Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, Πληροφορίες
[18/10/20] Κάθε βδομάδα ετοιμάζονται τρία βίντεο, στην ιστοσελίδα στο e-learning (μέχρι Παρασκευή). Μην ξεχάσετε να συμβουλεύεστε και το Ημερολόγιο, πιο κάτω σε αυτή την ιστοσελίδα, όπου περιγράφεται η κάλυψη της ύλης, και όπου θα αναρτάται χρήσιμο υλικό (εργασίες κλπ). Τα video πλέον παίζουν αυτόματα σε παράθυρο μέσα στην ιστοσελίδα.
[1/10/20] Στην σημερινή συνάντηση στο zoom ανακοινώθηκε ότι η διδασκαλία θα γίνεται με video τα οποία θα αναρτώνται στο e-learning και, εν καιρώ, με κάποια μαθήματα ασκήσεων και αποριών στο zoom. Θα έχουμε τρία video κάθε βδομάδα, από μία ώρα και 15 λεπτά το καθένα, ξεκινώντας από την ερχόμενη βδομάδα.
[Η πρώτη συνάντηση έγινε την Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου, στις 12μ.μ. στην πλατφόρμα Zoom, όπου και συζητήθηκε αναλυτικά ο τρόπος που θα γίνει το μάθημα φέτος.]
Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).
Διδασκαλία: Δευτέρα 10-1, Τρίτη 10-11 και Πέμπτη 12-1
Ενδεικτική βιβλιογραφία:
- M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2nd ed. Dover 2016
- A. Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd ed. Springer 2010 (και στον Εύδοξο, μεταφρασμένη η 1η έκδοση)
- M. Lipschultz: Schaum’s Outline of Differential Geometry, McGraw 1969
- Αρβανιτογεώργος Α.: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Κάλλιπος 2015 (ελεύθερη πρόσβαση)
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
Κάθε εβδομάδα έχουμε τρία video των 75 λεπτών, ώστε να καλύπτονται ακριβώς οι 5 διδακτικές ώρες (των 45λ.).
| Ημερομηνια, βiντεο | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ | ΕΡΓΑΣΙΕΣ |
|---|---|---|---|
| 1η Εβδομάδα 5/10/2020 [2,2] | Εισαγωγή: καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο, καμπυλότητα και στρέψη. Επιφάνειες και τύποι καμπυλότητας. Επισκόπηση ΕΔΧ. | ||
| 1η Εβδομάδα 8/10/2020 [1,3] | Εσωτερικά γινόμενα σε ΔΧ, σχέση με θετικά ορισμένους πίνακες, κριτήριο Sylvester. Έννοια προβολής διανύσματος σε υποχώρο, σε ΕΔΧ. | ||
| 2η Εβδομάδα 12/10/2020 [1,4] | Προβολές σε υποχώρο, ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. Γεωμετρική ερμηνεία οριζουσών και ιδιοτητήτων τους. Εξωτερικό γινόμενο. | ||
| 2η Εβδομάδα 13/10/2020 [1,5] | Τριπλό γινόμενο και ερμηνεία του. ΕΔΧ και ΕΑΧ, σημεία και διανύσματα. Λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, η παράγωγος ως γραμμική απεικόνιση, αφινική προσέγγιση. | ||
| 2η Εβδομάδα 15/10/2020 [1,6] | Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης και εφαρμογή σε αλλαγή μεταβλητών, κινούμενη βάση. Προετοιμασία για θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. | ||
| 3η Εβδομάδα 19/10/2020 [2,8] | Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης, γεωμετρική ερμηνεία, αλλαγές μεταβλητών. Καμπύλες: Κανονική παραμέτρηση καμπύλης, παραδείγματα, αναπτύγματα Taylor, αναπαραμετρήσεις. | ||
| 3η Εβδομάδα 22/10/2020 [1,9] | Αναπαραμετρήσεις, επιτάχυνση, γραμμική και κάθετη συνιστώσα, συνάρτηση μήκους, φυσική παραμέτρηση, παραδείγματα. | ||
| 4η Εβδομάδα 26/10/2020 [1,10] | Αναπαραμετρήσεις, παραδείγματα, ορισμός καμπυλότητας και μοναδιαίου κάθετου διανύσματος σε σημείο όπου κ(s) μη-μηδενική. | ||
| 4η Εβδομάδα 29/10/2020 [1,11] | Κινούμενη ο.κ. βάση (Frenet frame). Τρία επίπεδα σε κάθε σημείο. Προσεγγίσεις, εφαπτόμενη ευθεία, εφαπτόμενη παραβολή. Επαφή τάξης k μεταξύ καμπυλών, εφαπτόμενος κύκλος. | ||
| 5η Εβδομάδα 2/11/2020 [2,13] | Προσεγγίσεις σε κάθε σημείο, μεταβολή του εφαπτόμενου επιπέδου. Οι εξισώσεις Frenet-Serret. Το παράδειγμα της έλικας. Η στρέψη και μέθοδοι υπολογισμού της. Μηδενική στρέψη δίνει επίπεδη καμπύλη. | Πρώτη Εργασία ΚΔΓ | |
| 5η Εβδομάδα 4/11/2020 [1,14] | Υπολογισμοί συναρτήσεων καμπυλότητας και στρέψης από γενική, μη-φυσική παραμέτρηση. Εύρεση ορθοκανονικής βάσης Frenet σε σημείο καμπύλης από γενική παραμέτρηση. | ||
| 6η Εβδομάδα 9-13/11/20 [2,16] | Εύρεση ορθοκανονικής βάσης Frenet (2η μέθοδος). Επίπεδες καμπύλες, διαφοροποίηση του ορισμού μοναδιαίου κάθετου πεδίου. Επίπεδες καμπύλες, ορισμός καθέτου διανύσματος και καμπυλότητας-με-πρόσημο. Παραδείγματα. Προσεγγίσεις, εξισώσεις Frenet-Serret για επίπεδες καμπύλες. | ||
| 6η Εβδομάδα 9-13/11/20 [1,17] | Δυσκολίες στον ορισμό γωνίας. Ρυθμός μεταβολής γωνίας και συνολική μεταβολή γωνίας. | ||
| 7η Εβδομάδα 16-20/11/20 [2,19] | Ρυθμός μεταβολής γωνίας και καμπυλότητα. Ολοκλήρωμα καμπυλότητας δίνει συνολική μεταβολή γωνίας, εφαρμογές. Θεώρημα Umlaufsatz. Θεωρία Επιφανειών: τρόποι ορισμού επιφάνειας, δυσκολίες μέσω ισοσταθμικού συνόλου συνάρτησης, παραμετρήσεις, συνθήκη κανονικότητας, παραδείγματα. | ||
| 7η Εβδομάδα 16-20/11/20 [A1] | [16/11, 11-1] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Η πρώτη εργασία. | ||
| 8η Εβδομάδα 23-27/11/20 [2,21] | Παραδείγματα (συν.) σφαίρες. Εφαπτόμενα διανύσματα και εφαπτόμενα επίπεδα. μοναδιαία κάθετο ΔΠ. Ορισμός επιφάνειας. Προσανατολίσιμες επιφάνειες. Παραδείγματα (συν.) γραφήματα. | ||
| 8η Εβδομάδα 23-27/11/20 [1,22] | Απεικόνιση στοιχείου εμβαδού. Παραδείγματα (συνέχεια): επιφάνειες εκ περιστροφής. | ||
| 9η Εβδομάδα 30/11-4/12 [2,24] | Παράδειγμα επιφάνειας εκ περιστροφής: ο τόρος. Υπολογισμός εμβαδού (τμήματος) επιφάνειας μέσω της συνάρτησης απεικόνισης στοιχείου εμβαδού. Αλλαγή παραμέτρησης. Παραδείγματα αλλαγής παραμέτρησης. Η Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή ως προς παραμέτρηση. | ||
| 9η Εβδομάδα 30/11-4/12 [1,25] | ΠΘΜ, χρησιμότητα (μήκος, γωνία εφαπτόμενων διανυσμάτων, μήκος καμπύλης), παραδείγματα. | ||
| 10η Εβδομάδα 7-11/12 [Α2] | [7/12, 10-12] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Απορίες από μαθήματα και την δεύτερη εργασία. | ||
| 10η Εβδομάδα 7-11/12 [2,27] | Λοξοδρομίες. Καμπυλότητα επιφάνειας, πρώτη προσέγγιση. Δεύτερη Θεμελιώδης Μορφή. Επισκόπηση αποτελεσμάτων για συμμετρικούς πίνακες. Ταξινόμηση σημείων επιφάνειας ανάλογα με τις ιδιοτιμές της ΔΘΜ. | ||
| 10η Εβδομάδα 7-11/12 [1,28] | Ταξινόμηση σημείων του τόρου. Δεύτερη προσέγγιση στην καμπυλότητα επιφάνειας: η απεικόνιση Gauss, παραδείγματα και εικόνες, ανάγκη προσδιορισμού παραγώγου της απεικόνισης αυτής μεταξύ επιφανειών. | ||
| 11η Εβδομάδα 14-18/12 [2,30] | Η παράγωγος της απεικόνισης Gauss. Μηδενική ΔΘΜ και επίπεδη επιφάνεια, απόδειξη. Περιγραφή 3ης Προσέγγισης στην καμπυλότητα επιφάνειας, κάθετη καμπυλότητα και τελεστής σχήματος, το θεώρημα του Meusnier. | ||
| 11η Εβδομάδα 14-18/12 [1,31] | Ο τελεστής σχήματος S είναι συμμετρικός, απόδειξη. Το Φασματικό Θεώρημα, απόδειξη. Πρωτεύουσες καμπυλότητες και πρωτεύουσες κατευθύνσεις. | ||
| 12η Εβδομάδα 21-24/12 [2,33] | Ο τύπος του Euler, απλά παραδείγματα. Καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα. Υπολογισμοί πρωτευουσών καμπυλοτήτων και κατευθύνσεων. Παραδείγματα υπολογισμών: ο τόρος, γραφήματα. Σύνοψη των τριών προσεγγίσεων στην έννοια της καμπυλότητας επιφάνειας κοντά σε κάθε σημείο της, σχέσεις μεταξύ τους. | ||
| 12η Εβδομάδα 21-24/12 [1,34] | Αλλαγή παραμέτρησης και αναλλοίωτο καμπυλότητας Gauss. Ορισμός λείας απεικόνισης επιφανειών. | ||
| 13η Εβδομάδα 11-15/1/21 [2,36] | Παράγωγος λείας απεικόνισης επιφανειών. Τοπική ισομετρία μεταξύ επιφανειών, παραδείγματα: κύλινδρος, κώνος, αλυσοειδής και ελικοειδής επιφάνεια είναι τοπικά ισομετρικές. Κινούμενη βάση πάνω σε επιφάνεια. Επιτάχυνση καμπύλης πάνω σε επιφάνεια. | ||
| 13η Εβδομάδα 11-15/1/21 [Α3] | [11/1, 10-12] Μάθημα ασκήσεων και αποριών. Απορίες από μαθήματα και την τρίτη εργασία. | ||
| 13η Εβδομάδα 11-15/1/21 [1,37] | Σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους για την κινούμενη βάση. Συνθήκες συμβατότητας: εξισώσεις Gauss και Codazzi-Mainardi. Theorema egregium του Gauss, το Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet). ΤΕΛΟΣ | ||