ΥΕ μάθημα 6ου εξαμήνου
Περιεχόμενα:
Περιγραφή:
- Προβολικές απεικονίσεις, cross-ratio, τετραγωνικές καμπύλες στο προβολικό επίπεδο.
- Ταξινόμηση τετραγωνικών επιφανειών, κριτήρια αναγνώρισης.
- Στοιχεία κυρτής γεωμετρίας, το θεώρημα του Helly.
- Γεωμετρία στην σφαίρα, γωνίες και εμβαδόν, μετασχηματισμοί.
- Στοιχεία υπερβολικής γεωμετρίας, μοντέλα, μετασχηματισμοί, απόσταση.
- Η Γεωμετρία κατά το πρόγραμμα Erlangen του Klein.
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 10:15-12 και Πέμπτη 11:15-1 στην αίθουσα Μ0.
Η αξιολόγηση του μαθήματος είναι με εργασίες (35%), συμμετοχή στα μαθήματα (15%) και τελική εξέταση (50%).
Ημερολόγιο
| Ημερομηνια | Καλυψη Υλης | Αρχεια |
|---|---|---|
| 24/2/22 [2,2] | Εισαγωγή, επισκόπηση ΑΧ και ισομετριών ΕΑ επιπέδου. Γεωμετρίες στο πρόγραμμα Erlangen του του F. Klein. ΕΔΧ και ορθογώνια ομάδα, προσανατολισμός, ΕΑΧ και η αφινική ομάδα. Υπό-ομάδες που διατηρούν προσανατολισμό. | |
| 1/3/22 [2,4] | Μετάβαση από αφινικό χώρο σε προβολικό, ορισμός προβολικής ευθείας, τοπολογικά κύκλος. | |
| 10/3/22 [2,6] | Ορισμός προβολικού επιπέδου. Το RP^2 ως προβολική συμπλήρωση αφινικού επιπέδου. Απόπειρες περιγραφής του ως επιφάνειας (Cross cap, Boy's surface). Σε προβολικό επίπεδο παράλληλες ευθείες του ΑΧ (ως υποσυνόλου του) τέμνονται σε μοναδικό σημείο. | |
| 15/3/22 [2,8] | Προβολικοί χώροι από ΔΧ σε σώμα k. Δυϊκοί χώροι και ερμηνεία του ΠΧ P(V*). Χάρτες μέσω αφινικών υπέρ-επιπέδων, αλλαγή χαρτών. | |
| 17/3/22 [2,10] | Προβολική ευθεία για σώμα k και αλλαγή χάρτη ως αντιστροφή, ο ΠΧ P(C^1), στερεογραφική προβολή και η σφαίρα του Riemann. Η τοπολογία ΠΧ (Hausdorff, συμπαγείς, δρόμο-συνεκτικοί). | |
| 22/3/22 [2,12] | Ο προβολικός χώρος RP^3 και η ομάδα περιστρόφων SO(3). Πραγματικοί ΠΧ δεν είναι απλά συνεκτικοί, μιγαδικοί είναι. Η έννοια της προβολικής βάσης. | |
| 24/3/22 [1,13] | Δεν έγινε κανονικό μάθημα. Επαναλάβαμε κάποια από τα θέματα που έχουμε κάνει. | |
| 29/3/22 [2,15] | Προβολικές βάσεις και ορισμός προβολικής απεικόνισης (ομογραφίας). | |
| 31/3/22 [2,17] | Ομογραφία σε ομογενείς συντεταγμένες, μορφή για επιλογές χαρτών. Παραδείγματα και σύγκριση με αφινικές απεικονίσεις. Ομογραφίες προβολικής ευθείας. | |
| 5/4/22 [2,19] | Ομογραφία προβολικής ευθείας σε χάρτες. Προβολικοί υποχώροι, προβολικό ανάπτυγμα και προβολική ανεξαρτησία. Τομή προβ. υποχώρων, διατυπώσεις χωρίς εξαιρέσεις (όπως στην αφινική γεωμετρία). | |
| 7/4/22 [2,21] | Δράση ομάδας, παραδείγματα. Πιστή, μεταβατική και απλά μεταβατική δράση, τροχιές, ομάδα σταθεροποίησης, παραδείγματα. | Hwk1 |
| 12/4/22 [2,23] | Ιδιότητες τομών προβολικών υποχώρων, χωρίς εξαιρέσεις. Προβολική συμπλήρωση αφινικού χώρου, επαναληπτικός ορισμός ΠΧ. Θεωρήματα Πάππου και Desargues. Αποδείξεις με μέθοδο sending points to infinity. | |
| 3/5/22 [2,25] | Προοπτικές, απόδειξη ότι είναι ομογραφίες. Ο διπλός λόγος, εισαγωγικά και αναλογία με αφινική γεωμετρία, ορισμός αποφεύγοντας μετρική, ιδιότητες. | |
| 5/5/22 [2,27] | Υπολογισμός του ΔΛ. Αρμονική διαίρεση. Δυϊκότητα και ΔΛ. | |
| 10/5/22 [2,29] | Θεώρημα για ισότητα ΔΛ τετράδας επιπέδων δέσμης και τετράδας σημείων τομής με ευθεία. Συμμετρικές πολύ-γραμμικές συναρτήσεις και πολυωνυμικές συναρτήσεις. | |
| 12/5/22 [2,31] | Τετραγωνικές απεικονίσεις και μορφές, ταυτότητες πόλωσης. Δράση γενικής ομάδας, πρόβλημα ταξινόμησης. | |
| 17/5/22 [2,33] | Pullback, δράση της Gl(V) στον ΔΧ Q(V), τροχιές και ισοδυναμία τετραγωνικών μορφών. Διακρίνουσα. Η απεικόνιση V->V* που ορίζει η ΣΔΜ B. Κώνος ισορροπίας, rank και radical, μη-εκφυλισμένη ΤΜ, (completely) singular TM, παραδείγματα. | |
| 19/5/22 [2,35] | Ορθογώνιος ΔΧ σε ΔυΧ ως προς ΣΔΜ, ιδιότητες. Ύπαρξη ορθογώνιας βάσης, κανονικές μορφές τετραγωνικών μορφών, ταξινόμηση για k=C και k=R, αναλλοίωτα τροχιών της δράσης της Gl(V). | |
| 24/5/22 [2,37] | Αποτελέσματα για ΔΧ και ορθογώνιο του ως προς ΤΜ. Ύπαρξη ορθογώνιας βάσης, ταξινόμηση, ειδικά σε προβολική ευθεία και επίπεδο, σχέση με αφινικές κανονικές μορφές. | |
| 26/5/22 [2,39] | [Ηλεκτρονικά, video 20/5 μέρος 2 και 27/5 μέρος 1] Quadrics σε προβολικό επίπεδο, οι κλασικές κωνικές τομές και σχέση με τις εννέα κανονικές αφινικές μορφές. Εφαπτόμενη ευθεία σε quadric. Quadrics σε προβολικό χώρο 3 διαστάσεων, τοπολογία τους. Υπάρχει quadric στο προβολικό επίπεδο που να περνά από πέντε Σημεία. | |
| 31/5/22 [2,41] | Επισκόπηση αποτελεσμάτων για quadrics, τοπολογία τους. Σφαιρική γεωμετρία, σφαίρες σε ΕΑΧ και εφαπτόμενος χώρος. | |
| 2/6/22 [2,43] | Σφαίρες και η χρησιμότητα τους στα μαθηματικά. Τοπολογία σφαιρών. Εμβαδόν, τύπος του Girard, επαλήθευση του τύπου Euler για κανονικά πολύεδρα. | |
| 7/6/22 [2,45] | Τύπος Euler για αστεροειδή πολύεδρα και απόδειξη με χρήση τύπου του Girard. Σχέση με θεώρημα Gauss-Bonnet. Μετρικές στη σφαίρα: Ευκλείδεια και προσαρμοσμένη μετρική, έκφραση μέσω Arccos(x.y), το θεμελιώδες θεώρημα της Σφαιρικής Γεωμετρίας. | |
| 9/6/22 [2,47] | [Μέσω zoom] Απόδειξη ΘΘΣφΓεωμ. Ανισότητες για σφαιρικά τρίγωνα. Η ορθογώνια ομάδα και η δράση της σε σφαίρα, μεταβατικότητα, ο.κ. βάσεις, η σφαίρα ως ομογενής χώρος. Θεώρημα Euler για περιστροφές, SO(3) και RP^3, διπλή κάλυψη από S^3. Οι πεπερασμένες υπό-ομάδες του SO(2) και του SO(3), ο ρόλος των ομάδων συμμετρίας κανονικών πολύεδρων. | Σημειώσεις 9-6 |
| 14/6/22 [2,49] | Πεπερασμένες υπό-ομάδες του SO(3) και δράση σε σφαίρα, δυϊκότητα πολύεδρων. Ελλειπτική γεωμετρία, από σφαίρα σε προβολικό χώρο, προσαρμογή μετρικής. Υπερβολική γεωμετρία, εισαγωγικά. Η quadric με υπογραφή (n,1) και το σύνολο όπου είναι θετικά ορισμένη. | |
| 21/6/22 [2,51] | Μοντέλα Υπερβολικής Γεωμετρίας: (1) το Υπερβολοειδές, πλεονεκτήματα, μετρική, (2) δίσκος των Beltrami-Klein, (3) δίσκος του Poincaré, (4) το Προβολικό μοντέλο, μετρική μέσω διπλού λόγου, (5) ο Ημιχώρος του Poincaré. ΤΕΛΟΣ |