Δυναμικά Συστήματα | Dynamical Systems 2017

Εαρινό εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-17 (ιστοσελίδα πρώτου μέρους)

Περιεχόμενα

Ανακοινώσεις
Ημερολόγιο-σημειώσεις-ασκήσεις

Ανακοινώσεις#

Για να προετοιμαστείτε για την τελική εξέταση (τα μισά θέματα της οποίας θα είναι από το 1ο μέρος), αρκεί να μελετήστε προσεκτικά την θεωρία και τις αποδείξεις που δώσαμε, καθώς και τα βασικά παραδείγματα ΔΣ που αναλύσαμε.

Μάθημα Επιλογής Η’ Εξαμήνου

Ώρες διδασκαλίας: Πέμπτη 12-2 (Μ1) και Παρασκευή 1-2μ.μ. (Μ1)

Στο πρώτο μέρος του μαθήματος θα μελετήσουμε την δυναμική συμπεριφορά διακριτών δυναμικών συστημάτων, δηλαδή επαναλήψεων μιάς συνάρτησης $f : X \to X$ . Ήδη για πολύ απλά συστήματα σε μία (πραγματική) διάσταση, το σύνολο των τροχιών παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Θα αναλύσουμε σταθερά σημεία, περιοδικές τροχιές και συνύπαρξη περιοδικών τροχιών διαφόρων περιόδων και θα δούμε τί μπορεί να χαρακτηριστεί ως “χαοτική” συμπεριφορά. Μέσω βασικών παραδειγμάτων, θα εισαγάγουμε μεθόδους όπως αυτή της συμβολικής δυναμικής και έννοιες όπως η τοπολογική μεταβατικότητα.

Βιβλιογραφία:

R. Devaney: A First Course in Chaotic Dynamical Systems (elementary)
R. Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (more advanced)
R. Holmgren: A First Course in Discrete Dynamical Systems (elementary)
B. Hasselblatt, A. Katok: A First Course in Dynamics (very complete, rigorous)
S. Sternberg: Dynamical Systems (intermediate)

top

Ημερολόγιο#

([ν,μ] σημαίνει ν ώρες, μ ώρες συνολικά)

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ	ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ	ΑΡΧΕΙΑ, ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΛΠ
2-3-2017 [2,2]	Εισαγωγή στα ΔΔΣ, τροχιές, σταθερά και περιοδικά σημεία. Γραφική μέθοδος σε μία διάσταση. Παραδείγματα (εύρεση ρίζας, μέθοδος Newton, $f(x) = \cos (x), f(x) = \sqrt{x}$ .
3-3-2017 [1,3]	Παραδείγματα σε 2 διαστάσεις, γραμμικά και μη-γραμμικά (AM/GM, Hénon). Εικασία Collatz. Περιοδικές τροχιές σε 1d συστήματα.	Eisenbud video on Collatz
9-3-2017 [2,5]	Η απεικόνιση διπλασιασμού f(x)=2x mod 1 ή, ισοδύναμα, f(z)=z² στον κύκλο S¹ (και στο C). Περιοδικά σημεία. Ορισμός του shift map. Ευστάθεια και ασυμπτωτική ευστάθεια, παραδείγματα.
10-3-2017 [1,6]	Ευστάθεια για γραμμικά ΔΣ, περιστροφή στο $\mathbf{C}, f(z) = e^{i \alpha} z$ , γραμμικοποίηση. Θεώρημα για 1d ΔΣ, με κριτήριο την $\| f'(x) \|$ .
16-3-2017 [2,8]	Περιοδικά σημεία και ευστάθεια. Ημι-ευσταθές σημείο στον κύκλο. Συζυγία και περιοδικά σημεία της απεικ. διπλασιασμού. Η λογιστική απεικόνιση για 0<μ<3.
17-3-2017 [1,9]	Η λογιστική απεικόνιση, γράφημα της f² και δύο νέα σταθερά σημεία που δίνουν 2-περιοδική τροχιά για μ>3, διακλάδωση στο μ=3.
23-3-2017 [2,11]	H λογιστική απεικόνιση για $3 \le \mu < 1 + \sqrt{6}$ και η λεκάνη έλξης της 2-περιοδικής τροχιάς. Η παράγωγος Schwarz και ιδιότητές της.
24-3-2017 [1,12]	Αρνητική παράγωγος Schwarz και συνέπειες, σύνδεση σταθερών σημείων και κρίσιμων σημείων.
30-3-2017 [2,14]	Το Θεώρημα του Singer και εφαρμογή στην λογιστική απεικόνιση. Θεωρία διακλαδώσεων, γεωμετρική ερμηνεία των βασικών διακλαδώσεων. Η διακλάδωση πτυχής (fold ή saddle-node bifurcation).
31-3-2017 [1,15]	Για $f'(x^*) \ne 1$ το σταθερό σημείο είναι λεία συνάρτηση του μ. Απόδειξη θεωρήματος διακλάδωσης πτυχής. Η διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου.
6-4-2017 [2,17]	Θεώρημα των Li-Yorke: “Period three implies chaos” –απόδειξη και γραφήματα μετάβασης. Διάταξη και θεώρημα Sharkovsky. Η λογιστική απεικόνιση για μ>4. Ορισμός των συνόλων Λ_n.
7-4-2017 [1,18]	Ιδιότητες των συνόλων Λ_n, απόδειξη. Ορισμός συνόλων Smith-Cantor και σχέση με τριαδικά αναπτύγματα. Το Λ είναι σύνολο Cantor. [ΤΕΛΟΣ 1ου ΜΕΡΟΥΣ!]

top