Κλασική Διαφορική Γεωμετρία Ι – Elementary Differential Geometry 2018-19

Χειμερινό εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-19, Τμήμα Α.

Περιεχόμενα

Ανακοινώσεις
Ημερολόγιο-σημειώσεις-ασκήσεις

Ανακοινώσεις#

[23/9]Τα αποτελέσματα της εξέτασης Σεπτεμβρίου 2019, με σειρά ΑΕΜ:

14337 0 14647 0 14790 6 14825 3 15113 0 15195 3 15316 3 15323 1 15368 2.5 15474 2.5 15626 3 15667 5 15668 3 15853 3 15896 5 15932 5 16084 1.5 16115 1.5 16316 5 16388 7 16440 0 16466 8

Αποτελέσματα τελικής εξέτασης της 18 Ιαν. 2019: τα προσωρινά αποτελέσματα εδώ. Οι βαθμοί δίνονται με προσέγγιση μισής μονάδας, και κάποιοι θα στρογγυλοποιηθούν στην τελική βαθμολογία. Εάν θέλει κάποιος να δει τα λάθη του, ας έλθει την ερχόμενη Δευτέρα στις 11.

Ανακοίνωση (14-1-2019): Προαιρετικό μάθημα Τρίτη 15/1, 11-1 (στην Μ0), για όσους ενδιαφέρονται. Θα κάνουμε επισκόπηση των μεθόδων που καλύψαμε και θα δούμε ό,τι απορίες παραμένουν.

(11-1-2019) Σήμερα θα προσπαθήσουμε να τελειώσουμε την ύλη του μαθήματος, καθώς χάθηκαν οι 2 ώρες της 9-1.

Προγραμματισμός μαθημάτων 13-12-2018 έως 11-1-2019:

13 και 14-12 θα γίνουν κανονικά μαθήματα
17 και 18-12 θα γίνουν μαθήματα ασκήσεων από τον κ Σ. Στράτογλου
20 και 21-12 θα γίνουν κανονικά μαθήματα
Την τελευταία εβδομάδα θα γίνουν μαθήματα, εκτός της Παρασκευής, 11-1, που θα κάνουμε μάθημα επισκόπησης της ύλης που καλύφθηκε και θα λύσουμε τυχόν απορίες.

Παρασκευή 7-12-2018 θα γίνει κανονικό μάθημα (όχι αποριών/ασκήσεων), καθώς οι 4 ώρες των μαθημάτων της Δευτέρας και Τρίτης 17 και 18 Δεκ. θα αφιερωθούν αποκλειστικά σε επαναληπτικές ασκήσεις και απορίες.

Προαιρετικά μαθήματα αποριών και ασκήσεων: ξεκινούν Παρασκευή 23-11, στις 11-12 στην Δ21. (Ετοιμάστε τις απορίες σας πριν από κάθε μάθημα.)

Γραφικά βοηθήματα και Εργασίες:

(16-12) Η τρίτη εργασία (η πρώτη στην θεωρία επιφανειών)

(17-11) Η δεύτερη εργασία

Έχουν αναρτηθεί: βίντεο της κίνησης του τριέδρου Frenet πάνω σε έλικα (23-10), το εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο της έλικας (στο οποίο ανήκει ένα μόνο σημείο της έλικας!) (29-10), εικόνα της καμπύλης του Hilbert (από Wikipedia) και λεπτομέρειες του παραδείγματος που αναφέρθηκε ως εφαρμογή του ΘΠΣ (16-10).

(25-10) Η πρώτη εργασία

Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).

Διδασκαλία: Δευτέρα 11-1 (Δ21), Τρίτη 12-2 μμ (Δ11) και Πέμπτη 10-11 πμ (Δ11)

Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.

Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ από συναδέλφους.

top

Ημερολόγιο#

([ν,μ] σημαίνει ν ώρες, μ ώρες συνολικά)

Μάθημα/Ώρες	Κάλυψη ύλης	Αρχεία, Links	Εργασίες
1-10-2018 [2,2]	Εισαγωγικά. Επισκόπηση θεωρημάτων της Διαν. Ανάλυσης (Λογισμού 4). Καμπύλες και επιφάνειες και διαισθητική ανάπτυξη των εννοιών “τοπικής γεωμετρίας” καμπυλών και επιφανειών.
2-10-2018 [2,4]	Καμπυλότητα επιφάνειας, ο τόρος ως παράδειγμα. Ιστορική αναδρομή και εφαρμογές της ΔΓ. Επισκόπηση Γραμμικής Άλγεβρας: ΔΧ, βάσεις, εσωτερικά γινόμενα.
4-10-2018 [1,5]	ΕΓ και θετικά ορισμένοι πίνακες. Ορθοκανονικές βάσεις.
8-10-2018 [2,7]	Προβολή σε υποχώρο και η ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. Προσανατολισμοί βάσεων ΔΧ. Εξωτερικό και μεικτό γινόμενο και γεωμετρικές ερμηνείες.
9-10-2018 [2,9]	Παράγωγος DF(x) συνάρτησης F : Rⁿ –> R^m και δύο γεωμετρικές ερμηνείες, καμπύλες και διανύσματα ταχύτητας και γραμμικοποίηση. Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης και αλλαγή μεταβλητών, παράδειγμα: πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο.
11-10-2018 [1,10]	Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης: ισοσταθμικά σύνολα, σύνολα λύσεων εξισώσεων, διατύπωση για βαθμωτή συνάρτηση πολλών μεταβλητών, παραδείγματα.
15-10-2018 [2,12]	ΘΠΣ, γενική διατύπωση και παραδείγματα. Θεωρία Καμπυλών: Έννοια της καμπύλης και ορισμός κανονικής παραμέτρησης καμπύλης, παραδείγματα.	Hilbert space-filling curve (από Wikipedia) Παράδειγμα ΘΠΣ
16-10-2018 [2,14]	Παραδείγματα (συν.). Αναπαραμετρήσεις καμπύλης.
18-10-2018 [1,15]	Συνάρτηση μήκους καμπύλης και η φυσική παραμέτρησή της, παράδειγμα της έλικας.
22-10-2018 [2,17]	Δυσκολίες εύρεσης φυσικής παραμέτρησης, παραδείγματα. Τάξη επαφής καμπυλών. Ορισμός καμπυλότητας και στοιχειώδη παραδείγματα. Ορισμός καθέτου διανύσματος και εφαπτόμενου επιπέδου.
23-10-20-18 [2,19]	Καμπύλες πάνω στο εφαπ. επίπεδο με επαφή 2ας τάξης (τετραγωνική): παραβολή και κύκλος, ακτίνα καμπυλότητας. Δισκάθετο διανυσματικό πεδίο b(s) και το πλαίσιο ή τρίεδρο Frenet (ο.κ. κινούμενη βάση). Τα τρία επίπεδα σε κάθε σημείο καμπύλης.	Εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο έλικας
25-10-2018 [1,20]	Οι εξισώσεις Frenet-Serret για Frenet-κανονικό τμήμα καμπύλης. Ορισμός της συνάρτησης στρέψης σ(s).		Πρώτη εργασία
29-10-2018 [2,22]	Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων των εξισώσεων Frenet-Serret. Προσδιορισμός καμπύλης από τις 2 βαθμωτές συναρτήσεις κ(s) και σ(s). Παράδειγμα η κατηγορία ελίκων (σταθερή κ και σ). Γεωμετρική ερμηνεία στρέψης, μηδενική στρέψη δίνει επίπεδη καμπύλη.	Τρίεδρο Frenet έλικας
30-10-2018 [2,24]	Υπολογισμός στρέψης από φυσική παραμέτρηση. Υπολογισμοί κ και σ και εύρεση τριέδρου Frenet σε σημείο από μη-φυσική παραμέτρηση.
1-11-2018 [1,25]	Καμπύλες σε επίπεδο. Ορισμός κινούμενου πλαισίου ( t(s), n(s)) (ορίζεται σε όλα τα σημεία!). Ορισμός καμπυλότητας και ερμηνεία θετικής και αρνητικής καμπυλότητας.
5-11-2018 [2,27]	Προσεγγιστικές καμπύλες σε σημείο επίπεδης καμπύλης (ευθεία, παραβολή και κύκλος), εξισώσεις Frenet, ερμηνεία και σημασία, κύκλοι ως μοναδικές καμπύλες με σταθερή κ. Υπολογισμός ο.κ. κινούμενης βάσης από γενική παραμέτρηση.
6-11-2018 [2,29]	Υπολογισμός καμπυλότητας από γενική παραμέτρηση. Δυσκολίες στον ορισμό “γωνίας”, σωστότερο να θεωρηθεί ρυθμός μεταβολής με ολοκλήρωμα την συνολική μεταβολή γωνίας. Η καμπυλότητα είναι ρυθμός μεταβολής: $\kappa (s) = \frac{d \theta}{ds}$ .
8-11-2018 [1,30]	Εύρεση καμπύλης από γράφημα καμπυλότητας, παραδείγματα. Τμηματικά λεία καμπυλότητα και C¹ καμπύλη. Ο τελικός ορισμός καμπύλης, με συνέπεια κάθε κλειστή καμπύλη να είναι και απλή.
12-11-2018 [2,32]	Εμβυθίσεις κύκλου. Το Umlaufsatz και παραδείγματα με μεταβολή γωνίας 2πk, για kεΖ. Επιφάνειες: Ορισμός επιφάνειας, εξήγηση συνθήκης κανονικότητας, στοιχειώδη παραδείγματα (αφινικά επίπεδα, κύλινδροι).
13-11-2018 [2,34]	Συνέχεια παραδειγμάτων, σφαίρες και ανάγκη για πάνω από μία παραμέτρηση. Εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο. Ορισμός μοναδιαίου καθέτου ΔΠ. Ορισμός επιφάνειας (μέσω κανονικών παραμ. επιφ.) και προσανατολίσιμες επιφάνειες, η ταινία του Möbius.
15-11-2018	Δεν έγινε μάθημα		Δεύτερη Εργασία
19-11-2018 [2,36]	Εφαπτόμενο επίπεδο ως γραμμική προσέγγιση (επαφή 1ης τάξης) σε σημείο. Συνάρτηση απεικόνισης στοιχείου εμβαδού $\|\| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \|\|$ , παραδείγματα. Εμβαδόν επιφάνειας. Παραδείγματα επιφανειών: γραφήματα.
20-11-2018 [2,38]	Γραφήματα, παραδείγματα, υπολογισμός εμβαδού σάγματος με αλλαγή μεταβλητών — γεωμετρική ερμηνεία. Κάθε επιφάνεια είναι, τοπικά, γράφημα. Επιφάνειες εκ περιστροφής.
22-11-2018 [1,39]	Επιφάνειες εκ περιστροφής, ιδιότητες και παραδείγματα (κύλινδρος, σφαίρα, τόρος).
23-11-2018 [1,40]	Μάθημα αποριών και ασκήσεων
26-11-2018 [2,42]	Αλυσοειδής και ελικοειδής επιφάνεια, ευθειογενείς επιφάνειες. Ορισμός επιφάνειας και εφαπτόμενου επιπέδου T_r Σ. Αλλαγή παραμέτρησης και σχέση κάθετων ΔΠ.	Ελικοειδής επιφάνεια
27-11-2018 [2,44]	Πρώτη θεμελιώδης μορφή, εξήγηση και ορισμός, παραδείγματα (κύλινδροι, αφινικά επίπεδα, γραφήματα, σφαίρες).
29-11-2018 [1,45]	ΠΘΜ και υπολογισμός μήκους καμπύλης πάνω σε επιφάνεια. Ένοιες μέτρου και γωνίας (σε κάθε σημείο). Παράδειγμα της λοξοδρομίας σε σφαίρα.	Λοξοδρομική πλεύση
30-11-2018 [1,46]	Μάθημα αποριών και ασκήσεων
3-12-2018 [2,48]	Λοξοδρομίες, λύσεις. Ορίζουσα ΠΘΜ και εμβαδόν. Έννοιες καμπυλότητας για επιφάνειες. Πρώτη προσέγγιση: απόκλιση, τοπικά, από το εφαπτόμενο επίπεδο σε σημείο, ορισμός της ΔΘΜ. Εφαρρμογή για γραφήματα και σχέση με τον Εσιανό πίνακα.
4-12-2018 [2,50]	Ταξινόμηση σημείων επιφάνειας μέσω Εσιανής, ελλειπτικά/υπερβολικά/παραβολικά σημεία. Φασματικό θεώρημα. Βάση $( \mathbf{r}_u , \mathbf{r}_v, \mathbf{n} )$ σε κάθε σημείο επιφάνειας. Εναλλακτική μορφή ΔΘΜ, ερμηνεία των $\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v$ . 2η Προσέγγιση: Απεικόνιση Gauss, εικόνα της απεικόνισης Gauss, παραδείγματα.
6-12-2018 [1,51]	Τοπική εικόνα απεικόνισης Gauss για ελλειπτικά και για υπερβολικά σημεία. Προετοιμασία για εύρεση παραγώγου της απεικ. Gauss: γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου συνάρτησης $F : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m$ σε ένα σημείο ως γραμμικής απεικόνισης.
7-12-2018 [1,52]	Η παράγωγος της απεικόνισης Gauss, τύπος μέσω των πινάκων ΠΘΜ και ΔΘΜ, γεωμετρική ερμηνεία.
10-12-2018 [2,54]	3η προσέγγιση: μέσω καμπυλών πάνω σε επιφάνεια. Ορισμός κάθετης καμπυλότητας και τελεστή σχήματος. Θεώρημα του Meusnier και καμπύλες τομής με κάθετα επίπεδα.	Καμπύλες τομής σε σάγμα
11-12-2018 [2,56]	Απόδειξη της συμμετρίας του τελεστή S. Κάθετη καμπυλότητα και καμπυλότητα επίπεδης καμπύλης. Πρωτεύουσες καμπυλότητες και κατευθύνσεις και ο τύπος του Euler. Παραδείγματα: σφαίρα, όπου κ₁ = κ₂ και γραφήματα, πχ. σάγμα.
13-12-2018 [1,57]	Ανάλυση του τελεστή S, ορισμός καμπυλότητας Gauss K και μέσης καμπυλότητας H, σχέση με τις αναλλοίωτες του πίνακα. Υπολογισμός ο.κ. βάσης ιδιοδιανυσμάτων.
14-12-2018 [1,58]	Επισκόπηση θεωρίας καμπυλότητας επιφανείων μέσω κάθετης καμπυλότητας. Καμπυλότητα Gauss για τον τόρο.		Τρίτη εργασία
17,18-12-2018 [4,62]	Μαθήματα ασκήσεων
20-12-2018 [1,63]	Επισκόπηση των τριών προσεγγίσεων της έννοιας καμπυλότητας για επιφάνειες, σχέσεις μεταξύ τους.
21-12-2018 [1,64]	Αλλαγή μεταβλητών και αναλλοίωτο της καμπυλότητας Gauss. Ορισμός απεικόνισης μεταξύ επιφανειών.
8-1-2019 [2,66]	1. Εύρεση της παραγώγου λείας απεικόνισης επιφανειών. 2. Ισομετρίες μεταξύ επιφανειών, συνθήκη μέσω των ΠΘΜ. Παραδείγματα: κύλινδρος και κώνος ισόμετροι με επίπεδο.	Ισομετρία αλυσοειδούς με ελικοειδή επιφάνεια
11-1-2019 [1,67]	Ισομετρία αλυσοειδούς επιφάνειας με ελικοειδή. Εξισώσεις για την κινούμενη βάση σε επιφάνεια, τα σύμβολα Christoffel.
15-1-2019 [2,69]	Προαιρετικό μάθημα επισκόπησης βασικών μεθόδων και αποτελεσμάτων. ΤΕΛΟΣ