Εαρινό εξάμηνο 2023-2024, Μεταπτυχιακό Μάθημα
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
Το μάθημα διδάσκεται Τρίτη 10:15-11:00 και Παρασκευή 11:15-13:00 στην αίθουσα Μ3.
Ενόσω διαρκεί η κατάληψη, τα μαθήματα γίνονται εξ αποστάσεως στο Zoom. Ο σύνδεσμος βρίσκεται στην 2η ιστοσελίδα του μαθήματος, στο e-learning.
Η βασική ιστοσελίδα του μαθήματος βρίσκεται εδώ στο e-learning.
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με εργασίες, και είτε με τελική προφορική ή γραπτή εξέταση, ή με μία εργασία σε ειδικό θέμα της επιλογής σας.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, χώροι κάλυψης, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο, αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, May, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων. Στα μεταπτυχιακά συγγράμματα στην βιβλιοθήκη υπάρχουν αντίτυπα των βιβλίων των Rotman, Bredon και tom Dieck. Ελεύθερα διαθέσιμα είναι τα βιβλία των Hatcher και J.P. May.
Ημερολόγιο
| Ημερομηνία, ώρες | Κάλυψη ύλης | Αρχεία |
|---|---|---|
| 13/2/24 [1,1] | Εισαγωγή: σκοπός της ΑΤ, τοπολογικοί χώροι, ισοδυναμία μέσω ομοιομορφισμών, ανάθεση αλγεβρικών αντικειμένων. Η χαρακτηριστική του Euler. | |
| 16/2/24 [2,3] | Ειδική περίπτωση: πολλαπλότητες. Για κλειστές προσανατολίσιμες επιφάνειες η χ αρκεί, γενικά όχι. Μη-προσανατολίσιμες επιφάνειες και το συνεκτικό άθροισμα. Οι δύο προσεγγίσεις με θεμελιωτή τον Poincaré, η θεμελιώδης ομάδα και οι ομάδες ομολογίας, σε τί διαφέρουν, παραδείγματα. | |
| 20/2/24 [1,4] | Τοπολογικές έννοιες που είδατε στη Διανυσματική Ανάλυση, βαθμωτά και διανυσματικά πεδία και παράγωγοι τους, αστρόβιλα και ασυμπίεστα ΔΠ, αντίστροφο πρόβλημα, ορισμός συνάρτησης δυναμικού σε απλά συνεκτικό τόπο, τα θεωρήματα Green, Stokes, Gauss. | |
| 23/2/24 [2,6] | Εισαγωγή στη θεωρία Κατηγοριών, κατηγορίες, παραδείγματα, ισομορφισμοί, υποκατηγορίες, αντίθετη κατηγορία, αρχικά και τελικά αντικείμενα. Συναρτητές, παραδείγματα, διαγράμματα, διατήρηση ισομορφισμών. | |
| 27/2/24 [1,7] | Ομοτοπία, είναι σχέση ισοδυναμίας, το λήμμα συγκόλλησης (Glueing lemma), αναφορά στην τοπολογία compact-open στον χώρο C(X,Y), το σύνολο [X,Y] των ΚΙ. Παραδείγματα, η αφινική (γραμμική) ομοτοπία, διατύπωση θεωρήματος για διανυσματικά πεδία σε σφαίρες. | |
| 1/3/24 [2,9] | Απόδειξη θεωρήματος για ύπαρξη παντού μη-μηδενικού ΔΠ σε σφαίρες περιττής διάστασης μόνο. Ομοτοπική ισοδυναμία και τύπος ομοτοπίας ΤΧ, σύμπτυξη και παραμορφωτική σύμπτυξη (ως strong deformation retraction), η κατηγορία hTop. | |
| 5/3/24 [1,10] | Δρομο-ομοτοπία και το θεμελιώδες ομαδοειδές, γινόμενο και επαλήθευση ότι έχουμε κατηγορία. | |
| 8/3/24 [2,12] | Επαλήθευση ιδιότητας ομαδοειδούς. Ο συναρτητής π0, δρομοσυνεκτικότητα και συνεκτικότητα. Η Θεμελιώδης Ομάδα, εξάρτηση από σημείο βάσης, ο συναρτητής ομοτοπίας π1 από την κατηγορία Top* στην Grp. Ομοιόμορφοι ΤΧ έχουν ισόμορφες ΘΟ. Απλή συνεκτικότητα. | |
| 12/3/24 [1,13] | Ο συναρτητής π1 από την hTop στην Grp. Υπολογισμός ΘΟ: για να δείξουμε ότι η ΘΟ του κύκλου είναι Ζ, πρώτα θα μελετήσουμε χώρους κάλυψης, ορισμός. | |
| 15/3/24 [2,15] | Απεικονίσεις και χώροι κάλυψης, τοπικοί ομοιομορφισμοί, παραδείγματα. Τα προβλήματα επέκτασης και ανύψωσης στην τοπολογία. Η ιδιότητα επέκτασης ομοτοπίας (HEP) και cofibrations και η ιδιότητα ανύψωσης ομοτοπίας (HLP) και fibrations. Ανύψωση δρόμων από αυτήν. Οι απεικονίσεις κάλυψης είναι fibrations, με μοναδικότητα ανύψωσης, απόδειξη μοναδικότητας, διατύπωση θεωρήματος. | |
| 19/3/24 [1,16] | Απόδειξη θεωρήματος ότι απεικόνιση κάλυψης είναι fibration. | |
| 22/3/24 [2,18] | Συνέχεια απόδειξης. Η ΘΟ του κύκλου, π1 ( S1 ) = Z [ω]. Εφαρρμογές, το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer για δίσκο D2, διατύπωση θεωρήματος Borsuk-Ulam. | |
| 26/3/24 [1,19] | Απόδειξη θεωρήματος των Borsuk-Ulam. Τοπολογία σε Καρτεσιανό γινόμενο, η χαρακτηριστική ιδιότητα. | |
| 29/3/24 [2,21] | ΘΟ γινομένου χώρων, απόδειξη. Οι σφαίρες Sn για n>1 είναι απλά συνεκτικές, απόδειξη γενικότερου αποτελέσματος για πολλαπλότητες μείον σημείο. Προετοιμασία για το θεώρημα Seifert-van Kampen: Το σφηνοειδές γινόμενο, παράδειγμα το οκτώ S1v S1 και πιθανή δομή ΘΟ του. Κατασκευή ομάδας από συλλογή ομάδων, το ευθύ γινόμενο, μειονεκτήματα. Κατηγορική έννοια γινομένου (product) και η καθολική του ιδιότητα, τί είναι το product σε κατηγορίες όπου υπάρχει. | |
| 2/4/24 [1,22] | [Zoom] Δυϊκή έννοια coproduct, κατηγορίες που έχουν coproduct. Στην Group έχουμε το ελεύθερο γινόμενο, περιγραφή της κατασκευής. Ελεύθερη ομάδα σε σύνολο, ελεύθερη αβελιανή ομάδα. | |
| 5/4/24 [2,24] | [Zoom] Παραστάσεις ομάδων, γεννήτορες και σχετιστές, παραδείγματα. Το θεώρημα των Seifert van Kampen, βασική ιδέα, διατύπωση, amalgamated free product, κατηγροικό pushout. Ειδικές περιπτώσεις/εφαρμογές του θ.S-vK: απλά συνεκτική τομή, απλά συνεκτικό το ένα υποσύνολο, εφαρμογή στον υπολογισμό ΘΟ επιφανειών, ο τόρος. | |
| 9/4/24 [1,25] | ΘΟ άλλων κλειστών επιφανειών, μη-προσανατολίσιμες, πχ για προβολικό επίπεδο έχουμε ΘΟ Ζ2. Γεωμετρική εξήγηση του ισομορφισμού των 2 παραστάσεων της ΘΟ της φιάλης του Klein. ΘΟ κόμβων και συνδέσμων, ορισμοί, ΘΟ του unknot. Πρόταση που εξηγεί γιατί μπορούμε να θεωρήσουμε κόμβο σε σφαίρα S3 αντί του R3. | |
| 12/4/24 [2,27] | Υπολογισμοί ΘΟ από θ.S-vK: unlink, Hopf link, ανάλυση σε 2 D3 και σε Heegaard decomposition δύο στερεών τόρων της σφαίρας S3. Κόμβοι σε τόρο. Γενικοί κόμβοι, planar diagrams, προετοιμασία για να εφαρμοστεί το θεώρημα. | |
| 16/4/24 [1,28] | Εφαρμογή S-vK για υπολογισμό ΘΟ κόμβου, σχέσεις Wirtinger, παράδειγμα (trefoil) απόδειξη ισομορφισμού των 2 παραστάσεων της ΘΟ του. | |
| 19/4/24 [2,30] | Η ΘΟ του trefoil δεν είναι αβελιανή. Απόδειξη θεωρήματος Seifert-van Kampen. Χώροι κάλυψης, ισοδυναμία, ο ρόλος της ΘΟ, Λήμμα Μονοδρομίας. | |
| 25/4/24 [1,31] | Ορισμός χαρακτηριστικής ομάδας ενός ΧΚ. Πρόβλημα ανύψωσης απεικόνισης Ζ -> Χ και επίλυση με απλή αλγεβρική συνθήκη για τις ΘΟ. Απόδειξη, με κατασκευή της συνάρτησης ανύψωσης μέσω δρόμων. | |
| 26/4/24 [2,33] | Συνέχεια απόδειξης κριτηρίου ανύψωσης, συνέχεια. Ισοδύναμοι ΧΚ και ισόμορφες χαρακτηριστικές ομάδες. Κατασκευή ΧΚ με δοθείσα G. ΣΙ στο σύνολο δρόμων, ορισμός τοπολογίας, ιδιότητα Hausdorff. | |
| 16/5/24 [1,34] | Ολοκλήρωση της απόδειξης ύπαρξης ΧΚ με ομάδα G. Υπόλοιπα αποτελέσματα της θεωρίας ΧΚ: διπλός ΧΚ για μη-προσανατολίσιμες πολλαπλότητες, deck transformations. | |
| 17/5/24 [2,36] | Ομάδες ομοτοπίας πn, n>1, ορισμός, είναι αβελιανές, δύσκολο να υπολογιστούν, παραδείγματα ομάδων, π3 (S2), αναφορά στο Hopf fibration και στο θεώρημα του Whitehead. Θεωρία Ομολογίας: Βασική ιδέα (Poincaré), στοιχεία αφινικής γεωμετρίας, k-simplices, πλευρές (faces) και σύνορο. | |
| 23/5/24 [1,37] | Σύνορο συνόρου μηδέν, αλυσίδες, simplicial complexes και chain complex που δίνει την ομολογία, παράδειγμα υπολογισμού, πρόβλημα με το πλήθος simplices που χρειάζονται, πχ για τον τόρο. | |
| 24/5/24 [2,39] | Singular homology: ορισμός singular k-simplices ΕΑΟ Sk (X), ομομορφισμοί συνόρου, singular chain complex. Η κατηγορία των chain complex και οι ομάδες ομολογίας. Οι συναρτητές Top -> Chain και Chain -> Ab που δίνουν την ιδιάζουσα ομολογία. Ομολογία μονοσημειακού χώρου. | |
| 30/5/24 [2,41] | Ομολογία κυρτού υποσυνόλου ΕΑΧ. Chain homotopy στην κατηγορία Chain, ερμηνεία/εφαρμογή για ν.δ.ο. ομοτοπικές απεικονίσεις δίνουν ίδιους ομομορφισμούς σε ομολογία. Πρίσματα και ορισμός τως διαγωνίων ομομορφισμών. Ομολογία για παραμορφωτική σύμπτυξη. Ακριβείς ακολουθίες, ειδικές περιπτώσεις, ΒΑΑ. | |
| 31/5/24 [2,43] | ΒΑΑ συμπλόκων, Μακρά Ακριβής Ακολουθία από τέτοια ΒΑΑ (snake lemma). Ομάδες σχετικής ομολογίας, υπολογισμοί από ΜΑΑ, παράδειγμα σφαιρών. Ανηγμένη ομολογία. Θεώρημα για ομολογία από κάλυμμα ΤΧ, αναφορά σε βαρυκεντρική υποδιαίρεση. Η ακολουθία Mayer-Vietoris, παράδειγμα υπολογισμού. ΤΕΛΟΣ |