Εαρινό εξάμηνο 2014-2015
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις #
Εξέταση: Πέμπτη 18 Ιουνίου 2015 στις 11:30πμ.
ΑΝΑΠΛΗΡΩΣΗ: Την ερχόμενη Δευτέρα, 8 Ιουνίου 2015, στις 11πμ στην Μ1.
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη, 11-12:30 (Αίθουσα Μ0) και Πέμπτη, 11-12:30 (Αίθουσα Μ1).
Για τον τελικό βαθμό θα μετρήσουν οι εργασίες και η τελική εξέταση με τα ίδια ποσοστά 50-50.
Αναρτήθηκε (23-2-15) στο Ημερολόγιο αρχείο με την ύλη που καλύφθηκε στο πρώτο μάθημα.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων.
Ημερολόγιο#
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ |
| 17-2-2015 | Πού έχουμε συναντήσει στοιχεία Αλγεβρικής Τοπολογίας; επισκόπηση Διανυσματικής Ανάλυσης, διπλά διαφορικά, τοπολογικές συνθήκες ύπαρξης δυναμικών. Σύντομη ιστορική επισκόπηση της ΑΤ, επιρροή και βραβεία Fields. Τί είναι οι κατηγορίες; παραδείγματα. | Εισαγωγή |
| 26-2-2015 | Η μέθοδος της ΑΤ. Χαρακτηριστική του Euler για τα πλατωνικά στερά, τόρο κοκ. Αναφορά στην ταξινόμηση συμπαγών επιφανειών. Υποκατηγορίες και συναρτητές. | |
| 3-3-2015 | Ομοτοπία, ορισμός και παραδείγματα. Ομοτοπία απεικονίσεων σε σφαίρες, απεικόνιση αντίποδα, μη-μηδενικά διανυσματικά πεδία, διαφορές για περιττή και άρτια διάσταση. | |
| 5-3-2015 | Ορισμός ομοτοπικής ισοδυναμίας, τύπου ομοτοπίας χώρων. Συμπτύξεις και παραμορφωτικές συμπτύξεις. Η κατηγορία hTop. | 1η Εργασία |
| 10-3-2015 | Ομοτοπία ζευγών. Συνεκτικότητα. Δρομοσυνεκτικότητα. Παραδείγματα συνεκτικών αλλά μη δρομοσυνεκτικών χώρων. Συναρτητής  από την κατηγορία Top στην κατηγορία Set. |
|
| 12-3-2015 | Ομοτοπία δρόμων και θεμελιώδες ομαδοειδές. Ορισμός θεμελιώδους ομάδας. | |
| 17-3-2015 | Η θεμελιώδης ομάδα του κύκλου. | |
| 19-3-2015 | Ο συναρτητής  . Στοιχειώδη παραδείγματα. Αλλαγή σημείου βάσης. Συμπτύξεις. |
|
| 24-3-2015 | Τύπος ομοτοπίας και ισόμορφες θεμ. ομάδες. Θεώρημα Brouwer σταθερού σημείου και θεμ. θεώρημα Άλγεβρας.  . [26-3 Δεν έγινε μάθημα.] |
|
| 31-3-2015 | Ελεύθερο γινόμενο ομάδων και ελεύθερες ομάδες. Παραστάσεις ομάδων, γεννήτορες και σχετιστές/σχέσεις. | |
| 2-4-2015 | Το θεώρημα Seifert-van Kampen. Διατύπωση μέσω παραστάσεων, οπότε έχουμε το ελεύθερο γινόμενο των  , με επιπλέον σχέσεις από την ταύτιση στις εικόνες των στοιχείων της  της τομής (amalgamated free product.) |
2η Εργασία |
| 21-4-2015 | Εφαρμογές και υπολογισμοί: θεμελιώδης ομάδα επιφάνειας, θεμ. ομάδα κόμβου. | |
| 23-4-2015 | Θεμελιώδης ομάδα κόμβου: Παράδειγμα του τρίφυλλου και γενικά περί παράστασης Wirtinger. Εισαγωγικά για την Ομολογία. Σύμπλοκα. | |
| 28-4-2015 | Απεικονίσεις εδρών. Ορισμός συνόρου. Ελεύθερες αβελιανές ομάδες -γενικά. Ορισμός αλυσιδωτού συμπλόκου και ομάδων ομολογίας. | |
| 30-4-2015 | Το ιδιάζον αλυσιδωτό σύμπλοκο  και η γενική κατηγορία Chain αλυσιδωτών συμπλόκων. Ο συναρτητής ομολογίας ως σύνθεση συναρτητών από την κατηγορία Top στην Chain και μετά στην Ab. Υπολογισμός ομολογίας χώρου-σημείου και μηδενική ομολογία  . |
|
| 5-5-2015 | Ομολογία αλυσιδωτών συμπλόκων. Απεικόνιση αλυσίδας δίνει ομομορφισμό στην ομολογία. Τοπολογικό αναλλοίωτο της ιδιάζουσας ομολογίας. Υπολογισμός ομολογίας κυρτού συνόλου. | |
| 7-5-2015 | Ομοτοπία αλυσίδων, ομοτοπικές απεικονίσεις δίνουν ίδιο ομομορφισμό σε Ομολογία. Στοιχεία Ομολογικής Άλγεβρας. Ακριβείς ακολουθίες, παραδείγματα. | |
| 12-5-2015 | Θεώρημα: βραχεία ακριβής ακολουθία αλυσ. συμπλόκων δίνει μακρά ακριβή ακολουθία σε Ομολογία. Συνεκτικός ομομορφισμός. Σχετική ομολογία. Φυσικότητα. [Video: snake lemma από το “It’s my turn”.] | |
| 21-5-2015 | Μειωμένη (reduced) Ομολογία. Καλύψεις χώρου και βασικό θεώρημα υπολογισμού ομολογίας. Προκαταρκτικά για την ακολουθία Mayer-Vietoris. | |
| 26-5-2015 | Aκολουθία Mayer-Vietoris. Εφαρμογή στον υπολογισμό της Ομολογίας σφαιρών. Θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. | |
| 28-5-2015 | Βαθμός d(f) απεικόνισης  και εφαρμογές. Εκτομή (excision), το Λήμμα των πέντε. |
|
| 8-6-2015 | Ισομορφισμός του Hurewicz. Τα αξιώματα των Eilenberg-Steenrod. [ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ] | 3η Εργασία |