Εαρινό εξάμηνο 2021-2022, Μεταπτυχιακό Μάθημα
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
Το μάθημα διδάσκεται Δευτέρα 12:15-1:30 και Παρασκευή 10:15-11:30 στην αίθουσα Μ3 .
Υπάρχει ιστοσελίδα του μαθήματος και στο e-learning.
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει φέτος (Εαρινό 2021-22) με εργασίες και μία εργασία σε ειδικό θέμα της επιλογής σας.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, χώροι κάλυψης, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο, αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, May, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων. Στα μεταπτυχιακά συγγράμματα στην βιβλιοθήκη υπάρχουν αντίτυπα των βιβλίων των Rotman, Bredon και tom Dieck. Ελεύθερα διαθέσιμα είναι τα βιβλία των Hatcher και J.P. May.
Ημερολόγιο
| Ημερομηνια, Ωρες | Καλυψη Υλης | Αρχεια |
|---|---|---|
| 25/2 [2,2] | Εισαγωγή. Αναγνώριση ισοδυναμίας ΤΧ, η ταξινόμηση κλειστών επιφανειών, προβολικό επίπεδο και connected sum. Η μέθοδος της ΑΤ, ομοτοπική ισοδυναμία. | Διαν.Λογ. |
| 28/2 [1,3] | Ομοτοπία συναρτήσεων, παραδείγματα, γραμμική ομοτοπία, είναι σχέση ισοδυναμίας, το λήμμα συγκόλλησης, οι κλάσεις ισοδυναμίας και το σύνολο των ΚΙ [X,Y], πχ [S^1,Υ]. | |
| 11/3 [1.5,4.5] | Ομοτοπία και δρομο-συνεκτικές συνιστώσες του χώρου C(X,Y), η συμπαγής-ανοικτή τοπολογία. Διανυσματικά πεδία σε σφαίρες. | |
| 14/3 [1.5,6] | Βασικές έννοιες της θεωρίας κατηγοριών, παραδείγματα. Κατηγορίες πηλίκο. Συναρτητές, παραδείγματα. | |
| 18/3 [1.5,7.5] | Ομοτοπική ισοδυναμία και η κατηγορία hTop. Retractions και το θεώρημα του σταθερού σημείου του Brouwer, deformation retraction. | |
| 21/3 [1.5,9] | Το θεμελιώδες ομαδοειδές. | |
| 28/3 [1.5,10.5] | Η θεμελιώδης ομάδα, εξάρτηση από σημείο βάσης, ο συναρτητής π_1. Απεικονίσεις κάλυψης, βρόχος σε κύκλο και ανύψωση στο R. | |
| 1/4 [1.5,12] | Προβλήματα επέκτασης και ανύψωσης στην Τοπολογία. Fibrations και η ιδιότητα HLP. Απεικονίσεις και Χώροι Κάλυψης, παραδείγματα. Αρχή της απόδειξης ότι ΧΚ έχουν την HLP. | |
| 4/4 [1.5,13.5] | Απόδειξη ότι ΧΚ έχουν την HLP. Ο αριθμός Lebesgue καλύμματος ΜΧ. Εφαρμογή στον ΧΚ  . | |
| 8/4 [1.5,15] | Η Θ.Ο. του κύκλου είναι Z, ορισμός deg, ολοκλήρωση απόδειξης. Εφαρμογές: το θεώρημα του Brouwer. Το θεώρημα των Borsuk-Ulam σε δύο διαστάσεις. | |
| 11/4 [1.5,16.5] | Απόδειξη θεωρήματος Borsuk-Ulam. Ο συναρτητής ΘΟ και ομοτοπικές συναρτήσεις. Εισαγωγή στο θεώρημα Seifert-van Kampen. | Hwk1 |
| 6/5 [1.5,18] | Ευθύ γινόμενο ομάδων, κατηγορικά γινόμενα και coproducts, ελεύθερο γινόμενο, ελεύθερη ομάδα σε σύνολο. | |
| 9/5 [2,20] | Παραστάσεις ομάδας με γεννήτορες και σχετιστές, παραδείγματα. Το θεώρημα των Seifert και van Kampen, δύο διατυπώσεις. Amalgamated free products. Χρήση θ.SvK: απλά συνεκτική τομή, απλά συνεκτικό ένα από τα 2 σύνολα, εφαρμογή σε ΘΟ επιφανειών, ο τόρος. | |
| 13/5 [2,22] | Εφαρμογή του θ.SvK στον υπολογισμό της ΘΟ συμπαγών επιφανειών. Κόμβοι και ΘΟ κόμβου, τορικοί κόμβοι. | |
| 16/5 [2,24] | Υπολογισμός ΘΟ τορικού κόμβου. Heegard decomposition της S^3. ΘΟ κόμβου από επίπεδο διάγραμμά του. | Trefoil FG relations |
| 20/5 [2,26] | Wirtinger presentations. ΘΟ του trefoil (με 2 τρόπους) και του unknot διαφέρουν. Απόδειξη του θεωρήματος των Seifert και van Kampen, πρώτα στάδια. | |
| 23/5 [2,28] | Ολοκλήρωση απόδειξης θεωρήματος Seifert-van Kampen. Χώροι κάλυψης, ως ινώδεις δέσμες με διακριτή ίνα, παραδείγματα. Ιδιότητα ανύψωσης ομοτοπίας (HLP). Η χαρακτηριστική ομάδα Χ.Κ. | |
| 27/5 [2,30] | [Ηλεκτρονικά, Μαθήματα 18,19 και 20 (video)] Χώροι κάλυψης, χαρακτηριστική ομάδα, κριτήριο ανύψωσης. Ισόμορφοι ΧΚ. Ύπαρξη ΧΚ για κάθε υπο-ομάδα της ΘΟ, βήματα της απόδειξης. | |
| 30/5 [2,32] | Επισκόπηση των αποτελεσμάτων για Χ.Κ., καθολικοί Χ.Κ., παραδείγματα. Εισαγωγή στις ομάδες ομοτοπίας και στην θεωρία Ομολογίας (simplicial/cell complexes). | |
| 3/6 [2,34] | Ορισμός k-simplices, σύνορα. Ιδιάζοντα simplices και σύνορο, το singular chain complex και οι ομάδες ομολογίας. Chain maps και επαγόμενοι ομομορφισμοί σε ομολογία. | |
| 6/6, 10/6, 17/6 [6,40] | [Υβριδικά] Ομολογία μονοσημειακού χώρου, μηδενική ομολογία δρομο-συνεκτικού χώρου. Ομολογία κυρτού υποσυνόλου ΕΑΧ. Ορισμός chain homotopy. Chain homotopy και το Ιδιάζον Αλυσιδωτό Σύμπλοκο. Ομοτοπικές απεικονίσεις δίνουν ίδιους ομομορφισμούς σε ομολογία, επισκόπηση αποδείξεων. | |
| 20/6 [2,42] | Σύνοψη των προηγουμένων, έμφαση σε κάποια σημεία. Ακριβείς ακολουθίες, απλές περιπτώσεις, βραχείες ακριβείς ακολουθίες (s.e.s.) και το πρόβλημα της επέκτασης ομάδας. S.e.s. για chain complex. | |
| 24/6 [2,44] | Ακριβείς ακολουθίες αλυσιδωτών συμπλόκων, μακρά ακριβής ακολουθία, ορισμός συνδετικού ομομορφισμού. Το snake lemma, μέρος της απόδειξης, με diagram chasing. Εφαρμογή σχετικής ομολογίας για καλά πηλίκα Χ/Α. Ομολογία σφαιρών, επαγωγικά από μακρά ακριβή ακολουθία ζεύγους. Ομολογία βασισμένη σε κάλυμμα, θεμελιώδες θεώρημα, βαρυκεντρική διαίρεση στην απόδειξη. Ακολουθία Mayer-Vietoris. ΤΕΛΟΣ | |