Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
[29/6/22] Επί πτυχίω Εξέταση της 21/6: Τα αποτελέσματα έχουν σταλεί στη γραμματεία και πρέπει να είναι ήδη διαθέσιμα.
Τελική Εξέταση της 7/2: Η διάρκεια της εξέτασης είναι δύο ώρες. Η είσοδος των φοιτητών στις αίθουσες θα ξεκινήσει στις 8π.μ. Η βασική αίθουσα για το Τμήμα Β είναι η Δ11. Μόνον σε περίπτωση που γεμίσει η Δ11, θα υπάρξει δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί και η αίθουσα Δ21. Παρακαλώ λοιπόν να προσέλθετε εγκαίρως έξω από την Δ11 ώστε να γίνει ο απαιτούμενος έλεγχος. Υπενθυμίζω ότι, σύμφωνα με τις οδηγίες, θα πρέπει να έχετε μαζί σας τρία πράγματα: 1) πιστοποιητικό εγγραφής στην πλατφόρμα edupass, 2) πιστοποιητικό εμβολιασμού ή νόσησης ή αρνητικού τεστ και 3) την φοιτητική σας ταυτότητα. Η συμμετοχή σας στην εξέταση θα πρέπει να σημαίνει ότι είστε πλήρως προετοιμασμένοι και θεωρείτε ότι θα εξεταστείτε επιτυχώς. Δεν υπάρχει λόγος να έρθετε μόνο για να “δείτε τα θέματα”.
Εξετάσεις Φεβρουαρίου 2022, Οδηγίες για τους φοιτητές εδώ
Αναπληρώσεις: [Από σήμερα, 13 Δεκ. 2021] Θα γίνεται κάθε Δευτέρα μία επιπλέον ώρα για να αναπληρωθούν τα χαμένα μαθήματα. Έτσι θα έχουμε μάθημα Δευτέρα 11-2 και Παρασκευή 9-11 (κανονικά), όλα στην Δ21.
Τα μαθήματα της Παρασκευής 3/12 και Δευτέρας 6/12 δεν έγιναν λόγω κατάληψης.
Ώρες Γραφείου: Δευτέρα 10-11 και Τρίτη 9-10, ή στείλτε απλά ένα μήνυμα για να κανονιστεί συνάντηση.
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Δείτε και τί λέει ένας μεγάλος μαθηματικός, ο Irv Kaplansky, για την σχέση Γραμμικής Άλγεβρας και Γεωμετρίας, και πώς η Γεωμετρία δεν έχει την θέση που της αξίζει στα προγράμματα σπουδών στα Μαθηματικά:
“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary schools; it is jostling calculus for the right to be taught first. Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after all, they do need to know what a projective plane is.” Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 11-1 και Παρασκευή 9-11, στην αίθουσα Δ21.
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| Ημερομηνια, Ωρες | Καλυψη Υλης | Αρχεια | Εργασιες |
|---|---|---|---|
| 11/10/21 [2,2] | Εισαγωγή στις έννοιες του μαθήματος, διανυσματικοί, αφινικοί και προβολικοί χώροι. Ευκλείδειες εκδοχές τους. | ||
| 15/10/21 [2,4] | Επισκόπηση ΔΧ: ανάπτυγμα, ανεξαρτησία, βάσεις, μη-μοναδικότητα βάσης, παραδείγματα. Θεώρημα ανταλλαγής του Steinitz, θεώρημα επέκτασης βάσης. | ||
| 18/10/21 [2,6] | ΔυΧ, θεώρημα διάστασης dim(U+W) = dimU + dimW -dim(U^W). Πίνακας γραμμ. απεικόνισης ως προς βάσεις, σύνθεση δίνει γινόμενο πινάκων. Εικόνα και πυρήνας, θεώρημα rank-nullity. Γεωμετρική θεώρηση ΣΓΕ. Ύπαρξη και μοναδικότητα. | ||
| 22/10/21 [2,8] | ΣΓΕ, γεωμετρική θεώρηση, σύνολο λύσεων ως παράλληλη μετατόπιση πυρήνα, που λέμε αφινικό χώρο, παραδείγματα. | ||
| 25/10/21 [2,10] | Παραδείγματα εύρεσης συνόλου λύσεων ΣΓΕ, "παραμετρική μορφή" αφινικών ευθειών και επιπέδων. Αφινικοί συνδυασμοί. | ||
| 29/10/21 [2,12] | Ορίζουσες, γεωμετρική ερμηνεία. Ορισμός αφινικού χώρου και δράσης ΔΧ πάνω του. Σχέση με σύνολα λύσεων ΣΓΕ. Βάση ΔΧ δίνει αφινική βάση (n+1) σημείων. Αφινικοί συνδυασμοί. | ||
| 1/11/21 [2,14] | Αφινικό ανάπτυγμα, αφινική ανεξαρτησία, αφινικές βάσεις, παραδείγματα δράσης, μέθοδος μέσω εύρεσης πυρήνα. Βαρυκεντρικές συντεταγμένες. | ||
| 5/11/21 [2,16] | Τί είναι η "αφινική γεωμετρία"; Θεώρημα τομής διαμέσων τριγώνου, αφινική απόδειξη. Κατηγορίες ΑΧ. Αφινικές απεικονίσεις, ορισμός. | ||
| 8/11/21 [2,18] | Αφινική απεικόνιση ως προς επιλογές βάσεων, y=Px+c. Παραδείγματα. Σύνθεση αφινικών απεικονίσεων, ύπαρξη αντίστροφης, η αφινική ομάδα ΑΧ. | ||
| 12/11/21 [2,20] | Μετατοπίσεις, διαστολές, ομοθεσίες. Αφινικοί υποχώροι (ΑυΧ) απεικονίζονται σε ΑυΧ. Αλλαγή βάσης, υπολογισμός και παραδείγματα. Σύγκριση με αλλαγή βάσης σε ΔΧ. | ||
| 19/11/21 [2,22] | Παραλληλία και γενική θέση αφινικών υποχώρων: ευθείες σε επίπεδο και χώρο, ευθεία και επίπεδο σε αφινικό χώρο. Ορισμός παράλληλων αφινικών υποχώρων. Αφινική απεικόνιση διατηρεί παραλληλία ευθειών - απόδειξη. Γενικό θεώρημα: αφινική απεικόνιση διατηρεί παραλληλία. | ||
| 22/11/21 [2,24] | Γενικό θεώρημα: αφινική απεικόνιση διατηρεί παραλληλία -- απόδειξη. Η Αφινική Γεωμετρία, βασικά γνωρίσματα, θεωρήματα Θαλή και Μενέλαου, Ceva (διατυπώσεις μόνο). | ||
| 26/11/21 [2,26] | Θεωρήματα Θαλή και Μενέλαου, Ceva - αποδείξεις. Γεωμετρικοί τόποι που ορίζουν αλγεβρικές εξισώσεις σε ΑΧ: γραμμικές δίνουν ουσιαστικά ΣΓΕ. | ||
| 29/11/21 [2,28] | Τετραγωνικές εξισώσεις, απλά παραδείγματα. Απόπειρες με συμπλήρωση τετραγώνου. Συστηματική μέθοδος: τετραγωνική συνάρτηση με πίνακες, αφινική αλλαγή μεταβλητών. | ||
| 10/12/21 [2,30] | Απλοποίηση τετραγωνικού μέρους: επισκόπηση θεωρίας ιδιοτιμών, Φασματικό Θεώρημα για συμμετρικούς R-πίνακες, οι τρεις τύποι σε 2 διαστάσεις. | ||
| 13/12/21 [3,33] | Οι 9 κανονικές μορφές. Κριτήρια αναγνώρισης των πρώτων 5, μη-εκφυλισμένων, μορφών. Ορίζουσα block πίνακα και εφαρμογή στον επαυξημένο πίνακα. Τετραγωνικό μέρος σε περίπτωση που detC=0. | ||
| 17/12/21 [2,35] | Κριτήρια για παραβολή, οι υπόλοιπες εκφυλισμένες μορφές. Προετοιμασία για τον ορισμό προβολικών χώρων. | ||
| 20/12/21 [3,38] | Προβολικοί χώροι: ορισμός ως σύνολο ευθειών, ως σύνολο ΚΙ για ΣΙ στο R^3-{0}. Οι ΠΧ ως συμπλήρωση ΑφΧ, επιλογή αντιπροσώπων. Η προβολική ευθεία, τοπολογικά κύκλος. Το προβολικό επίπεδο, τομή ευθειών (αφινικών και προβολικών). | ||
| 10/1/22 [3,41] | Τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να είναι ομογενής, το Φασματικό Θεώρημα διαγωνιοποιεί, οι πέντε περιπτώσεις στο R3 και κατόπιν στο προβολικό επίπεδο RP2. Αντιστοίχιση με τις 9 κανονικές μορφές της Αφινικής Γεωμετρίας, κωνικές τομές. | ||
| 14/1/22 [2,43] | Κριτήρια αναγνώρισης προβολικών κανονικών μορφών, το κριτήριο του Sylvester, απόδειξη βασισμένη στην εκλέπτυνση του Gilbert. | ||
| 17/1/22 [3,46] | Ευκλείδειοι ΔΧ: ορισμός εσωτερικού γινομένου, ύπαρξη και πληθώρα ΕΓ σε κάθε ΔΧ, παραδείγματα. Συνάρτηση μέτρου, ορισμός γωνίας από ΕΓ, ανισότητες Cauchy-Schwarz και τριγωνομετρική. Ορθοκανονικές βάσεις, εύρεση συντεταγμένων, κατασκευή από δοθείσα βάση (μέθοδος Gram-Schmidt), προβολή σε υποχώρο. | ||
| 21/1/22 [2,48] | Εφόσον απεικόνιση είναι ορθογώνια, είναι και γραμμική -- απόδειξη. Πίνακας ορθογώνιας απεικόνισης είναι ορθογώνιος, η ορθογώνια ομάδα, υπό-ομάδα περιστροφών. Ορθογώνιες απεικονίσεις στο επίπεδο, ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, περιστροφές. | ||
| 24/1/22 [2,50] | Ανακλάσεις στο επίπεδο. Ευκλείδειοι Αφινικοί Χώροι, μετρική, ιδιότητες. Ισομετρίες είναι αφινικές απεικονίσεις με ορθογώνιο γραμμικό μέρος. Μελέτη ισομετριών του επιπέδου, γνήσιες ισομετρίες για θ μη-0 είναι περιστροφές, απόδειξη. | ||
| 28/1/22 [2,52] | Θεώρημα ταξινόμησης: αφινική ισομετρία επιπέδου είναι μετατόπιση, περιστροφή, ανάκλαση ή ολισθαίνουσα ανάκλαση. Απόδειξη των τελευταίων 2 περιπτώσεων. ΤΕΛΟΣ | ||