Ανακοινώσεις
Ανακοίνωση: Νέο μάθημα για το Εαρινό Εξάμηνο του Ακαδ. Έτους 2018-19 στην Συμπλεκτική Γεωμετρία, ένα αντικείμενο το οποίο βρίσκεται σε κεντρική θέση σε μερικές από τις πιό σημαντικές εξελίξεις των Μαθηματικών (και της Μαθηματικής Φυσικής) των τελευταίων ετών. Πρόκειται για προχωρημένο μεταπτυχιακό μάθημα και επομένως, πέραν την γνωστής “μαθηματικής ωριμότητας” προϋποθέτει και καλή κατανόηση των διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων και των διαφορικών μορφών πάνω τους.
Προαπαιτούμενες γνώσεις: Διαφορίσιμες πολλαπλότητες
‘Ωρες διδασκαλίας: Παρασκευή 10-1 στην αίθουσα M3.
Περιεχόμενο μαθήματος: Συμπλεκτικές μορφές και διανυσματικοί χώροι. Συμπλεκτικές πολλαπλότητες και συμπλεκτομορφισμοί. Γεννήτριες συναρτήσεις. Θεώρημα Darboux. Υποπολλαπλότητες Lagrange. Πολλαπλότητες επαφής και Kähler. Στοιχεία Χαμιλτονιανής Μηχανικής. Η απεικόνιση ροπής. Συμπλεκτική αναγωγή Marsden-Weinstein. Αγκύλες και πολλαπλότητες Poisson.
Ενδεικτική Βιβλιογραφία:
A. Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry (LNM1764 2001, 2008)
R. Berndt: An Introduction to Symplectic Geometry (AMS 2007)
V.I. Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.) (Springer 1982)
Ημερολόγιο
| Ημερομηνία/Ώρες | Κάλυψη Ύλης | Αρχεία | Εργασίες |
| 15-2-2019 [1] | Εισαγωγή: σύντομη παρουσίαση την λαγκραντζιανής και χαμιλτονιανής προσέγγισης στην Μηχανική. Συμπλεκτικοί ΔΧ. | ||
| 1-3-2019 [2] | Στοιχεία πολυγραμμικής άλγεβρας, σφηνοειδές και εσωτερικό γινόμενο, ker rank μορφής. Απεικονίσεις ύφεσης και δίεσης. Ισομορφισμός  . Συμπλεκτικά συμπληρώματα, κατηγορίες υποχώρων. |
||
| 15-3-2019 [3] | Lagrangian υποχώροι, ύπαρξη, συμπληρώματα και συμπλεκτικές βάσεις. Liouville volume form. Συμπλεκτικές πολλαπλότητες, ορισμός και παρατηρήσεις, προσανατολίσιμες πολλαπλότητες. | ||
| 22-3-2019 [4] | Pullbacks και direct images/push-forwards. Παράγωγος Lie για ΔΠ και διαφ. μορφές, βασικοί τύποι. Συμπλεκτομορφισμοί, συμπλεκτικά ΔΠ. | ||
| 29-3-2019 [5] | Time-varying vector fields. Χαμιλτονιανά ΔΠ και Lie-αλγεβρικός ομομορφισμός με χώρο συναρτήσεων. Παραδείγματα συμπλ. πολλαπλοτήτων: 1) R^2n με συνήθη ω, χαμιλτονιανά ΔΠ και ΔΕ και αγκύλη Poisson. | ||
| 5-4-2019 [6] | 2) Προσανατολίσιμες επιφάνειες, 3) Συνεφαπτόμενες δέσμες, ορισμός κανονικής 1-μορφής και έκφραση σε τοπικές συντεταγμένες. | ||
| 12-4-2019 [7] | 4) Πολλαπλότητες Kähler: μιγαδικές πολλαπλότητες, ύπαρξη μη-εκφυλ. 2-μορφής, συνθήκη Kähler, unitary group U(n) και η υπο-ομάδα SU(n), δράση στον προβολικό χώρο CP^1. | ||
| 19-4-2019 [8] | Ορισμός SU(2)-αναλλοίωτης μετρικής στο CP^1. Υποπολλαπλότητες πολλ’των Kähler είναι Kähler. Το τρικ του Moser, διατύπωση και απόδειξη. | ||
| 10-5-2019 [9] | Γενικά περί διαφορικών μορφών και de Rham cohomology. Το θεώρημα του Darboux και απόδειξή του. | ||
| 17-5-2019 [10] | Θεώρημα του Banyaga. Κατηγορίες υπο-πολλαπλοτήτων ΣΠ. Διανυσματικές δέσμες, η καθετική δέσμη. Καθετική δέσμη για lagrangian υποπολ. είναι συνεφαπτόμενη δέσμη. | ||
| 24-5-2019 [11] | Το θεώρημα του Weinstein: απόδειξη, tubular neighbourhoods, λήμμα Poincaré. Θεώρημα για coisotropic υποπολλ’τες. Εισαγωγή στις δράσεις ομάδων. | ||
| 31-5-2019 [12] | Λείες δράσεις ομάδων Lie σε πολλαπλότητες. Παραδείγματα, συμπαγείς ομάδες Lie. Δομή τροχιών, stabilizer subgroups. | ||
| 12-6-2019 [13] | Ανάλυση δράσης (κάθετες δέσμες τροχιάς, σταθερά σύνολα κλπ), ορισμός Hamiltonian G-space και διατύπωση του θεωρήματος αναγωγής των Marsden-Weinstein. ΤΕΛΟΣ |