Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, πληροφορίες#
Αποτελέσματα της επί πτυχίω εξέτασης της 17-2-2017 εδώ.
Αποτελέσματα της εξεταστικής Σεπτεμβρίου εδώ. Εάν κάποιος επιθυμεί να δει το γραπτό του, ας μου στείλει ένα email. Τα θέματα ήταν απλά και μάλιστα αρκετά από αυτά εμφανιζόταν στο υλικό του μαθήματός μας (εργασίες κοκ) –αλλά και σε αυτό της κας Παπαδοπούλου– και επιπλέον είχατε επιλογή 100/120 μονάδων.
Τα θέματα της εξεταστικής του Ιουνίου είναι εδώ και τα αποτελέσματα είναι εδώ. Η μεγάλη πλειοψηφία ήρθε στις εξετάσεις εντελώς απροετοίμαστη. Πέρασαν κατά κανόνα οι λίγοι που παρακολουθούσαν και έκαναν προσπάθεια κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Όπως είχαμε πει από την αρχή, κάθε μάθημα στα Μαθηματικά θέλει χρόνο και αφοσίωση για να αφομοιωθούν οι έννοιες και να αναπτυχθούν οι δεξιότητες που απαιτούνται.
Αναρτήθηκε η τελευταία εργασία. Βασικός σας οδηγός για την προετοιμασία για τις εξετάσεις είναι οι παραδόσεις και οι μέθοδοι που δώσαμε εκεί. Μελετήστε τες προσεκτικά. Οι εργασίες δίνουν αντιπροσωπευτικό δείγμα του επιπέδου κατανόησης που θα πρέπει να έχετε, παρόμοιο των παραδειγμάτων στις παραδόσεις. Είναι πιο εκτεταμένες από τα θέματα, τα οποία θα δίνουν έμφαση στις βασικές έννοιες της Γεωμετρίας που μελετήσαμε.
Το μάθημα ολοκληρώθηκε την Πέμπτη, 2-6. Τη Δευτέρα, 6-6, 10-12πμ έχουμε προαιρετικό μάθημα για τυχόν απορίες σας.
Η δεύτερη εργασία, πάνω στους αφινικούς χώρους, αναρτήθηκε (14-4, με διόρθωση στην #4, 28-4).
Έχει ενεργοποιηθεί πεδίο αποριών/σχολίων στο κάτω μέρος της ιστοσελίδας (30-3-16).
Αναρτήθηκε το πρώτο μέρος του κεφαλαίου της Αφινικής Γεωμετρίας.
Είναι έτοιμο το κεφάλαιο με την επισκόπηση διανυσματικών χώρων και γραμμικής άλγεβρας των μαθημάτων από 22-2 έως 7-3 [Νέο αρχείο 18-3 με τα σχήματα]. Το υλικό αυτό είναι βοηθητικό και σε καμμία περίπτωση δεν αντικαθιστά τη συνεπή παρακολουθηση των παραδόσεων.
Είναι διαθέσιμη η πρώτη εργασία (13-3-2016), [18-3: μικρή διόρθωση στην 1(β).]
Εαρινό εξάμηνο 205-16, τμήμα Α (Α-Μ). Πρώτο μέρος του υποχρεωτικού μαθήματος Αναλυτικής Γεωμετρίας. Το τμήμα Β (Ν-Ω) διδάσκεται από την κα Πεταλίδου. Έχει αποφασισθεί ότι δεν θα επιτραπούν αλλαγές τμήματος για φοιτητές μεγαλυτέρων εξαμήνων, για οποιονδήποτε λόγο.
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 10-12 (Δ31), Πέμπτη 9-10 (Δ31).
Ημερολόγιο#
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | Σημειώσεις | Εργασίες |
| 18-2-2016 [1,1] | Εισαγωγή στη Γεωμετρία. Επισκόπηση και κύριοι σταθμοί και επιτυχίες της. | ||
| 22-2-2016 [2,3] | Διανυσματικοί χώροι. Ορισμός, παραδείγματα, γραμμική ανεξαρτησία και εξάρτηση, γραμμικοί συνδυασμοί και ανάπτυγμα. | ||
| 25-2-2016 [1,4] | Βάσεις, μη-μοναδικότητα, κανονική βάση του Rn, διάσταση. Υποχώροι, τομή και άθροισμα υποχώρων. | ||
| 29-2-2016 [2,6] | Θεωρήματα: επέκτασης βάσης, διάστασης αθροίσματος και αντικατάστασης. Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες. Γεωμετρικές ερμηνείες της ορίζουσας και ιδιότητες. | ||
| 3-3-2016 [1,7] | Γραμμικές απεικονίσεις, εικόνα, πυρήνας. Κριτήρια γραμμ. ανεξ. μέσω ορίζουσας. Συστήματα γραμμ. εξισώσεων (ΣΓΕ), ερμηνεία μέσω γραμμ. απεικ., ύπαρξη λύσεων. | ||
| 7-3-2016 [2,9] | ΣΓΕ, παράδειγμα, σύνολο λύσεων, πυρήνας. Εξισώσεις ευθειών και επιπέδων στο χώρο, αφινικοί συνδυασμοί. | Κεφάλαιο 2: Γραμ. Άλγ. | 1η Εργασία |
| 17-3-2016 [1,10] | Αφινικοί συνδυασμοί και σύγκριση με γραμμικούς συνδυασμούς. Ορισμός δράσης ΔΧ σε σύνολο και πρώτος ορισμός αφινικού χώρου. | ||
| 21-3-2016 [2,12] | Δύο ορισμοί ΑΧ. Παραδείγματα (ΔΧ και ευθεία στο R2). Ορισμός αφινικών συνδυασμών, βάσεις ΑΧ. | ||
| 24-3-2016 [1,13] | Αφινικό ανάπτυγμα και αφινική ανεξαρτησία. Δύο τύποι βάσεων για Α.Χ. και δύο ειδών συντεταγμένες, αφινικές και βαρυκεντρικές. Παραδείγματα ευθείας και επιπέδου. | Αφινικοί Χώροι 1 | |
| 28-3-2016 [2,15] | Συντεταγμένες ΑΧ. Θεώρημα τομής των τριών διαμέσων τριγώνου. Κατηγορίες ΑΧ: 1) ΔΧ, 2) Αφινικοί υποχώροι ΔΧ, 3) Σύνολα λύσεων ΓΣΕ, 4) Σύνολο συμπληρωματικών ευθειών επιπέδου. | ||
| 31-3-2016 [1,16] | Το βασικό παράδειγμα (για την ΑΓ-Ι) επιπέδου στο χώρο, ως αφινικός υποχώρος ΔΧ. Επιλογές δράσης και σχέση με τον πυρήνα της γραμ. απεικόνισης. | ||
| 4-4-2016 [2,18] | Το βασικό παράδειγμα (συνέχεια): συντεταγμένες. Αφινικές απεικονίσεις, ορισμός και έκφραση σε αφ. συντετ. y=Ax+d. | ||
| 7-4-2016 [1,19] | Αφινικές απεικονίσεις: παράδειγμα ΔΧ ως ΑΧ. Ομάδα αντιστρέψιμων αφ. απεικ. Aff(Xn). | ||
| 11-4-2016 [2,21] | Αφινική ομάδα, μετατοπίσεις και διαστολές (ομοθετικές απεικονίσεις). “Στην αφινική γεωμετρία όλα τα τρίγωνα είναι όμοια!” Διατήρηση παραλληλίας. Παράδειγμα αφ. απεικ. από επίπεδο σε επίπεδο στο χώρο. | ||
| 14-4-16 [1,22] | Αφινική Γεωμετρία: Θεωρήματα Ceva και Μενελάου. Τετράεδρα στο χώρο ως αφινικές βάσεις –όλα είναι ισοδύναμα (όπως όλα τα τρίγωνα στο επίπεδο.) | 2η Εργασία | |
| 18-4-2016 [2,24] | Αλλαγή βάσης σε ΑΧ. Παραδείγματα: ΔΧ ως ΑΧ και αφινικό επίπεδο στο χώρο. | ||
| 21-4-2016 [1,25] | Αφινική γεωμετρία: γραμμικές εξισώσεις δίνουν αφιν. υποχώρους, παραδείγματα. Εισαγωγή στις τετραγωνικές εξισώσεις, τετραγωνικές μορφές και συμμετρικοί πίνακες. | ||
| 9-5-2016 [2,27] | Εισαγωγικά περί κωνικών τομών. Τετραγωνικές καμπύλες, γενικά, παραδείγματα. Αφινική ισοδυναμία. Διαγωνιοποίηση τετραγ. μέρους. | ||
| 12-5-2016 [1,28] | Απλοποίηση τετραγωνικού μέρους με αφιν. ισοδυναμία. Απαλοιφή γραμμικού μέρους. Οι εννέα κανονικές μορφές για τετραγ. εξισώσεις στο αφιν. επίπεδο. | ||
| 16-5-2016 [2,30] | Κριτήρια αναγνώρισης κανονικών μορφών με ορίζουσες και ίχνος κατάλληλων πινάκων. Προσάρτηση “κατευθύνσεων” σε ευθείες στον ΑΧ Α2 και ορισμός του προβολικού χώρου 2 διαστάσεων. | ||
| 19-5-2016 [1,31] | Εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία: Ομογενείς συντεταγμένες στον προβ. χώρο RP2. Γεωμετρικοί τόποι στον ΠΧ: γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. | ||
| 23-5-2016 [2,33] | Ταξινόμηση τετραγωνικών μορφών στο RP2 που δίνει ταξινόμηση στον ΑΧ τετραγ. καμπυλών. “Κωνικές” τομές (z=1). Σύγκριση ΔΧ, ΑΧ και αντίστοιχων απεικονίσεων, ως εισαγωγή στους Ευκλείδειους χώρους. | ||
| 26-5-2016 [1,34] | Ευκλείδειοι ΔΧ: εσωτερικά γινόμενα σε ΔΧ, παραδείγματα: το κανονικό εσ.γιν. στο Rn είναι μόνο μία επιλογή, καθώς κάθε συμμετρικός, θετικά ορισμένος πίνακας ορίζει εσ. γινόμενο. | ||
| 30-5-2016 [2,36] | ΕΔΧ: παράδειγμα μη κανονικού εσ.γιν. Ορθοκανονικές βάσεις. Διαδικασία Gram-Schmidt. Ανισότητα Cauchy-Schwarz και τριγωνική ανισότητα. Ορισμός γωνίας. | ||
| 2-6-2016 [1,37] | Γεωμετρική ερμηνεία εσωτ. γινομένου. Ορθογώνιες απεικονίσες σε ΕΔΧ. Ιδιότητες και παραδείγματα. Ορθογώνιοι πίνακες. Ορισμός Ευκλ. Αφινικού Χώρου. | 3η Εργασία (διορθώσεις 6-6) | |
| 6-6-2016 [2,39] | Προαιρετικό μάθημα για απορίες κ.ο.κ. |
Με τις σημειωσεις που αναρτησατε και αν διαβασουμε αυτες οσοι ειμαστε εκτος θεσσαλονικης ειμαστε ετοιμοι για τις εξετασεις?
Όχι. Αναφέρω στις ανακοινώσεις: “Το υλικό αυτό είναι βοηθητικό και σε καμμία περίπτωση δεν αντικαθιστά τη συνεπή παρακολουθηση των παραδόσεων.”
Πάντως είναι μιά καλή αρχή για να μπείτε στο πνεύμα του μαθήματος.
ΣΤΗΝ 13 ΜΗΠΩΣ ΕΝΝΟΕΙΤΕ ΝΑ ΑΛΛΑΞΟΥΜΕ ΕΝΑΝ ΜΟΝΟ ΑΡΙΘΜΟ ΓΙΑ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ “ΕΠΙΠΕΔΟ”?
Είναι νομίζω αρκετά προφανές τί εννοώ. Κάτι μικρό αλλάζει στις εξισώσεις και κάτι συμβαίνει με το σύνολο που ορίζεται.
Θα ανέβει μήπως και τρίτο σετ ασκήσεων; Καθώς και σημειώσεις από τη θεωρία;
Ναι, στο πρώτο, όπως αναφέρθηκε και στο μάθημα. Ολοκληρωμένες σημειώσεις δυστυχώς δεν προλαβαίνω να ετοιμάσω. Καλύτερος και πιο πλήρης οδηγός μελέτης οι δικιές σας σημειώσεις, όπως σας είπα.
Καλησπερα,στις τετραγωνικες μορφες οταν η οριζουσα του αρχικου πινακα (οχι του επαυξημενου) ειναι μηδεν τοτε η αφινικη μορφη εχει 3 δυνατες επιλογες πως ξερουμε ποτε ειναι z1^2=0 ή =1 ή =-1 ?
Μηδενική ορίζουσα δίνει τέσσερις πιθανές μορφές (παραλ.ευθείες, διπλή ευθεία, κενό ή παραβολή). Παραβολή έχουμε αν η ορίζουσα του μεγαλύτερου πίνακα είναι μη-μηδενική. Στις άλλες περιπτώσεις είναι γενικά εύκολο να βρούμε ποιά από τις τρεις υπολειπόμενες περιπτώσεις ισχύει μελετώντας τις ιδιοτιμές του πίνακα (που μπορούν να είναι (1,0,-1), (1,0,0) ή (1,0,1)). Ισοδύναμα, χωρίς να χρειαστεί να βρούμε τις ιδιοτιμές, μπορεί να δουλέψουμε με ύπαρξη 2Χ2 ορίζουσας (για ίδιες σειρές και στήλες) που να είναι <0, =0 ή >0 αντίστοιχα.
Ευχαριστώ πολύ
Τα αποτελέσματα θα αναρτηθούν σ’ αυτή τη σελίδα;
Ναι.