Χειμερινό εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2019-20, Τμήμα B
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις#
[22/9/20] Περάστηκαν οι βαθμοί της επαναληπτικής εξέτασης στο e-learning
[17/9/20] Τα αποτελέσματα της επαναληπτικής εξέτασης της 14/9 θα είναι διαθέσιμα στα μέσα της ερχόμενης βδομάδας
Εξετάση Σεπτεμβρίου 2020: Η εξέταση θα είναι γραπτή εξέταση, με θέματα που θα σας δοθούν στο elearning, και με συνεχή οπτική και ακουστική ηλεκτρονική επιτήρηση στην πλατφόρμα Zoom. Η διάρκειά της θα είναι δύο ώρες.
Στο τέλος, θα υποβάλετε το γραπτό σας στην ίδια πλατφόρμα ως εικόνες/σκαν/φωτογραφίες. Σε περίπτωση αμφιβολίας, πιθανόν να ζητηθεί περαιτέρω προφορική εξέταση.
Η εξέταση θα είναι λοιπόν ακριβώς στο επίπεδο μιας συνήθους εξέτασης, και μάλιστα τα θέματα εξ ανάγκης θα είναι λιγότερο εξαρτώμενα από κομμάτια θεωρίας ή από ο,τιδήποτε εμφανίζεται σε σημείωσεις ή έτοιμο υλικό (για προφανείς λόγους). Συμβουλή μου επομένως είναι να συμμετάσχετε μόνο εάν είστε σίγουροι ότι η προετοιμασία σας είναι πλήρης, και όλες οι βασικές έννοιες απόλυτα σαφείς.
Την Τετάρτη 9-9 στις 10 π.μ. ακριβώς θα κάνουμε ένα δοκιμαστικό της εξέτασης, στον σύνδεσμο,
για να βεβαιωθούμε ότι έχετε τον κατάλληλο εξοπλισμό, και για να εξοικειωθείτε με την διαδικασία της επιτηρούμενης ηλεκτρονικά γραπτής εξέτασης, αλλά και της υποβολής στην πλατφόρμα του elearning. Η συμμετοχή σας είναι απαραίτητη: μόνο όσοι συμμετάσχουν στην δοκιμαστική εξέταση θα επιτραπεί να συμμετάσχουν και στην τελική εξέταση της επόμενης Δευτέρας 14-9.
Σύμφωνα με τις αποφάσεις της Συγκλήτου, σε περίπτωση που κάποιος έχει σοβαρό πρόβλημα υγείας ή ανυπέρβλητο τεχνικό πρόβλημα πρέπει να με ενημερώσει άμεσα, ώστε να εξεταστεί το ενδεχόμενο εναλλακτικής εξέτασης σε εύθετο χρόνο.
[8-6-2020] Τα αποτελέσματα της επί πτυχίω εξέτασης της 1-6 έχουν σταλεί την Δευτέρα 8-6.
[15-5-2020] Επί πτυχίω εξέταση Ιουνίου 2020: Η εξέταση, μόνο για τους επί πτυχίω φοιτητές, θα γίνει την 1 Ιουνίου.
Οριστική απόφαση για την μέθοδο εξέτασης θα παρθεί πολύ σύντομα, αλλά πρόθεσή μου είναι να γίνει εξ αποστάσεως, με σύνδεση με το Skype ή το Zoom, με κανονικά θέματα που θα γράψετε σε χρονικό περιθώριο που θα προσδιοριστεί, και με απαραίτητη κάποια μορφή ηλεκτρονικής επιτήρησης. Για τον σκοπό αυτό, παρακαλώ όλοι οι εξεταζόμενοι να διαθέτετε κάμερα και μικρόφωνο, και να προμηθευθείτε έγκαιρα εάν δεν έχετε ήδη. Σας προτείνω, σε περίπτωση που αυτό δεν είναι εφικτό, να εξετάσετε το ενδεχόμενο χρήσης της κάμερας του κινητού σας, το οποίο με πολλούς τρόπους μπορεί να συνδεθεί σχετικά εύκολα και με υπολογιστή (π.χ. με ελεύθερες εφαρμογές όπως το EpocCam και άλλες. Σύντομη αναζήτηση στο διαδίκτυο μπορεί να σας δώσει και άλλες επιλογές.) Σημειώστε την σελίδα του μαθήματος στο elearning, όπου και θα αναρτηθούν τα θέματα και θα υποβάλετε τα γραπτά σας:
https://elearning.auth.gr/course/view.php?id=13626
[31-1-2020] Αποτελέσματα της τελικής εξέτασης Ιανουαρίου 2020 (αύξων αριθμός ΑΕΜ). Οι βαθμοί είναι προσωρινοί, και θα γίνουν κατάλληλες στρογγυλοποιήσεις και προσαρμογές για την τελική υποβολή:
12823: 5 14434: 0 14582: 0 15026: 0,5 15485: 8 15495: 0 15732: 1,5 16240: 1,5 16420: 1 16429: 5,5 16491: 6 16509: 6.5 16556: 7 16573: 3,5 16672: 2
[24-1-2020] Αίθουσα τελικής εξέτασης Δευτέρας, 27 Ιαν.: το τμήμα μας θα είναι μόνο στην αίθουσα Δ31.
[11-1-2020] Τελευταίο μάθημα, θα γίνει την Τρίτη 14/1, 12-2.
[17-12-2019] Αναπλήρωση, Τετάρτη, 18/12, 9-10π.μ. στην Δ21.
[9-12-2019] Αναπλήρωση, Τετάρτη, 11/12, 9-10π.μ. στην Δ21.
[2-12-2019] Αλλαγή αίθουσας και 2η αναπλήρωση: Έχει αλλάξει η αίθουσα για τα μαθήματα της Πέμπτης — θα γίνονται στο εξής στην Μ0. Επίσης η 2η αναπλήρωση θα γίνει όπως είχαμε προγραμματίσει την ερχόμενη Τετάρτη, 4-12, λίγο νωρίτερα, 9-11, 9-10π.μ. στην Δ21.
[26-11-2019] Αλλαγή ώρας: Το έξτρα μάθημα της Τετάρτης 27-11 θα γίνει 9-10 στην Δ21 και 10-11 στην Δ31.
[18-11-2019] Αναπληρώσεις: θα γίνουν έξτρα μαθήματα τις δύο Τετάρτες 27-11 και 4-12 στην αίθουσα Δ31, 10-12πμ.
[28-10-2019] Έχουν αναρτηθεί οι πρώτες δύο εργασίες, η μία στις προαπαιτούμενες γνώσεις και η δεύτερη στις καμπύλες. Πιθανόν να υπάρξουν μικρές αλλαγές στην δεύτερη.
Το μάθημα της Πέμπτης, 24-10, 12-1 δεν θα γίνει, θα αναπληρωθεί σύντομα.
Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).
Διδασκαλία: Δευτέρα 11-1 (Δ21), Τρίτη 12-2 μμ (Δ22) και Πέμπτη 12-1 μμ (Δ21)
Ενδεικτική βιβλιογραφία:
- M. do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2nd ed. Dover 2016
- A. Pressley Elementary Differential Geometry, 2nd ed. Springer 2010 (και στον Εύδοξο, μεταφρασμένη η 1η έκδοση)
- M. Lipschultz Schaum’s Outline of Differential Geometry, McGraw 1969
- Αρβανιτογεώργος Α. Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Κάλλιπος 2015 (ελεύθερη πρόσβαση)
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ από συναδέλφους.
Ημερολόγιο#
([ν,μ] σημαίνει ν ώρες, μ ώρες συνολικά)
| Μάθημα/Ώρες | Κάλυψη ύλης |
Αρχεία, Links |
Εργασίες |
| 30-9-2019 [2,2] | Εισαγωγή στο αντικείμενο της ΚΔΓ: έννοιες καμπυλότητας καμπυλών στο επίπεδο, ανάγκη για δεύτερη έννοια, στρέψης, για καμπύλες στον χώρο. Τί είναι επιφάνειες, σχέση γραμμικών προσεγγίσεων και παραγώγου. | ||
| 1-10-2019 [2,4] | Καμπυλότητα επιφανειών, διαφορετικοί τύποι (ελλ/υπερβ/παραβ. σημεία). Επισκόπηση ΔΧ, βάσεις, εσωτερικά γινόμενα. | ||
| 3-10-2018 [1,5] | ΕΓ και θετικά ορισμένοι πίνακες, παραδείγματα. | ||
| 7-10-2019 [2,7] | Κριτήρια για να είναι 2Χ2 πίνακας θετικά ορισμένος, ορθοκανονικές βάσεις και εύρεση συντεταγμένων, προβολή σε υποχώρο, ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt, γεωμετρική ερμηνεία και παραδείγματα. Το εξωτερικό γινόμενο στον χώρο. | ||
| 8-10-2019 [2,9] | Υπολογισμός εξωτερικού γινομένου, τριπλό γινόμενο και γεωμετρικές τους ερμηνείες. Παράγωγος συνάρτησης ως γραμμική απεικόνιση. Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης και αλλαγές μεταβλητών, παραδείγματα. | ||
| 10-10-2019 [1,10] | Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης και γεωμετρικό περιεχόμενο, παραδείγματα. Καμπύλες, πώς πρέπει να ορίζονται. | Παράδειγμα ΘΠΣ | |
| 14-10-2019 [2,12] | Ορισμός κανονικής παραμέτρησης καμπύλης, παραδείγματα. Αναπτύγματα Taylor, γραμμική προσέγγιση καμπύλης σε σημείο, έννοιες επιτάχυνσης, ως προετοιμασία για ορισμό καμπυλότητας. | ||
| 15-10-2019 [2,14] | Συνιστώσες επιτάχυνσης, για κίνηση σταθερής ταχύτητας, η επιτάχυνση είναι κάθετη. Αναπαραμετρήσεις, παραδείγματα, φυσική παραμέτρηση μήκους. | ||
| 17-10-2019 [1,15] | Ορισμός συνάρτησης καμπυλότητας κ(s) και καθέτου n(s), η ορθοκανονική κινούμενη βάση Frenet. | ||
| 21-10-2019 [2,17] | Επαφή τάξης k μεταξύ καμπυλών, ορισμός και εφαρμογή: εφαπτόμενη ευθεία (επαφή 1ης τάξης) και παραβολή (επαφή 2ας τάξης). Εφαπτόμενος κύκλος, απόδειξη ότι έχει και αυτός επαφή 2ας τάξης. | Εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο της έλικας | Πρώτη εργασία |
| 22-10-2019 [2,19] | Πλαίσιο Frenet, εξισώσεις Frenet-Serret και ορισμός της στρέψης. Υπολογισμός της στρέψης για την έλικα. | ||
| 29-10-2019 [2,21] | Λύσεις των εξισώσεων Frenet-Serret. Υπολογισμός στρέψης. Εύρεση τριέδρου Frenet σε σημείο από μη-φυσική παραμέτρηση. | Frenet frame for helix (YouTube video by V. Papageorgiou) | Δεύτερη εργασία |
| 31-10-2019 [1,22] | Υπολογισμός πλαισίου Frenet και καμπυλότητας από μη-φυσική παραμέτρηση. | ||
| 4-11-2019 [2,24] | Υπολογισμός στρέψης από γενική παραμέτρηση. Καμπύλες στο επίπεδο: ορισμός “θετικής” ο.κ. βάσης (t(s), n(s)), και επομένως ορισμός καμπυλότητας (διαφορές με τον αντίστοιχο για καμπύλες στον χώρο). | ||
| 5-11-2019 [2,26] | Γραμμική και τετραγωνική προσέγγιση σε σημείο (εφαπτόμενη ευθεία, εφαπτ. παραβολή και κύκλος αντίστοιχα). Δυσκολίες στον ορισμό γωνίας, έννοια συνολικής μεταβολής γωνίας, δύο προσεγγίσεις. | ||
| 7-11-2019 [1,27] | Ρυθμός μεταβολής γωνίας και καμπυλότητα. | ||
| 11-11-2019 [2,29] | Θεωρία επιφανειών: συνθήκη κανονικότητας και ορισμός κανονικής παραμέτρησης επιφάνειας. Παραδείγματα (επίπεδα, κύλιδροι, σφαίρες). | ||
| 12-11-2019 [2,31] | Εφαπτόμενα διανύσματα και εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο επιφάνειας. Μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα, παραδείγματα. | ||
| 14-11-2019 | |||
| 18-11-2019 [2,33] | Απεικόνιση στοιχείου εμβαδού και  , παράδειγμα της σφαίρας. Γραφήματα. Προσανατολίσιμες επιφάνειες. |
||
| 19-11-2019 [2,35] | Δύο επιλογές προσανατολισμού, μη-προσανατολίσιμες επιφάνειες, κανονική παραμέτρηση δίνει προσανατολισμό. Επιφάνειες εκ περιστροφής. | ||
| 21-11-2019 [1,36] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών | ||
| 25-11-2019 [2,38] | Επιφάνειες εκ περιστροφής, παραδείγματα: κύλιδροι, σφαίρες, τόροι. Υπολογισμός εμβαδού επιφάνειας, παραδείγματα. Ορισμός επιφάνειας. | ||
| 26-11-2019 [2,40] | Αλλαγή παραμέτρησης, παράδειγμα. Μετρήσεις πάνω σε επιφάνεια, ανάγκη χρήσης παραμέτρησης και επομένως μεταφοράς της μέτρησης εκεί. Μεταφορά του συνήθους εσωτερικού γινομένου στον χώρο σε μη-σύνηθες ΕΓ στο επίπεδο. | ||
| 27-11-2019 [2,42] | Η Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή (παραμέτρησης) επιφάνειας., παραδείγματα. Καμπύλες σε επιφάνεια και μήκος τους, παραδείγματα, η λοξοδρομία. | ||
| 28-11-2019 [1,43] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών | ||
| 2-12-2019 [2,45] | Παράδειγμα λοξοδρομίας, συνέχεια. Εμβαδόν επιφάνειας μέσω της ΠΘΜ. Καμπυλότητα επιφάνειας, πρώτη προσέγγιση: απόκλιση κοντινού σημείου από εφαπτόμενο επίπεδο, ορισμός δεύτερης θεμελ. μορφής P(u,v). | Λοξοδρομία | |
| 3-12-2019 [2,47] | ΔΘΜ για γραφήματα, σχέση με τον εσιανό πίνακα. Ταξινόμηση σημείων επιφάνειας (ελλ/υπερβ/παραβ). | ||
| 4-12-2019 [1,48] | 2η προσέγγιση: μεταβολή εφαπτ. επιπέδου: η απεικόνιση Gauss. Εικόνα της, παραδείγματα. Σκοπός η εύρεση της παραγώγου της. | ||
| 9-12-2019 [2,50] | Γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου για συναρτήσεις  . Ορισμός λείας απεικόνισης επιφανειών, παράδειγμα η απεικ. Gauss. Παράγωγος της απεικ. Gauss, υπολογισμός μέσω των πινάκων ΠΘΜ και ΔΘΜ. |
||
| 10-12-2019 [2,52] | ΔΘΜ μηδενική <=> επίπεδη επιφάνεια. 3η προσέγγιση: μέσω καμπυλών πάνω στην Σ που περνούν από σημείο. Κάθετη συνιστώσα επιτάχυνσης και τελεστής σχήματος, ορισμός συνάρτησης κάθετης καμπυλότητας. | Τρίτη εργασία | |
| 11-12-2019 [1,53] | Συμμετρία του τελεστή σχήματος, ορισμός κυρίων καμπυλοτήτων και κατευθύνσεων και καμπυλότητας Gauss και μέσης καμπυλότητας. Πώς θα υπολογισθούν αυτά; | ||
| 12-12-2019 [1,54] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών | ||
| 16-12-2019 [1,55] | Επισκόπηση των τριών προσεγγίσεων κι σχέσεις μεταξύ τους. Υπολογισμός κ1 και κ2 και της καμπυλότητας Gauss ως πηλίκο οριζουσών ΔΘΜ και ΠΘΜ. | ||
| 17-12-2019 [2,57] | Παραδείγματα, συνέχεια: σφαίρες, γραφήματα. Ο τύπος του Euler για την συνάρτηση κάθετης καμπυλότητας. | ||
| 18-12-2019 [1,58] | Ταξινόμηση σημείων επιφάνειας μέσω Κ και Η, ασυμπτωτικές κατευθύνσεις. Παραδείγματα: σάγμα, monkey saddle, τόρος. | ||
| 19-12-2019 [1,59] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών | ||
| 23-12-2019 [2,61] | Aλλαγή παραμέτρησης και πίνακες ΠΘΜ και ΔΘΜ, αναλλοίωτο της καμπυλότητας Gauss. Παράγωγος απεικόνισης επιφανειών και ορισμός τοπικής ισομετρίας μεταξύ των. Παραδείγματα, κύλινδρος και επίπεδο. | ||
| 9-1-2020 [1,62] | Τοπική ισομετρία: κώνος και επίπεδο, αλυσοειδής και ελικοειδής επιφάνειες. | Ισομετρία αλυσοειδούς με ελικοειδή επιφάνεια | |
| 13-1-2020 [2,64] | ΔΕ για τις παραγώγους της κινούμενης βάσης σε επιφάνεια  , σύμβολα Christoffel –είναι συναρτήσεις των στοιχείων της ΠΘΜ και παραγώγων τους, μόνο. |
||
| 14-1-2020 [2,66] | Συνθήκες συμβατότητας, εξισώσεις Codazzi-Mainardi και Gauss. Το θεώρημα egregium του Gauss. Ισομετρίες διατηρούν την καμπυλότητα Gauss, παραδείγματα. ΤΕΛΟΣ |