ΥΕ μάθημα 6ου εξαμήνου
Η δεύτερη ιστοσελίδα του μαθήματος βρίσκεται στο e-learning εδώ, και περιλαμβάνει το βασικό υλικό του μαθήματος.
Περιεχόμενα:
Περιγραφή:
- Προβολικές απεικονίσεις, cross-ratio, τετραγωνικές καμπύλες στο προβολικό επίπεδο.
- Ταξινόμηση τετραγωνικών επιφανειών, κριτήρια αναγνώρισης.
- Στοιχεία κυρτής γεωμετρίας, το θεώρημα του Helly.
- Γεωμετρία στην σφαίρα, γωνίες και εμβαδόν, μετασχηματισμοί.
- Στοιχεία υπερβολικής γεωμετρίας, μοντέλα, μετασχηματισμοί, απόσταση.
- Η Γεωμετρία κατά το πρόγραμμα Erlangen του Klein.
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 12:15-1 στην αίθουσα Μ1 και Πέμπτη 11:15-1 στην Μ0.
Η αξιολόγηση του μαθήματος είναι με εργασίες (35%), συμμετοχή στα μαθήματα (15%) και τελική εξέταση (50%).
Ημερολόγιο
| Ημερομηνία, ώρες | Κάλυψη ύλης | Αρχεία |
|---|---|---|
| 13/2/24 [1,1] | Εισαγωγή: γεωμετρίες, φιλοσοφία του Klein. Επισκόπηση βασικών εννοιών των κατηγοριών των Διανυσματικών Χώρων και Γραμμικών Απεικονίσεων και Αφινικών Χώρων και Απεικονίσεων, η Αφινιή Ομάδα. Επόμενο βήμα οι Προβολικοί Χώροι (το βασικό μας αντικέιμενο). | |
| 20/2/24 [1,2] | Προβολική ευθεία και προβολικό επίιπεδο ως συμπληρώματα αφινικών χώρων. Ανάθεση Σημείου τομής παραλλήλων (αφινικών) ευθειών. | |
| 22/2/24 [2,4] | Εναλλακτικοί τρόποι ορισμού του προβολικού επιπέδου, ΣΙ και ΚΙ, αντιπρόσωποι. Μοντέλα του προβολικού επιπέδου: το cross cap και η επιφάνεια του Boy. Ορισμός τοπολογίας σε χώρο πηλίκο. | |
| 27/2/24 [1,5] | Ορισμός ΠΧ από ΔΧ με σώμα Κ. Παραδείγματα και ο δυϊκός ΠΧ. Υπερεπίπεδα. | |
| 29/2/24 [2,7] | Παραδείγματα, το επίπεδο του Fano. Χάρτες και αλλαγή χαρτών. Τοπολογία ΠΧ, είναι Hausdorff, συμπαγείς, δρομο-συνεκτικοί. Τοπολογία του RP1 και του CP1, αποτελέσματα για απεικονίσεις και χώρους πηλίκου. | |
| 5/3/24 [1,8] | Απόδειξη ομοιομορφισμών RP^1 με S^1 και CP^1 με S^2 και το Hopf fibration. Εξήγηση από στερεογραφική προβολή. | |
| 7/3/24 [2,10] | Αντιστοίχιση ΠΧ RP^3 και ομάδας περιστροφών του R^3. Προβολικές βάσεις, εξήγηση, πρόβλημα με ομογενείς συντεταγμένες. Προσπάθεια να οριστεί απεικόνιση ΠΧ από γραμμική απεικόνιση των ΔΧ, πρόβλημα με ύπαρξη μη-τετριμμένου πυρήνα. | |
| 12/3/24 [1,11] | Ορισμός ομογραφίας, η προβολική ομάδα GP(V)=Gl(V)/K*Id, απόδειξη. Θεμελιώδες θεώρημα προσδιορισμού μοναδικής ομογραφίας μέσω προβολικών βάσεων. | |
| 14/3/24 [2,13] | Ομάδα ομογραφιών ΠΧ, σύγκριση με γραμμικές και αφινικές απεικονίσεις. Κριτήριο για να έχουμε προβολική βάση: κάθε συλλογή (n+1) από τα (n+2) Σημεία αντιστοιχούν σε βάση. Ομογραφία εκφρασμένη σε χάρτες, παραδείγματα σε μικρή διάσταση. | |
| 19/3/24 [1,14] | [Επιστροφή σε ζωντανή διδασκαλία] Δράσεις ομάδων σε σύνολα, παραδείγματα. | |
| 21/3/24 [2,16] | Δράσεις: πιστή, ελεύθερη δράση, τροχιές, μεταβατική και απλά μεταβατική δράση, παραδείγματα. Υπο-ομάδα ισοτροπίας (ή σταθεροποίησης), ομογενείς χώροι, παραδείγματα. | |
| 26/3/24 [1,17] | Προβολικοί υποχώροι, προβολικό ανάπτυγμα, ανεξαρτησία, σχέση με προβολική βάση. Το θεώρημα διάστασης για ΠυΧ. | |
| 28/3/24 [2,19] | Υπερ-Επίπεδα ως σύνολο Σημείων στο άπειρο για αφινικό χώρο, προβολική συμπλήρωση του σώματος, Ρ(Κ2), ομοθεσίες και σχέση με απεικονίσεις Möbius. Τα θεωρήματα του Πάππου και του Desargues, αποδείξεις τους με τη μέθοδο της επιλογής υπερ-επιπέδου στο άπειρο (sending points to infinity). Γραφική εξήγηση σε σφαίρα στο GeoGebra. | |
| 2/4/24 [1,20] | Προοπτική, στο πλαίσιο της Αφινικής Γεωμετρίας και στο σωστότερο πλαίσιο της Προβολικής Γεωμετρίας, απόδειξη ότι είναι ομογραφία. | |
| 4/4/24 [2,22] | Ο διπλός ή μεικτός λόγος (cross ratio, CR). Σχετικές μετρήσεις σε ΑΧ (σε ευθεία, με επιλογή 2 σημείων βάσης) και σε ΠΧ (σε προβολική Ευθεία, 4ου σημείου ως προς άλλα τρία, δίνει τον ΔΛ.) Ορισμός και τρόποι υπολογισμού. | |
| 9/4/24 [1,23] | Συνέχεια υπολογισμού ΔΛ, αφινική περίπτωση. Μεταθέσεις των 4 Σημείων και ΔΛ. Δυϊκοί ΠΧ, θεώρημα διαστάσεων. | |
| 11/4/24 [2,25] | Απόδειξη ότι ο ΔΛ είναι αναλλοίωτο ομογραφιών. Αρμονικός επιμερισμός (harmonic division), και ειδικές περιπτώσεις αρμονικά συζυγών σημείων. Δέσμη (pencil) Υπερεπιπέδων και αποτέλεσμα για ισότητα ΔΛ 4 Υπερεπιπέδων δέσμης και των 4 Σημείων τομής με Ευθεία, απόδειξη με ορισμό κατάλληλης ομογραφίας. | |
| 16/4/24 [1,26] | Πολυ-γραμμικές απεικονίσεις, συμμετρικές και μη, παραδείγματα, πολυωνυμικές ομογενείς απεικονίσεις. | |
| 18/4/24 [2,28] | Πληθικότητα ομογενών μονωνύμων. ΣΔΜ και ΤΜ, ταυτότητες πόλωσης. Δράση γενικής ομάδας σε τετραγωνικές και ΣΔ μορφές, ισοδυναμία και τροχιές. Πραγματικές τετραγωνικές μορφές: ταξινόμηση από ζεύγος δεικτών Sylvester, κανονικές μορφές. | |
| 23/4/24 [1,29] | ΣΔΜ δίνει ομομορφισμό του ΔΧ με τον δυϊκό του, φ: V -> V*, με πίνακα πάλι τον Α της ΣΔΜ. Ισοτροπικά διανύσματα και κώνος ισοτροπίας, το rad(q), μη-εκφυλισμένη ΤΜ, rank. Non-singular, singular, completely singular ΔυΧ, παραδείγματα. | |
| 25/4/24 [2,31] | ΣΔΓ και ΤΜ και έννοιες "ορθογωνιότητας". Ιδιότητες και απόδειξη αποτελεσμάτων. Ύπαρξη ορθογώνιας βάσης για κάθε ΤΜ, κανονικές μορφές για τις ειδικές περιπτώσεις K=C και K=R. Tο θέωρημα του Sylvester. Ορισμός προβολικού quadric. | |
| 14/5/24 [1,32] | Προβολικά quadrics, γνήσια, ταξινόμηση με το ζεύγος δεικτών (s,t) του Sylvester. Quadrics σε προβολική ευθεία και επίπεδο, οι κλασικές κωνικές τομές και σχέση με τις εννέα κανονικές αφινικές μορφές. | |
| 16/5/24 [2,34] | Quadrics σε προβολικό χώρο 3 διαστάσεων, τοπολογία των qadrics C(s,t), ειδικές περιπτώσεις C(n,1)=S^n, C(2,2)=T^2. Quadrics που περνούν από Σημείο ανήκουν σε Υπερ-επίπεδο του PQ(V), υπάρχει quadric που να περνά από 5 δοθέντα Σημεία του P(V). Γεωμετρία σε σφαίρες, σε ΔΧ και σε ΑΧ, τομές με υποχώρους, μέγιστοι και "μικροί" κύκλοι. | |
| 21/5/24 [1,35] | Γεωμετρία σφαιρών: S1 ως ομάδα περιστροφών του επιπέδου SO(2), S2 και γενικές στερεογραφικές προβολές, συμπαγοποίηση του C, S3 και quaternions, ορισμός. | |
| 23/5/24 [2,27] | Quaternions: γινόμενο, συζυγία, ιδιότητες, μέτρο, normed division algebra των quaternions. Η σφαίρα S3 είναι ομάδα Lie. Η ορθογώνια ομάδα SO(3) περιστροφών του ΕΔΧ και η μοναδιαία σφαίρα S3 στο H. Απόδειξη για ανακλάσεις και για περιστροφές από (pure) quaternions, συζήτηση για την συνάρτηση κάλυψης S3 -> SO(3), αναφορά και στην ομάδα SU(s). | |
| 3/6/24 [2,39] | Εμβαδόν σε σφαίρα S2, τύπος του Girard, η χαρακτηριστική του Euler για κυρτά ή αστροειδή πολύεδρα, απόδειξη με μεταφορά στη σφαίρα. Η μετρική σε σφαίρα, είναι πλήρης και εγγενής. Ομοιότητες και διαφορές με γεωμετρία Ευκλείδειου αφινικού επιπέδου, τύπος "συνημιτόνων", απόδειξη, ιδιότητες και τύπος "ημιτόνων". Αναφορά στην Ελλειπτική Γεωμετρία. ΤΕΛΟΣ |