“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught
everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary
schools; it is jostling calculus for the right to be taught first.
Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as
the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear
algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar
becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing
up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after
all, they do need to know what a projective plane is.”
Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, πληροφορίες#
Εξέταση για επί πτυχίω φοιτητές της 17-1-2019: Αποτελέσματα με ΑΕΜ: 14517=2, 14891=5, 15001=1.5, 15171=2.5, 15175=3, 15296=5, 15307=2.5, 15349=0, 15396=3, 15576=1.5, 15806=1. [Η προετοιμασία σας ήταν, γενικά, πολύ ελλιπής. Καλό θα ήταν να προσέρχεστε σε επί πτυχίω εξέταση με σοβαρότερη δουλειά. Υπάρχει άφθονο υλικό για να σας βοηθήσει. Η βαθμολόγηση ήταν μάλιστα αρκετά γενναιόδωρη.]
Επαναληπτική εξέταση Σεπτεμβρίου 2018: τα αποτελέσματα εδώ
Τελική Εξέταση Τρίτης 5-6: Τα αποτελέσματα εδώ (όπως είπα, σε δύο βδομάδες από την εξέταση.) Οι βαθμοί είναι σε προσωρινή μορφή και θα στρογγυλοποιηθούν για την τελική υποβολή τους. Αν κάποιος θέλει να δει το γραπτό του, ας έλθει 12-1 αυτή την Πέμπτη 21-6.
Η εξεταστέα ύλη είναι ακριβώς αυτή που περιγράφεται αναλυτικά στο Ημερολόγιο του μαθήματος (και συμπίπτει σχεδόν με την επίσημη ύλη που εμφανίζεται στα Μαθήματα του Τμήματος) . Φέτος το μάθημα είχε 4 ώρες την εβδομάδα αντί τριών και ως αποτέλεσμα όχι μόνο καλύψαμε πιο άνετα την ύλη, αλλά προχωρήσαμε και πιο πέρα από πέρσι, καθώς προλάβαμε να κάνουμε περισσότερα για τους ΔΧ και ΑΧ με εσωτερικό γινόμενο και για τις ισομετρίες. Κάναμε και κάποιες επιπλέον αποδείξεις και οργανώθηκε η χρήση κριτηρίων –υπάρχουν δύο αρχεία χειρόγραφων σημειώσεων παρακάτω. Υπενθυμίζω ότι υλικό ασκήσεων κλπ υπάρχει και στην παρούσα αλλά και στην περσινή ιστοσελίδα.
Μαθήματα τελευταίας βδομάδας, 29-31/5: Θα κάνουμε μιά, τελευταία, ώρα αύριο Παρασκευή 1-6, στις 11-12 στην Δ11.
Τρίτη 9-10, Τετάρτη 11-1 (στην Δ21;) *αναπλήρωση* , Πέμπτη 11-1 και Παρασκευή 11-12.
Ανακοίνωση, 21-5-2018: Το μάθημα της Τρίτης 22-5 αναβάλλεται. Θα γίνει αναπλήρωση αυτή την Πέμπτη, 24-5 στις 11-12 στην Δ11.
Προβολικό επίπεδο ως υποσύνολο του χώρου: ένα εξαιρετικό video του Jos Leys, το οποίο δείχνει πως σχηματίζεται το λεγόμενο cross cap.
Ανακοίνωση: αναρτήθηκε (22-4) δεύτερη συλλογή ασκήσεων, πάνω στους αφινικούς χώρους και τις αφινικές απεικονίσεις.
Αλλαγή: το αυριανό μάθημα (Δευτέρα 26-3) θα γίνει 1-3μ.μ. στην Δ21, καθώς συμφωνήθηκε αλλαγή με το μάθημα του κ. Ραχώνη.
Ανακοίνωση: Η πρώτη συλλογή ασκήσεων, πάνω στους Δ.Χ. και τις γραμμικές απεικονίσεις αναρτήθηκε (18-3). Οι ασκήσεις είναι για δική σας εξάσκηση και βοήθεια στην αφομοίωση της ύλης και δεν θα διορθωθούν. Υπενθυμίζω την έξτρα ώρα, Τρίτη 20-3, 9-10 π.μ. στην Δ11 για απορίες/ασκήσεις.
Γενικά: Μάθημα Εαρινού εξαμήνου 2017-18, τμήμα Α (Α-Μ). Πρώτο μέρος του υποχρεωτικού μαθήματος Αναλυτικής Γεωμετρίας. Το τμήμα Β (Ν-Ω) διδάσκεται από την κα Πεταλίδου. Έχει αποφασισθεί ότι δεν θα επιτραπούν αλλαγές τμήματος για φοιτητές μεγαλυτέρων εξαμήνων, για οποιονδήποτε λόγο.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος θα υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Ελπίζω να ολοκληρωθεί φέτος και το ηλεκτρονικό μας σύγγραμμα. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 11–1 (Δ11), Τρίτη 9-10 Ασκήσεις/απορίες (Δ11), Πέμπτη 9-11 (Δ11).
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Αναλυτική Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο#
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| Ημερομηνία | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | Σημειώσεις | Εργασίες |
| 12-2-2018 [2,2] | Εισαγωγή, η εξέλιξη της Γεωμετρίας. Επισκόπηση Γραμμικής Άλγεβρας: ΔΧ, γραμμικοί συνδυασμοί, γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία. | ||
| 22-2-2018 [2,4] | Βάσεις, θεωρήματα επέκτασης και ανταλλαγής, υποχώροι, γραμμικές απεικονίσεις. | ||
| 26-2-2018 [2,6] | Πίνακας γραμμ. απεικόνισης ως προς βάσεις, ερμηνεία στηλών, παραδείγματα. Πυρήνας και εικόνα, θεώρημα διαστάσεών τους. Συστήματα γραμμ. εξισώσεων, εισαγωγικά. | ||
| 1-3-2018 [2,8] | ΣΓΕ ως πρόβλημα γραμμ. απεικόνισης, ύπαρξη και μοναδικότητα, περιγραφή συνόλου λύσεων. Μέθοδοι επίλυσης, παραδείγματα. | ||
| 5-3-2018 [2,10] | Εύρεση βάσης του πυρήνα, παραδείγματα. Παραμετρικές και αναλυτικές μορφές ευθειών και επιπέδων. Αφινική τους μορφή και βαρυκεντρικές συντεταγμένες. | ||
| 8-3-2018 [2,12] | Ορισμός δράσης ΔΧ σε σύνολο, ορισμός αφινικού χώρου και παραδείγματα (μη-μοναδικότητα δράσης, σχέση με λύσεις ΣΓΕ). | ||
| 12-3-2018 [2,14] | Αφινικοί συνδυασμοί και ορισμός affspan. Αφινική ανεξαρτησία και αφινικές βάσεις. Βαρυκεντρικές και αφινικές συντεταγμένες. | ||
| 15-3-2018 [2,16] | Η Αφινική Γεωμετρία ως γενίκευση της θεωρίας ΔΧ και γραμμ. απεικ. Θεώρημα τομής διαμέσων τριγώνου και απόδειξη στα πλαίσια της Αφιν.Γεωμ. Παραδείγματα ΑΧ: ΔΧ ως ΑΧ (πάλι), αφινικοί υποχώροι ΔΧ, διάκριση σημείων και διανυσμάτων. | Συλλογή ασκήσεων 1 | |
| 19-3-2018 [2,18] | Παραδείγματα (συν.): σύνολα λύσεων ΣΓΕ, συμπληρωματικές ευθείες οριζόντιου επιπέδου. Αφινικές απεικονίσεις, ορισμός. | ||
| 20-3-2018 [1,19] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Aσκήσεις από την πρώτη εργασία. | ||
| 22-3-2018
[2,21] |
Αφινικές απεικονίσεις εκφρασμένες ως προς αφινικές βάσεις, μορφή y =Px+c0. Παραδείγματα: απεικόνιση επιπέδου στον εαυτό του, απεικόνιση μεταξύ επιπέδων στον χώρο R3. | ||
| 26-3-2018 [2,23] | Αφινικές απεικονίσεις, συνέχεια παραδειγμάτων. Σύνθεση αφ. απεικ., ύπαρξη αντίστροφου και η αφινική ομάδα. | ||
| 27-3-2018 [1,24] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Μέθοδοι επίλυσης ΣΓΕ, γεωμετρική ερμηνεία det, μετατροπή παραμετρικής σε αναλυτική μορφή για επίπεδο. | ||
| 29-3-2018 [2,26] | Αλλαγή βάσης και αλλαγή μεταβλητών (συντεταγμένων) για ΔΧ και για ΑΧ. | ||
| 16-4-2018 [2,28] | Παραλληλία αφινικών υποχώρων, ορισμοί και διατήρηση από αφινικές απεικονίσεις. Η αφινική ομάδα και ισοδυναμία κάθε ζεύγους μη-εκφυλισμένων τριγώνων. | ||
| 17-4-2018 [1,29] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Παραδείγματα αφ. απεικ. από 2 σε 3 διαστάσεις, περιγραφή εικόνας. |
||
| 19-4-2018 [2,31] | Αφινική Γεωμετρία: θεώρημα Θαλή με απόδειξη, σημασία ομάδας ισοδυναμιών (Klein), τί χαρακτηρίζει την ΑΓ (απόσταση μόνο πάνω σε ευθεία και σε σχέση με δύο σημεία, παραλληλία). Θεώρημα Μενελάου με απόδειξη. | ||
| 23-4-2018 [2,33] | Θεώρημα Ceva. Γραμμικές εξισώσεις σε ΑΧ — στην ουσία ΣΓΕ, τίποτα καινούριο. Τετραγωνικές εξισώσεις: ορισμός συμμετρικού πίνακα για τετραγωνικό μέρος, διγραμμικές συναρτήσεις. | Συλλογή Ασκήσεων 2 | |
| 24-4-2018 [1,34] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Σύγκριση επιπέδου στο χώρο ως σύνολου λύσεων ΣΓΕ και ως ΑΧ. Σχέση βάση πυρήνα και δράσης. Παραδείγματα. |
||
| 26-4-2018 [2,36] | Τετραγωνικές εξισώσεις σε ΑΧ: συμμετρικές, διγραμμικές μορφές και αντίστοιχες τετραγωνικές μορφές. Παράδειγμα: το βαθμωτό γινόμενο στο Rn. Επισκόπηση θεωρίας ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων, διαγωνιοποίηση. Ομοιότητα και συζυγία πινάκων. | ||
| 30-4-2018 [2,38] | Αφινική αλλαγή μεταβλητών για απλοποίηση τετραγωνικών συναρτήσεων. Το φασματικό θεώρημα για συμμετρικούς πίνακες και απόδειξή του. | ||
| 3-5-2018 [2,40] | Τετραγωνικές καμπύλες στο αφ. επίπεδο: απλοποίηση τετραγωνικού μέρους από το φασμ. θεώρ. και τρεις τύποι του, παράδειγμα. Απαλοιφή γραμμικών όρων. | ||
| 7-5-2018 [2,42] | Θεώρημα: οι εννέα κανονικές μορφές τετραγωνικών καμπυλών στο αφ. επίπεδο. Θεώρημα: κριτήρια για αναγνώριση, στις περιπτώσεις 1-5, όπου  . |
||
| 8-5-2018 [1,43] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Συνθήκη να ανήκει σημείο σε επίπεδο μέσω det, γραμμικές εξισώσεις σε ΑΧ και σχέση με ΣΓΕ, τετραγωνική εξίσωση (αναγνώριση και εύρεση αλλαγής μεταβλητών). | ||
| 10-5-2018 [2,45] | Κριτήρια αναγνώρισης εκφυλισμένων κανονικών μορφών. Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία: οι κωνικές τομές και η ανάγκη ομοιόμορφης αντιμετώπισης τομής ευθειών σε αφ. επίπεδο. | Αναγνώριση τετραγ. καμπυλών | |
| 14-5-2018 [2,47] | Ορισμός προβολικού επιπέδου ως σύνολο ΚΙ. Ερμηνεία τομής δύο ευθειών. Γενικά περί ΣΙ, ΚΙ και επιλογής αντιπροσώπων, “ομογενείς συντεταγμένες”. Προβολική ευθεία και απόδειξη ότι είναι, τοπολογικά, κύκλος. Προβ. επίπεδο από το άνω ημισφαίριο, με ταύτιση αντιδιαμετρικών σημείων στον ισημερινό. | ||
| 15-5-2018 [1,48] | Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Μέθοδοι αναγνώρισης τετραγωνικών καμπυλών και μετασχηματισμού σε κανονική μορφή. | Video cross cap | |
| 17-5-2018 [2,50] | Προβολικό επίπεδο, ομογενείς συντεταγμένες. Τετραγωνικές εξισώσεις στο προβ. επίπεδο και ανάγκη ομογένειας. Ταξινόμηση μη-εκφυλισμένων μορφών μέσω του φασματικού θεωρήματος. | ||
| 21-5-2018 [2,52] | [Computer Demo: προβολικό επίπεδο και τομή ευθειών.] Οι πέντε τύποι γεωμετρικών τόπων που προκύπτουν από ομογενή τετραγ. εξίσωση στο RP2. Αντιστοίχιση τομών τους με επίπεδα με τις 9 αφινικές κανονικές μορφές. Θετικά και αρνητικά ορισμένοι πίνακες και διατύπωση του Κριτηρίου του Sylvester. | Προβολικοί χώροι | |
| 24-5-2018 [3,55] | Κριτήριο του Sylvester, απόδειξη και χρήση στην αναγνώριση τετραγωνικών εξισώσεων στο RP2. ΕΔΧ: Εσωτερικά γινόμενα σε ΔΧ, ορισμός και παραδείγματα, σχέση με θετικά ορισμένους πίνακες. Υπολογισμός μοναδιαίου κύκλου ως προς μη-σύνηθες ΕΓ. | ||
| 29-5-2018 [1,56] | Καθετότητα ως προς ΕΓ και ορισμός ορθοκανονικής βάσης. Ιδιότητες. Προβολή διανύσματος σε υποχώρο. | ||
| 30-5-2018 [2,58] | Η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt. Ανισότητα Cauchy-Schwartz και ορισμός γωνίας. Τριγωνομετρική ανισότητα. Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί ΔΧ και ορθογώνια ομάδα. Μορφή σε 2 διαστάσεις. Θεώρημα: Ορθογώνια απεικόνιση T είναι και γραμμική. | ||
| 31-5-2018 [1,59] | (συν.) απόδειξη θεωρήματος. ΑΧ με ΕΓ, συνάρτηση απόστασης και ισομετρίες. Ευκλ. ταξινόμηση τετραγ. καμπυλών. Τύποι ισομετριών του επιπέδου. | Συλλογή ασκήσεων 3 | |
| 1-6-2018 [1,60] | Θεώρημα: Κάθε ισομετρία είναι αφινική με ορθογώνιο γραμμικό μέρος, απόδειξη. Οι τέσσερις τύποι ισομετριών του επιπέδου (συνθετική απόδειξη). ΤΕΛΟΣ | Glide reflection |