Ανακοινώσεις
Ανακοίνωση: Τελευταίο μάθημα αύριο Τρίτη 29/1 στην Μ3. Μάθημα Τρίτη 22/1 στις 9:15π.μ. στην Μ3.
Αλλαγή: ας αλλάξουμε το αυριανό μάθημα (Τρίτης 15/1) για Τετάρτη 16/1, στις 11-1 (στην Μ3 ελπίζω).
Εργασίες: (11-12-2018) κάνετε τις ασκήσεις 3-14 της πρώτης εργασίας του περσινού μαθήματος, εν αναμονή προσθήκης επιπλέον ασκήσεων.
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 9:15-11 (C) και Παρασκευή, 9:15-11 (M3).
Παρουσίαση στοιχείων της θεωρίας μη-γραμμικών συστημάτων ελέγχου από γεωμετρική σκοπιά. Τα μαθηματικά εργαλεία, από τη Διαφορική Γεωμετρία και τα Δυναμικά Συστήματα, δεν θεωρούνται γνωστά και θα μας απασχολήσουν πρώτα. Έμφαση θα δοθεί και στη θεωρία ευστάθειας, με τοπική αλλά και ολική χρήση συναρτήσεων Lyapunov.
Βιβλιογραφία:
1. Γεωμετρική Θεωρία Ελέγχου: Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis (2nd ed. SIAM 2002), Sastry S. Nonlinear Systems (Springer 1999), Isidori A. Nonlinear Control Systems (3rd ed. Springer 1995), Khalil H. Nonlinear Systems (3rd ed. PH 2002), Jurdjevic V. Geometric Control Theory (Cambridge Univ. Press 1996)
2. Δυναμικά συστήματα: Arnold V.I. Ordinary Differential Equations (Springer 3rd ed. 1992), Hirsch M.W., Smale S. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra (Academic Press 1974), Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields (Springer 1982)
3. Πολλαπλότητες και Ολική Ανάλυση: Tu L. An Introduction to Manifolds (2nd ed. Springer 2011), Boothby W. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry (revised 2nd ed. Academic Press 2003), K. Jänich Vector Analysis (Springer 2001)
4. Διάφορα (Γραμμική ΘΕ κλπ): Chen C.-T. Linear System Theory and Design (3rd ed. Oxford Univ. Press 1999), Rugh W.J. Linear System Theory (2nd ed. Prentice Hall 1995)
Ημερολόγιο
| Ημερομηνία | Κάλυψη Ύλης | Αρχεία |
| 18-10-2018 [1] | Συστήματα σε κανονική μορφή. Γραμμικά συστήματα ως προσεγγίσεις μη-γραμμικών, το παράδειγμα του απλού εκκρεμούς. | |
| 22-10-2018 [2] | Χαμιλτονιανά συστήματα σε δύο διαστάσεις –γραφική μέθοδος εύρεσης πορτρέτου φάσεων. Πρώτη μορφή ορισμού συστήματος ελέγχου, ισοδυναμία ΔΠ και ΔΕ σε κανονική μορφή, control-affine systems. | |
| 30-10-2018 [3] | Γραμμικά ΣΕ, μεταβλητά στον χρόνο και state transition matrix, ιδιότητες. Αναλλοίωτα στον χρόνο και εκθετική συνάρτηση πίνακα, περιγραφή μορφής Jordan. | |
| 2-11-2018 [4] | Υπολογισμός εκθετικής συνάρτησης για γενικό πίνακα, ανάλυση σε semi-simple καιι nilpotent μέρη. Ορισμός ροής, γραμμικές ροές, αποτυχία αντιμετάθεσης. Γραμμική ελεγξιμότητα (διακριτά συστήματα). | |
| 6-11-2018 [5] | “Λύση” ΓΣΕ και συνθήκη ελεγξιμότητας (σε συνεχή χρόνο). Πίνακες Gram. Κανονικές μορφές (controller canonical forms, Brunovsky, Kalman). Ανάγκη για θεώρηση πολλαπλοτήτων, παραδείγματα (εκκρεμές, ρομποτική, δορυφόροι). | |
| 9-11-2018 [6] | Ανάγκη θεώρησης πολλαπλοτήτων για την ΓΘΕ. Ορισμός τοπολογικής και λείας πολλαπλότητας και παραδείγματα (ανοικτά υποσύνολα, Gl(n,R), σφαίρες Sn , προβολικοί χώροι RPn. | |
| 13-11-2018 [7] | Παραδείγματα (συν.) γινόμενο πολλαπλοτήτων, τόροι. Ορισμοί εφαπτόμενου χώρου σε σημείο και εφαπτ. δέσμης: (α) μέσω ΚΙ καμπυλών, σύγκριση με την θεωρία επιφανειών, (β) σε τοπικούς χάρτες, με ισομορφισμούς που προμηθεύει η λεία αλλαγή μεταβλητών. | Δείτε το Κεφ.2 του Jänich |
| 16-11-2018, 20-11-2018 | Δεν έγιναν μαθήματα (κατάληψη 16-11 και ορκωμοσία 20-11) |
|
| 23-11-2018 [8] | Διάνυσμα εφ. χώρου ως (γ) παράγωγος κατά κατεύθυνση. ΔΠ ως διαφορικοί τελεστές και βάση. ΔΠ και ΔΕ, ύπαρξη τοπικής ροής, πλήρη ΔΠ σε συμπαγείς πολλαπλότητες. Παραδείγματα ΔΠ σε σφαίρα και σε τόρο (ρητή και άρρητη ροή). | |
| 27-11-2018 [9] | ΔΠ ως διαφορικοί τελεστές 1ης τάξης, Y(X(f)) και ορισμός της αγκύλης Lie [X,Y] που είναι και αυτή ΔΠ. Άλγεβρες Lie και βασικά παραδείγματα. Διευρεύνηση μη αντιμεταθετικότητας ροών και ο ρόλος της αγκύλης Lie. Υπο-άλγεβρα Lie ελεγξιμότητας. | |
| 30-11-2018 [10] | Εφαπτόμενη απεικόνιση (παράγωγος) απεικονισης μεταξύ πολλαπλοτήτων. Εμβυθίσεις, καταβυθίσεις, 1:1 εμβυθίσεις, παραδείγματα. Υπο-πολλαπλότητες. Κατανομές, γενικά. Ολοκληρώματα κατανομών. | |
| 4-12-2018 [11] | Η αγκύλη Lie έχει περιορισμένη σημασία για αφινικά ΣΕ. Ενειλιγμένες και ολοκληρώσιμες κατανομές, υπόθεση σταθερού βαθμού. Θεώρημα Frobenius (διατύπωση), σημασία για ΣΕ, ειδικά drift-free. Παράδειγμα: παράλληλο παρκάρισμα. | |
| 7-12-2018 [12] | Το θεώρημα του Frobenius, απόδειξη και ερμηνεία, φυλλώσεις. | |
| 11-12-2018 [13] | Δυναμική φυλλώσεων: σε μία διάσταση έχουμε δυναμικά συστήματα, η φύλλωση Reeb στην σφαίρα S3. Ιδιάζουσες φυλλώσεις, το θεώρημα Sussmann-Stefan, παράδειγμα. | |
| 14-12-2018 [14] | Αδυναμίες προσέγγισεις μέσω αγκύλης Lie. Προσέγγιση μέσω Δυναμικών Συστημάτων: οριακά σημεία και σύνολα, οριακός κύκλος, απεικόνιση Poincaré, παραδείγματα οριακών συνόλων. Διακριτά ΔΣ. | Πρώτη εργασία |
| 21-12-2018 [15] | Τοπική συμεριφορά ΔΣ: flow-box, πολυπλοκότητα κοντά σε ΣΙ, ελλειπτικοί/υπερβολικοί/παραβολικοί τομείς. Μη-εκφυλισμένα και υπερβολικά ΣΙ, ορισμός δομικής ευστάθειας. | |
| 8-1-2019 [16] | Επισκόπηση μαθήματος έως τώρα. Τοπική δομική ευστάθεια. Το θεώρημα Grobman-Hartman και εφαρμογή για ΣΙ στο επίπεδο. Το θεώρημα του Sternberg. | |
| 11-1-2019 [17] | Αναλλοίωτες πολλαπλότητες  για ΣΙ, μη-μοναδικότητα κεντρικής πολ’τας. Συνθήκες δομικής ευστάθειας: υπερβολικά ΣΙ, υπερβολικοί οριακοί κύκλοι, σύνδεσμοι σαγμάτων δεν είναι δομικά ευσταθείς. |
|
| 16-1-2019 [18] | Εγκαρσιότητα και ιδιότητές της. Εγκάρσιες τομές αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων ως ολική συνθήκη δομικής ευστάθειας. Μη-περιπλανώμενο σύνολο και ορισμός κατηγορίας ΔΣ Morse-Smale. Στοιχεία θεωρίας των Poincaré-Bendixson για ΔΣ στο επίπεδο. | |
| 22-1-2019 [19] | Θεωρία των Poincaré-Bendixson, εφαρμογή, παράδειγμα. Κριτήριο Bendixson-Dulac. Ορισμός του chain-recurrent set και ύπαρξη ολικών συναρτήσεων Lyapunov (θεώρημα του Conley). Ορισμός ευστάθειας και ασυμπτ. ευστάθειας και (αντι)παραδείγματα. | |
| 29-1-2019 [20] | Η δεύτερη μέθοδος Lyapunov για την ανάλυση ευστάθειας ΣΙ. Συναρτήσεις Lyapunov, συνθήκες για ευστάθεια και για ασυμπτ. ευστάθεαι, ορισμός της περιοχής έλξης ΣΙ (region of attraction) και υπολογισμός της από συν. Lyapunov, το θεώρημα του LaSalle. Επισκόπηση της θεωρίας της γραμμικοποίησης εξόδου. ΤΕΛΟΣ! | Δεύτερη εργασία |