Εαρινό εξάμηνο 2020-21, Υποχρωτικό Επιλογής Τομέα Γεωμετρίας, Στ’ εξάμηνο
Νέο μάθημα. Συνεχίζει την παρουσίαση της γεωμετρίας που έγινε στο υποχρεωτικό μάθημα της Εισαγωγής στη Γεωμετρία Ι. Μετά από κάποια περαιτέρω θέματα στην Προβολική και Ευκλείδεια Γεωμετρία, θα παρουσιαστούν και δύο επιπλέον γεωμετρίες: η γεωμετρία σε σφαίρα και η γεωμετρία σε υπερβολικούς χώρους. Θα γίνει και σύντομη παρουσίαση της έννοιας της κυρτότητας και κάποιων σημαντικών αποτελεσμάτων που βασίζονται σε αυτήν.
Το μάθημα γίνεται Πέμπτη στις 11:15-2:00 στην πλατφόρμα zoom, και στον σύνδεσμο που εμφανίζεται στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο e-learning (προσβάσιμο σε όσους έχουν κάνει εγγραφή στο μάθημα).
Ημερολόγιο
| Ημερομηνια, Εβδομαδες | Καλυψη υλης | Αρχεια | Εργασιες |
|---|---|---|---|
| 18/2 [1] | Επισκόπηση ύλης μαθήματος, οι διάφορες γεωμετρίες. | ||
| 25/2 [2] | Αφινικοί χώροι και η αφινική ομάδα. Ορισμός προβολικής ευθείας και προβολικού επιπέδου. | ||
| 4/3 [3] | Χάρτες σε προβολικούς χώρους και αλλαγή χαρτών. Τοπολογία Π.Χ. Προβολικές βάσεις. | ||
| 18/3 [4] | [11/3 Διακοπές Αποκριάς] Δράση ομάδας σε σύνολο, παραδείγματα. Πιστή, μεταβατική και απλά μεταβατική δράση. Η γενική, η ορθογώνια και η αφινική ομάδα. | ||
| 1/4 [5] | [Αργία 25 Μαρτίου.] Προβολικές απεικονίσεις (ομογραφίες), η προβολική ομάδα. Προβολικές βάσεις προσδιορίζουν μοναδική ομογραφία. Παραδείγματα υπολογισμού σε μία και δύο διαστάσεις. Ομογραφία σε χάρτες, π.χ. για προβολική ευθεία, η απεικόνιση Möbius. | ||
| 8/4 [6] | Προβολικοί υποχώροι, προβολική ανεξαρτησία και ανάπτυγμα. Θεώρημα διάστασης υποχώρων. Ιδιότητες, χωρίς εξαιρέσεις, στην Προβολική Γεωμετρία. Προβολική συμπλήρωση αφινικού χώρου. Θεωρήματα Πάππου και Desargues. Αποδείξεις με μέθοδο sending points to infinity. Προοπτικές ως προβολικές απεικονίσεις. | ||
| 15/4 [7] | Ο Διπλός Λόγος (Cross Ratio), ορισμός και εναλλακτικοί, πιο υπολογιστικοί ορισμοί, αφινική εκδοχή. Ο ΔΛ μετάθεσης των 4 Σημείων. Δυϊκότητα σε ΔΧ, θεωρήματα διάστασης, μηδενιστής (annihilator), δέσμες Υπερ-επιπέδων (pencils). | ||
| 22/4 [8] | Τομή ευθείας με 4 επίπεδα δέσμης και ΔΛ. Πολυωνυμικές ομογενείς απεικονίσεις. Τετραγωνικές μορφές, μη-εκφυλισμός, σύνολο ισοτροπίας, ισοδυναμία μορφών. Προβολικά quadrics. | ||
| 20/5 [9] | Σύνολο ισοτροπίας, προβολικά quadrics, γνήσια, ταξινόμηση με το ζεύγος δεικτών (r,s) του Sylvester. Quadrics σε προβολικό επίπεδο, οι κλασικές κωνικές τομές και σχέση με τις εννέα κανονικές αφινικές μορφές. Εφαπτόμενη ευθεία σε quadric. Quadrics σε προβολικό χώρο 3 διαστάσεων, τοπολογία τους. | ||
| 27/5 [10] | Υπάρχει quadric στο προβολικό επίπεδο που να περνά από πέντε Σημεία. Σφαιρική και ελλειπτική γεωμετρία: οι σφαίρες, υπο-σφαίρες και μέγιστοι κύκλοι, εφαπτόμενο επίπεδο και εφαπτόμενη δέσμη. Πώς εμφανίζονται οι σφαίρες σε άλλα αντικείμενα. Στερεογραφική προβολή. Τοπολογία σφαιρών. Εμβαδόν σε σφαίρα, γωνία διέδρου, άθροισμα γωνιών τριγώνου και τύπος του Girard. | ||
| 3/6 [11] | Σφαιρική γεωμετρία: απόδειξη τύπου Euler από τον τύπο του Girard. Ορισμός μετρικής, είναι intrinsic. Θεμελιώδες θεώρημα σφαιρικής γεωμετρίας, τριγωνομετρική ανισότητα. Η ομάδα συμμετρίας της σφαίρας, η σφαίρα ως ομογενής χώρος. | ||
| 11/6 [12] | Εισαγωγή στην Υπερβολική Γεωμετρία: οι τρεις γεωμετρίες, ανάγκη για "μοντέλα" υπερβολικού χώρου. Το μοντέλο του υπερβολοειδούς, στοιχειώδης γεωμετρία και τριγωνομετρία πάνω του, το προβολικό μοντέλο, άλλα μοντέλα (δίσκοι του Klein και του Poincaré, ημιχώρος). |