Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
[3/11/22] Μαθήματα αποριών και ασκήσεων θα ξεκινήσουν την Τρίτη 8/11 στις 11 στην αίθουσα Δ21.
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Δείτε και τί λέει ένας μεγάλος μαθηματικός, ο Irv Kaplansky, για την σχέση Γραμμικής Άλγεβρας και Γεωμετρίας, και πώς η Γεωμετρία δεν έχει την θέση που της αξίζει στα προγράμματα σπουδών στα Μαθηματικά:
“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary schools; it is jostling calculus for the right to be taught first. Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after all, they do need to know what a projective plane is.” Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 9-11 στην Δ11 και Παρασκευή 9-11 στην αίθουσα Δ31.
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ, ΩΡΕΣ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ |
|---|---|---|
| 4/10/22 [2,2] | Εισαγωγή στις έννοιες του μαθήματος, διανυσματικοί, αφινικοί και προβολικοί χώροι. Ευκλείδειες εκδοχές τους. | |
| 7/10/22 [2,4] | Επισκόπηση ΔΧ: ανάπτυγμα, ανεξαρτησία, βάσεις, μη-μοναδικότητα βάσης, παραδείγματα. Θεώρημα ανταλλαγής του Steinitz, θεώρημα επέκτασης βάσης. ΔυΧ, θεώρημα διάστασης dim(U+W) = dimU + dimW -dim(U^W). | |
| 11/10/22 [2,6] | Γραμμικές απεικονίσεις, πίνακες ως προς βάσεις, σύνθεση δίνει γινόμενο πινάκων. Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης. Παραδείγματα. Διατύπωση του θεωρήματος βαθμίδας-μηδενικότητας (rank-nullity). | |
| 14/10/22 [2,8] | Απόδειξη θεωρήματος rank-nullity. Ορίζουσα ώς όγκος-με-πρόσημο και κριτήριο γραμμικής ανεξαρτησίας. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων: ερμηνεία μέσω γραμμικής απεικόνισης, σύνολο λύσεων, ύπαρξη και μοναδικότητα. | |
| 18/10/22 [2,10] | Γεωμετρική ανάλυση ΣΓΕ, σύνολο λύσεων ως αφινικός υποχώρος, παραδείγματα. | |
| 21/10/22 [2,12] | Αφινικές ευθείες και επίπεδα (παραμετρικές μορφές), αφινικοί συνδυασμοί. Ορισμός αφινικού χώρου, δράση, ιδιότητες. | |
| 25/10/22 [2,14] | Αφινικές βάσεις, αφινικές και βαρυκενρικές συντεταγμένες, αφινικό ανάπτυγμα. Παραδείγματα δράσεων, μέθοδος μέσω πυρήνα της γραμμικής απεικόνισης. | |
| 1/11/22 [2,16] | Επισκόπηση εννοιών ΑΧ έως τώρα. Θεώρημα τομής των τριών διαμέσων ευθειών τριγώνου. Παραδείγματα ΑΧ. Αφινικές απεικονίσεις, εισαγωγή. | |
| 4/11/22 [2,18] | Αφινικές απεικονίσεις, έκφραση με επιλογές βάσεων σε αφινικές συντεταγμένες y=Px+c0, γραμμικό μέρος. Παραδείγματα. | |
| 8/11/22 [2,20] | Σύνθεση αφινικών απεικονίσεων και ύπαρξη αντίστροφης. Ιδιότητες αφινικών απεικονίσεων, αφινικοί υποχώροι πηγαίνουν σε αφινικούς υποχώρους, σύνθεση, η ταυτοτική απεικόνιση, η αφινική ομάδα Aff(X). Ομοιότητα, όλα τα τρίγωνα είναι όμοια σε ΑΧ. | |
| 8/11/22 [T1] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 11/11/22 [2,22] | Παραλληλία αφινικών υποχώρων. Κάθε αφινική απεικόνιση διατηρεί την παραλληλία, απόδειξη με χρήση λήμματος αντικατάστασης του Steinitz και επέκτασης βάσης. Η Αφινική Γεωμετρία, έννοια σχετικής απόστασης σε ευθεία, ομοιότητα τριγώνων αλλά όχι γενικών τετραπλεύρων, ομοιότητα παραλληλογράμμων. Αποτελέσματα της Αφινικής Γεωμετρίας: το θεώρημα του Θαλή. | |
| 15/11/22 [2,24] | Τα θεωρήματα της Αφινικής Γεωμετρίας (Θαλή, Μενελάου, Ceva), με μερικές αποδείξεις. Αλλαγή βάσης και αλλαγή συντεταγμένων σε ΔΧ και σε Αφινικό Χώρο. | |
| 15/11/22 [Τ2] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 18/11/22 [2,26] | "Γραμμικές και Τετραγωνικές Εξισώσεις" σε ΑΧ: μετατροπή σε εύρεση αντίστροφης εικόνας αφινικής απεικόνισης, η θεωρία είναι όπως και για ΣΓΕ, και το σύνολο λύσεων (αντίστροφη εικόνα) είναι πάντοτε αφινικός υποχώρος. Τετραγωνικές συναρτήσεις, ορισμός και έκφραση μέσω συμμετρικού πίνακα. | |
| 22/11/22 [2,28] | Τετραγωνικές εξισώσεις, απόπειρες απλοποίησης με συμπλήρωση τετραγώνου. Συστηματική μέθοδος: αφινική αλλαγή μεταβλητών. Απλοποίηση τετραγωνικού μέρους: επισκόπηση θεωρίας ιδιοτιμών, Φασματικό Θεώρημα για συμμετρικούς R-πίνακες. | |
| 22/11/22 [T3] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 25/11/22 [2,30] | Απλοποίηση τετραγωνικού μέρους: οι τρεις κανονικές μορφές σε αφινικό επίπεδο. Κριτήρια για πρόσημα ιδιοτιμών μέσω ορίζουσας και ίχνους. Απαλοιφή γραμμικών όρων εφόσον detC μη-0. Οι πέντε μη-εκφυλισμένες κανονικές μορφές. | |
| 29/11/22 [2,32] | Οι 9 κανονικές μορφές. Κριτήρια αναγνώρισης των 5 μη-εκφυλισμένων μορφών, ορίζουσα block-πίνακα. Για εκφυλισμένο C, οι τετραγωνικοί όροι είναι τέλειο τετράγωνο. | |
| 29/11/22 [Τ4] | [Μάθημα αποριών και ασκήσεων] | |
| 2/12/22 [2,34] | Ολοκλήρωση κριτηρίων για αναγνώριση τετραγωνικών τόπων (δείτε και το σχετικό αρχείο στο Επιπλέον Υλικό), παραδείγματα υπολογισμών. Εισαγωγή στους Προβολικούς Χώρους: το προβολικό επίπεδο ως το σύνολο όλων των ευθειών/ΔυΧ του ΔΧ R3. Το αφινικό επίπεδο ως υποσύνολο, ο ρόλος των ευθειών που δεν καλύπτονται από αυτό ως μοναδικά σημεία τομής παραλλήλων ευθειών του αφινικού επιπέδου. | |
| 6/12/22 | ||
| 9/12/22 |