος καμπύλης σε επιφάνεια Σ και εμβαδόν τμήματος επιφάνειας από την ΠΘΜ, παραδείγματα. | ||
| 6-12-2016 [2,46] | Δεύτερη Θεμελιώδης Μορφή επιφάνειας. Εισαγωγή (μέτρηση απόκλισης από εφ. επίπεδο), τετραγωνικό ανάπτυγμα Taylor. Περίπτωση γραφήματος, παράδειγμα. Συμμετρικοί πίνακες (Γρ. Άλγεβρα). | ||
| 8-12-2016 [1,47] | ΔΘΜ: βασικοί τύποι τοπικών επιφανειών/γραφημάτων  θετικές/αρνητικές/μηδενικές. Λήμμα για τις παραγώγους των  κοκ. Δεύτερη προσέγγιση: μεταβολή του κάθετου ΔΠ n(u,v). |
2η Εργασία (διόρθωση στην 4, 15-12) | |
| 12-12-2016 [2,49] | Η απεικόνιση Gauss. Η παράγωγός της ως γραμμική απεικόνιση από το εφαπτ. επίπεδο στον εαυτό του. Υπολογισμός της παραγώγου ως προς τη φυσική βάση  , εξισώσεις Weingarten. |
||
| 13-12-2016 [2,51] | ΔΘΜ μηδενική δίνει επίπεδη επιφάνεια. Καμπύλες σε επιφάνεια, κάθετη καμπυλότητα κn , τελεστής σχήματος. | ||
| 15-12-2016 [1,52] | Τελεστής σχήματος, ερμηνεία μέσω τομών της Σ με κάθετα επίπεδα. Συμμετρία γραμμικής απ. ως προς ΕΓ και απόδειξη της συμμετρίας του τελεστή σχήματος. | ||
| 19-12-2016 [2,54] | Φασματικό θεώρημα (για συμμετρικούς τελεστές). Πρωτεύουσες (ή κύριες) καμπυλότητες και κατευθύνσεις, καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα. Παράδειγμα: η σφαίρα. | ||
| 20-12-2016 [2,56] | Συνάρτηση καμπυλότητας κ πάνω στον μοναδιαίο κύκλο του εφ. επιπέδου. Τύπος του Euler. Παραδείγματα: γραφήματα. Ελλειπτικά, υπερβολικά, παραβολικά, επίπεδα και σφαιρικά (ομφαλικά) σημεία. | ||
| 22-12-2016 [1,57] | Ασυμπτωτικές κατευθύνσεις, ελαχιστικές επιφάνειες, τοπική συμπεριφορά κοντά σε ελλειπτικό σημείο. Συνέχεια παραδείγματος του σάγματος z=xy. | ||
| 9,10,12-1-2017 | Δεν έγιναν μαθήματα λόγω κακοκαιρίας |
||
| 16-1-2017 [2,59] | Τρεις προσεγγίσεις της έννοιας της καμπυλότητας επιφανειών. Αλλαγή παραμέτρησης και απόδειξη του αναλλοίωτου της καμπυλότητας Gauss. Υπολογισμοί για τον τόρο. | ||
| 17-1-2017 [1,60] | Ο τόρος (συνέχεια): εικόνες απεικόνισης Gauss. Συνολική καμπυλότητα και αναφορά στην χαρακτηριστική του Euler και το θεώρημα Gauss-Bonnet.
1:10-2μμ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΡΟΟΔΟΣ |
2η Πρόοδος | |
| 19-1-2017 [1,61] | Απεικονίσεις μεταξύ επιφανειών. Ορισμός και ιδιότητες ισομετρίας. Παράδειγμα: ο κώνος είναι τοπικά ισομετρικός με επίπεδο. | ||
| 23-1-2017 [2,63] | Ισομετρία μεταξύ ελικοειδούς και αλυσοειδούς επιφάνειας. Επιτάχυνση καμπύλης σε επιφάνεια. Εξισώσεις για τις παραγώγους των διανυσμάτων της κινούμενης βάσης  . |
||
| 24-1-2017 [2,65] | Τα σύμβολα Christoffel και εύρεσή τους από την ΠΘΜ, παραδείγματα της σφαίρας και του επιπέδου. Συστήματα ΔΕ με μερικές παραγώγους και συνθήκες συμβατότητας, παράδειγμα από τη Διαν. Ανάλυση. | ||
| 26-1-2017 [1,66] | Συνθήκες συμβατότητας: υπολογισμοί. Συνθήκες Codazzi-Mainardi και απόδειξη του Theorema egregium του Gauss. Διατύπωση του θεωρήματος Bonnet. [ΤΕΛΟΣ] |