“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught
everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary
schools; it is jostling calculus for the right to be taught first.
Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as
the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear
algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar
becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing
up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after
all, they do need to know what a projective plane is.”
Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, πληροφορίες#
Ολοκλήρωση μαθήματος, προετοιμασία για την εξέταση: Σήμερα Πέμπτη, 6-6, ολοκληρώσαμε τις παραδόσεις. Συνολικά, κάναμε 13,5 εβδομάδες μαθημάτων και μία εβδομάδα ασκήσεων. Με βασικό σας οδηγό τις σημειώσεις, προετοιμαστείτε για την εξέταση, με έμφαση στην κατανόηση αφενός όλως των βασικών εννοιών, και αφετέρου στην ανάπτυξη ευχέρειας στην χρήση των μεθόδων που είδαμε στα παραδείγματα και τις ασκήσεις. Ελάτε στην εξέταση μόνον εάν είστε καλά προετοιμασμένοι.
Αναπληρώσεις, Μαθήματα: (για τις τελευταίες 3 βδομάδες)
- Αναπλήρωση, Τετάρτη, 22-5 11-1 στην Δ31
- Δευτέρα, 27-5 και Πέμπτη 30-5 κανονικό μάθημα, Τετάρτη, 29-5 μάθημα για απορίες και ασκήσεις
- Δευτέρα, 3-6 και Πέμπτη 6-6 κανονικό μάθημα, Τετάρτη, 5-6 μάθημα για απορίες και ασκήσεις
[16-5] Αναπληρώσεις: τις επόμενες τρεις βδομάδες έχουμε διαθέσιμη την αίθουσα Δ31 κάθε Τετάρτη, ώρες 11-1, όπου θα γίνουν, ανάλογα με τις ανάγκες μας, αναπληρώσεις και μαθήματα ασκήσεων. Οι ημερομηνίες είναι δηλαδή 22-5, 29-4 και 5-6. Σκοπός είναι να συμπληρωθούν οι προβλεπόμενες ώρες διδασκαλίας και, επιπλέον, να βοηθηθεί η οργάνωση του υλικού του μαθήματος ενόψει της τελικής εξέτασης.
Γενικά: Μάθημα Εαρινού εξαμήνου 2017-18, τμήμα Β (Ν-Ω). Πρώτο μέρος του υποχρεωτικού μαθήματος Αναλυτικής Γεωμετρίας. Το τμήμα Α (Α-Μ) διδάσκεται από την κα Πεταλίδου. Έχει αποφασισθεί ότι δεν θα επιτραπούν αλλαγές τμήματος για φοιτητές μεγαλυτέρων εξαμήνων, για οποιονδήποτε λόγο.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος θα υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 11–1 (Δ11), Πέμπτη 9-11 (Δ21).
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Αναλυτική Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο#
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| Ημερομηνια /Ωρες | Καλυψη υλης | Αρχεια | Εργασιες |
|---|---|---|---|
| 11-2-2019 [2,2] | Εισαγωγή: υπάρχουν διάφορες "γεωμετρίες" που θα δούμε, σύντομη περιγραφή. Επισκόπηση γνώσεων από Γρ. Άλγεβρα. Ορισμός ΔΧ, γραμμικοί συνδυασμοί και ανάπτυγμα, γραμμική ανεξαρτησία και βάσεις, παραδείγματα. | ||
| 14-2-2019 [2,4] | Υποχώροι, Λήμμα ανταλλαγής του Steinitz, άθροισμα υποχώρων και θεώρημα διάστασης. Γραμμικές απεικονίσεις. | ||
| 18-2-2019 [2,6] | Σύνθεση γραμ. απ. και γινόμενο πινάκων. Γεωμετρική ερμηνεία ορίζουσας και ιδιοτήτων της. ΣΓΕ: ύπαρξη και μοναδικότητα, απλό παράδειγμα. | ||
| 21-2-2019 [2,8] | ΣΓΕ και το σύνολο λύσεων ως αφινικός υποχώρος. Παράδειγμα επιπέδου. Παραμετρικές μορφές ευθειών και επιπέδων και έκφραση μέσω αφινικών συνδυασμών. | ||
| 25-2-2019 [2,10] | Ορισμός δράσης ΔΧ σε σύνολο και Αφινικού χώρου. Αφινικοί συνδυασμοί. Παραδείγματα. σχέση με σύνολο λύσεων ΣΓΕ. | Ασκήσεις στους ΔΧ | |
| 28-2-2019 [2,12] | Αφινική ανεξαρτησία, ευθείες και επίπεδα, αφινικοί υποχώροι. Αφινικές βάσεις και συντεταγμένες, παραδείγματα. Η αφινική γεωμετρία και το θεώρημα των διαμέσων τριγώνου. | ||
| 4-3-2019 [2,14] | Κατηγορίες παραδειγμάτων Α.Χ.: 1) Δ.Χ., 2) Αφ. υποχώροι Δ.Χ., 3) Σύνολα λύσεων ΣΓΕ, 4) Αφιν. υποχώροι Α.Χ., 5) Σύνολο μη-οριζόντιων ευθειών. | ||
| 14-3-2019 [2,16] | Αφινικές απεικονίσεις, ορισμός σε σύγκριση με γραμμικές απεικονίσεις. Πώς προσδιορίζεται μία αφιν. απ.; Πώς εκφράζεται μέσω επιλογών αφινικών βάσεων, παράδειγμα. | ||
| 18-3-2019 [2,18] | Παραδείγματα αφινικών απεικονίσεων. Σύνθεση και αντίστροφη απεικόνιση. | ||
| 21-3-2019 [2,20] | Αλλαγή αφινικής βάσης και αφιν. συντεταγμένων. Παραλληλία. | ||
| 28-3-2019 [2,22] | Αφινικές απεικονίσεις διατηρούν παραλληλία. Γραμμικό μέρος αφιν. απεικ. Η αφινική ομάδα, ισοδυναμία τριγώνων. | ||
| 1-4-2019 [2,24] | Αφινική γεωμετρία, περιγραφή της, τί διατηρεί. Τα θεωρήματα Θαλή και Μενελάου. | Ασκήσεις στους ΑΧ | |
| 4-4-2019 [2,26] | Απόδειξη θεωρ. Μενελάου και το θεώρημα του Ceva. Εξισώσεις σε ΑΧ: γραμμικές (ΣΓΕ!), τετραγωνικές, ορισμός και γενική μορφή μέσω συμμετρικού πίνακα. | ||
| 8-4-2019 [2,28] | Τετραγωνική εξίσωση  . Στοιχειώδη παραδέιγματα και τεχνικές απλοποίησης. Συστηματική μέθοδος: εφαρμογή αφινικής αλλαγής μεταβλητών. | ||
| 11-4-2019 [2,30] | Ισοδυναμία τετραγωνικών καμπυλών. Απλοποίηση τετραγωνικού μέρους, ιδιοτιμές και ι-διαν. και το Φασματικό θεώρημα για συμμετρικούς R-πίνακες, ομοιότητα και συζυγία. | ||
| 15-4-2019 [2,32] | Σύντομη απόδειξη φασμ. θεωρ. Απλοποίηση τετραγωνικού μέρους, παράδειγμα. Κανονικές μορφές και αρχή διατύπωσης θεωρήματος. | ||
| 18-4-2019 [2,34] | Οι εννέα αφινικές κανονικές μορφές. Κριτήρια αναγνώρισης των μη-εκφυλισμένων περιπτώσεων. | ||
| 6-5-2019 [2,36] | Κριτήρια αναγνώρισης των εκφυλισμένων περιπτώσεων. | ||
| 13-5-2019 [2,38] | [9-5 δεν έγινε μάθημα λόγω διακοπής ρεύματος.] Εισαγωγή στους προβολικούς χώρους. Ορισμός μέσω ΚΙ. | ||
| 16-5-2019 [2,40] | Προβολική ευθεία. προβολικό επίπεδο, γεωμετρική εικόνα (το cross cap), σημεία τομής δύο ευθειών. | The cross-cap (Video) | |
| 20-5-2019 [2,42] | Γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις σε προβολικό επίπεδο. Ομογενή πολυώνυμα. Διαγώνια μορφή από το Φασματικό Θεώρημα, κώνος. | ||
| 22-5-2019 [2,44] | Παρουσίαση εννοιών της Προβολικής Γεωμετρίας στην Geogebra. Οι 5 τύποι γεωμετρικών τόπων για τετραγωνική εξίσωση και πώς παίρνουμε τις αφινικές κανονικές μορφές από αυτούς. | ||
| 23-5-2019 [2,46] | Περιγραφή της αντιστοίχισης αφινικών κανονικών μορφών με τομές τόπου στον χώρο με αφινικό επίπεδο. Οι 5 τόποι στο προβολικό επίπεδο (εκτός ύλης). Θετικά και αρνητικά ορισμένοι πίνακες, κριτήριο μέσω ιδιοτιμών. | ||
| 27-5-2019 [2,48] | Κριτήριο του Sylvester και απόδειξή του, με χρήση Λήμματος που δίνει και πιό εκλεπτυσμένο κριτήριο (πχ για κώνο.) | Αναγνώριση τετραγωνικών καμπυλών | |
| 29-5-2019 [2,50] | Μάθημα αποριών και ασκήσεων | ||
| 30-5-2019 [2,52] | Ευκλείδειοι ΔΧ: ορισμός εσωτερικού γινομένου, παραδείγματα, μη-συνήθη ΕΓ και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανισότητα Cauchy-Schwartz. | ||
| 3-6-2019 [2,54] | ΕΔΧ, ορθοκανονικές βάσεις, προβολή σε υποχώρο, η μέθοδος Gram-Schmidt. Ορθογώνιες απεικονίσεις. | Εργασία 3 | |
| 5-6-2019 [2,56] | Μάθημα αποριών και ασκήσεων | ||
| 6-6-2019 [2,58] | ΕΔΧ, κάθε ορθογώνια απεικόνιση είναι και γραμμική, η ομάδα των ορθογώνιων πινάκων. Ευκλείδειοι ΑΧ: ορισμός συνάρτησης απόστασης και ιδιότητες, ισομετρίες, οι 4 τύποι για το αφινικό επίπεδο. ΤΕΛΟΣ |