“Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught
everywhere; it is reaching down into the high schools and even the elementary
schools; it is jostling calculus for the right to be taught first.
Yet all is not well. The courses and books all too often stop short just as
the going is beginning to get interesting. And classical geometry, linear
algebra’s twin sister, is a bridesmaid whose chance of getting near the altar
becomes ever more remote. Generations of mathematicians are growing
up who are on the whole splendidly trained, but suddenly find that, after
all, they do need to know what a projective plane is.”
Irving Kaplansky in “Linear Algebra and Geometry”
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, πληροφορίες#
[30/9/20] Το μάθημα δεν προσφέρεται πλέον (από 2020-21). Τα υποχρεωτικά μαθήματα γεωμετρίας είναι τώρα τα Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας στο Β’ εξάμηνο, η Εισαγωγή στη Γεωμετρία Ι στο 3ο εξάμηνο και η ΚΔΓ Ι όπως και πριν στο 5ο. Εάν κάποιος χρωστά την ΑΓ Ι, πρέπει να πάρει την Εισαγωγή στη Γεωμετρία Ι, ενώ αν χρωστάει την ΑΓ ΙΙ, τότε θα πάρει τα Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας. Οι λεπτομέρειες αυτών των αλλαγών έχουν παρουσιαστεί από την τότε πρόεδρο Κα. Χαραλάμπους (αρχείο στην ιστοσελίδα του τμήματος https://math.auth.gr/programs/undergraduate/curriculum-changes/ )
[22/9/20] Περάστηκαν οι βαθμοί της επαναληπτικής εξέτασης στο e-learning
[17/9/20] Τα αποτελέσματα της επαναληπτικής εξέτασης της 15/9 θα είναι διαθέσιμα στα μέσα της ερχόμενης βδομάδας.
Επαναληπτική εξέταση, 15 Σεπτεμβρίου 2020: Η εξέταση θα είναι, όπως και στην προηγούμενη εξεταστική, γραπτή εξέταση, με θέματα που θα σας δοθούν στο elearning, και με συνεχή οπτική και ακουστική ηλεκτρονική επιτήρηση στην πλατφόρμα Zoom. Η διάρκειά της θα είναι δύο ώρες.
Στο τέλος, θα υποβάλετε το γραπτό σας στην ίδια πλατφόρμα ως εικόνες/σκαν/φωτογραφίες. Σε περίπτωση αμφιβολίας, πιθανόν να ζητηθεί περαιτέρω προφορική εξέταση.
Η εξέταση θα είναι λοιπόν ακριβώς στο επίπεδο μιας συνήθους εξέτασης, και μάλιστα τα θέματα εξ ανάγκης θα είναι λιγότερο εξαρτώμενα από κομμάτια θεωρίας ή από ο,τιδήποτε εμφανίζεται σε σημείωσεις ή έτοιμο υλικό (για προφανείς λόγους). Συμβουλή μου επομένως είναι να συμμετάσχετε μόνο εάν είστε σίγουροι ότι η προετοιμασία σας είναι πλήρης, και όλες οι βασικές έννοιες απόλυτα σαφείς.
Την Πέμπτη 10-9 στις 10 π.μ. ακριβώς θα κάνουμε ένα δοκιμαστικό της εξέτασης, στον σύνδεσμο,
για να βεβαιωθούμε ότι έχετε τον κατάλληλο εξοπλισμό, και για να εξοικειωθείτε με την διαδικασία της επιτηρούμενης ηλεκτρονικά γραπτής εξέτασης, αλλά και της υποβολής στην πλατφόρμα του elearning. Η συμμετοχή σας είναι απαραίτητη: μόνο όσοι συμμετάσχουν στην δοκιμαστική εξέταση θα επιτραπεί να συμμετάσχουν και στην τελική εξέταση της επόμενης Τρίτης 15-9.
Σύμφωνα με τις αποφάσεις της Συγκλήτου, σε περίπτωση που κάποιος έχει σοβαρό πρόβλημα υγείας ή ανυπέρβλητο τεχνικό πρόβλημα πρέπει να με ενημερώσει άμεσα, ώστε να εξεταστεί το ενδεχόμενο εναλλακτικής εξέτασης σε εύθετο χρόνο.
[4-7-20] Οι βαθμοί των γραπτών της τελικής εξέτασης έχουν αναρτηθεί στην πλατφόρμα του μαθήματος στο elearning.
[18-6-20] Διευκρινίσεις για την δοκιμαστική: Θα είναι σύντομης διάρκειας. Θα σας περιγραφεί κατ’ αρχήν η διαδικασία για την εξέταση. Κατόπιν θα κατεβάσετε δοκιμαστικό αρχείο από το site του μαθήματος στο elearning, θα απαντήσετε πολύ σύντομα γραπτώς, για να δοκιμαστεί αν όλα είναι εντάξει, με την κάμερα στραμμένη προς την επιφάνεια εργασίας σας. Κατόπιν, θα βγάλετε φωτογραφία ή scan και θα ανεβάσετε το αρχείο της απάντησης σε κατάλληλη πλατφόρμα (προφανώς δεν θα βαθμολογηθεί). Είναι σημαντικό οι φωτογραφίες να είναι καλά φτιαγμένες, και θα σας δοθούν οδηγίες για αυτό. Όλα αυτά θα σας βοηθήσουν να εξοικειωθείτε με όλες τις πλευρές της εξ αποστάσεως εξέτασης, ώστε να αισθανθείτε πιό άνετα την ημέρα της κανονικής εξέτασης. Είναι και απαραίτητα για τον διδάσκοντα, καθώς θα εξασφαλίσει ότι ο κάθε εξεταζόμενος έχει τον απαραίτητο εξοπλισμό και είναι αποτελεσματική η ηλεκτρονική επιτήρηση για τον κάθε συμμετέχοντα.
[17-6-20] Εξετάσεις Ιουνίου 2020: Η τελική εξέταση θα είναι, όπως έχει ανακοινωθεί εδώ και καιρό στο elearning, γραπτή εξέταση, με θέματα που θα σας δοθούν στο elearning, και με συνεχή οπτική και ακουστική ηλεκτρονική επιτήρηση στην πλατφόρμα Zoom. Η διάρκειά της θα είναι δύο ώρες.
Ο σύνδεσμος που θα χρειαστείτε είναι:
Στο τέλος, θα υποβάλετε το γραπτό σας στην ίδια πλατφόρμα ως εικόνες/σκαν/φωτογραφίες. Σε περίπτωση αμφιβολίας, πιθανόν να ζητηθεί περαιτέρω προφορική εξέταση.
Η εξέταση θα είναι λοιπόν ακριβώς στο επίπεδο μιας συνήθους εξέτασης, και μάλιστα τα θέματα εξ ανάγκης θα είναι λιγότερο εξαρτώμενα από κομμάτια θεωρίας ή από ο,τιδήποτε εμφανίζεται σε σημείωσεις ή έτοιμο υλικό (για προφανείς λόγους). Συμβουλή μου επομένως είναι να συμμετάσχετε μόνο εάν είστε σίγουροι ότι η προετοιμασία σας είναι πλήρης, και όλες οι βασικές έννοιες απόλυτα σαφείς.
Την Παρασκευή 19-6 στις 11:30 π.μ. ακριβώς θα κάνουμε ένα δοκιμαστικό της εξέτασης, στον ίδιο σύνδεσμο, για να βεβαιωθούμε ότι έχετε τον κατάλληλο εξοπλισμό και να εξοικειωθείτε με την διαδικασία της επιτηρούμενης ηλεκτρονικά γραπτής εξέτασης αλλά και της υποβολής στνν πλατφόρμα του elearning. Η συμμετοχή σας είναι απαραίτητη: μόνο όσοι συμμετάσχουν στην δοκιμαστική εξέταση θα επιτραπεί να συμμετάσχουν και στην τελική εξέταση της επόμενης Τρίτης 23-6.
Σύμφωνα με τις αποφάσεις της Συγκλήτου, σε περίπτωση που κάποιος έχει σοβαρό πρόβλημα υγείας ή ανυπέρβλητο τεχνικό πρόβλημα πρέπει να με ενημερώσει άμεσα, ώστε να εξεταστεί το ενδεχόμενο εναλλακτικής εξέτασης σε εύθετο χρόνο.
[10-6-20] Συμπληρώσαμε τρία δίωρα μαθήματα ασκήσεων και αποριών, και σταματάμε εδώ. Για ό,τι απορίες έχουν μείνει, παρακαλώ χρησιμοποιήσετε το forum των αποριών στο elearning.
[3-6-20] Συνεχίζουμε τα μαθήματα αποριών και ασκήσεων, Τρίτη και Πέμπτη, από τις 10πμ και μετά. Επόμενο μάθημα Πέμπτη 4/6.
[28-5-20] Τελειώσαμε σήμερα με τα μαθήματα. Υπάρχουν συνολικά βίντεο 41 ωρών και 57 ώρες διδασκαλίας. Από την ερχόμενη βδομάδα, και μέχρι την εξέταση την 17-6 θα οργανωθούν προαιρετικές ζωντανές τηλεδιασκέψεις για απορίες από τα μαθήματα ή από τις εργασίες. Για να είναι αποτελεσματικές όμως, προϋποθέτει ότι προηγείται συστηματική δικιά σας μελέτη, ώστε να ασχοληθούμε μόνο με σημεία τα οποία είναι λιγότερο προφανή.
Επίσης, έχει αναρτηθεί απόσπασμα συγγράμματος το οποίο καλύπτει μέρος του μαθήματος, ιδιαίτερα τα πρώτα θέματα για τα οποία δεν υπάρχουν βίντεο. Είναι στην ενότητα “Βιβλιογραφία” στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο elearning αλλά και παρακάτω.
Οι ζωντανές διασκέψεις/μαθήματα θα γίνουν στην πλατφόρμα zoom. Σκοπεύω να ξεκινήσουμε την ερχόμενη Τρίτη 2-6 στις 10π.μ. Ο σύνδεσμος που θα χρειαστείτε είναι:
https://authgr.zoom.us/j/91588743679?pwd=Sjd0YzYzMm50UUY4Z3E2TlVTbFBjUT09
[23-4-20] Μαθήματα-βίντεο στην περίοδο διακοπών 13-4 έως 24-4: αναρτήθηκαν 2 βίντεο Τρίτη 14-4 και άλλα δύο την Πέμπτη 23-4. Το θέμα τους, η ανάλυση των γεωμετρικών τόπων που ορίζει μία τετραγωνική εξίσωση σε αφινικό επίπεδο και η ταξινόμηση των τύπων που προκύπτουν, είναι σημαντικό μέρος του μαθήματος και σας συστήνεται η καλή τους μελέτη.
[26-3-20] Κάθε βδομάδα αναρτώνται 4 video, καλύπτοντας τις 4 ώρες διδασκαλίας. Τα video δεν πρέπει να τα κατεβάζετε, καθώς είναι μεγάλα αρχεία. Η πλατφόρμα elearning/moodle έχει ένα πολύ καλό player για media, που πρέπει να είναι και η αυτόματη επιλογή όταν πατήστε το link του video. Λέγεται VideoJS και παίζει τα video ακόμα και σε κινητό. Βεβαιωθείτε ότι ο υπολογιστής σας δεν προσπαθεί να τα κατεβάσει, αλλά τα ανοίγει με το video player (Ελέγξτε τις ρυθμίσεις του browser για το πώς χειρίζεται τους διάφορους τύπους αρχείων. Π.χ σε Mozilla Firefox, στις Προτιμήσεις/Preferences στην καρτέλα Γενικά/General στην περιοχή Εφαρμογές/Files and Applications φροντίστε να μην έχει επιλεχθεί (αυτόματα) το κατέβασμα αρχείων βίντεο, τύπου .mov για τα δικά μας, αλλά και mp4 κοκ). Με τον ενσωματωμένο player, to video ανοίγει και παίζει μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, και μπορείτε εύκολα να κάνετε scroll μπρος/πίσω. Παρακαλώ να βλέπετε όλα τα video προσεκτικά, κρατώντας σημειώσεις, συμπληρώνοντας ό,τι κενά αφήνουμε, και προσπαθώντας επιπλέον παραδείγματα μόνοι σας. Είναι ο μόναδικός τρόπος να αφομοιώσετε καλά το υλικό του μαθήματος. [Αντιγραφή ανακοίνωσης από το elearning]
[15/3/20] Ολοκληρώθηκε η διαδικασία αυτόματης εγγραφής όλων των φοιτητών του τμήματος Α στο μάθημα, και πλέον ελπίζω ότι έχετε όλοι πρόσβαση! Παρακολουθήστε το πρώτο video και από Δευτέρα θα ανεβάζω τακτικά και άλλα.
[14/3/20] Ενημερώθηκα για προβλήματα που έχετε στην πρόσβαση του video. Πιστεύω ότι μάλλον θα πρέπει να περιμένουμε έως την Δευτέρα, ώστε να προσθέσει την λίστα των χρηστών η γραμματεία. Ζητώ συγγνώμη.
[13/3/20] Videos: Τα μαθήματα από δω και πέρα θα είναι διαθέσιμα βιντεοσκοπημένα στην αντίστοιχη ιστοσελίδα του μαθήματος στο elearning. Παρακαλώ να τα παρακολουθείτε, και εάν έχετε απορίες, να επικοινωνείτε μαζί μου. Θα εξεταστεί το ενδεχόμενο και δημιουργίας “συνεδρίας” σε ηλεκτρονική πλατφόρμα για να συζητηθούν οι απορίες με συμμετοχή όλων που ενδιαφέρονται. Προς το παρόν υπάρχει ένα μόνο video, που συνεχίζει από το τελευταίο μας μάθημα.
[10/3/20] Αναστολή εκπαιδευτικών λειτουργιών με φυσική παρουσία από 11/3 έως και 25/3 έχει ανακοινωθεί από την διοίκηση. Μελετάται η δυνατότητα εξ αποστάσεως διδασκαλίας.
Αλλαγή αίθουσας: από αυτή την Πέμπτη, 13-2, το μάθημα θα γίνεται στην Δ21 αντί της Μ0.
Γενικά: Μάθημα Εαρινού εξαμήνου 2017-18, τμήμα Α (Α-Μο). Πρώτο μέρος του υποχρεωτικού μαθήματος Αναλυτικής Γεωμετρίας. Το τμήμα Β διδάσκεται από την κα Πεταλίδου. Έχει αποφασισθεί ότι δεν θα επιτραπούν αλλαγές τμήματος για φοιτητές μεγαλυτέρων εξαμήνων, για οποιονδήποτε λόγο.
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος θα υπάρχει λεπτομερές Ημερολόγιο Μαθήματος, με περιγραφή της ύλης που καλύπτουμε και με χρήσιμα αρχεία και εργασίες για την καλύτερη προετοιμασία σας. Στο τέλος της ιστοσελίδας, υπάρχει πεδίο για απορίες–ερωτήσεις.
Περιγραφή: το μάθημα βασίζεται σε καλή γνώση του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας, και αποτελεί, εν μέρει, συνέχειά του, καθώς γενικεύει την έννοια του διανυσματικου χώρου σε αυτήν του αφινικού χώρου (Α.Χ.). Παρουσιάζει από την σκοπιά της Γεωμετρίας (πρόγραμμα του Erlangen του F. Klein) τους επιτρεπόμενους μετασχηματισμούς και την έννοια ισοδυναμίας σε Α.Χ. και ταξινομεί, ως εφαρμογή, όλες τις τετραγωνικές καμπύλες. Κατόπιν, δίνεται μιά σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία και τέλος επιστρέφουμε σε Α.Χ. όπου προσθέτουμε την δομή ενός εσωτερικού γινομένου — αυτό μας δίνει ακριβώς το πλαίσιο στο οποίο αναπτύσσεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία από την αναλυτική σκοπιά της.
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 12-2 (Δ21), Πέμπτη 9-11 (Δ21, αλλαγή από Μ0).
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η Αναλυτική Γεωμετρία θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ, από συναδέλφους.
Ημερολόγιο#
([ν,μ]: ν ώρες διδασκαλίας, μ συνολικές ώρες.)
| Ημερομηνια /Ωρες | Καλυψη υλης | Αρχεια | Εργασιες |
|---|---|---|---|
| 11-2-2020 [2,2] | Εισαγωγή: υπάρχουν διάφορες "γεωμετρίες" που θα δούμε, σύντομη περιγραφή. Εφαρμογές στα Computer Graphics. Επισκόπηση γνώσεων από Γρ. Άλγεβρα. Ορισμός ΔΧ, γραμμικοί συνδυασμοί και ανάπτυγμα. | Math and Movies (Pixar) | |
| 13-2-2020 [2,4] | Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία, βάσεις, διάσταση, παραδείγματα, εύρεση συντεταγμένων λύνοντας ΣΓΕ. Θεωρήματα επέκτασης και ανταλλαγής (Steinitz). Υποχώροι ΔΧ. | ||
| 18-2-2020 [2,6] | dim (U+W) = dim U + dim W - dim (U ^ W). Γραμικές απεικονίσεις και πίνακες ως προς επιλογές βάσεων. Πυρήνας και εικόνα, θεώρημα: dim ker(T)+dim im(T)=dim(V). | ||
| 20-2-2020 [2,8] | Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων: ερμηνεία μέσω γραμμ. απεικόνισης. Συνθήκη ύπαρξης λύσης. Μοναδικότητα και πυρήνας, παραδείγματα σε μικρές διαστάσεις. | ||
| 25-2-2020 [2,10] | ΣΓΕ, κριτήρια ύπαρξης, εύρεση πυρήνα και βάσης του, σύνολο λύσεων ως μετατόπιση του πυρήνα, παραδείγματα. | ||
| 5-3-2020 [2,12] | Παραμετρικές μορφές αφινικών ευθειών και επιπέδων στον χώρο, βαρυκεντρικές συντεταγμένες, πότε ταυτίζονται δύο ευθείες; | Αφινικό επίπεδο στον χώρο | |
| 10-3-2020 [2,14] | Ορισμός αφινικού χώρου, έννοια συνάρτησης μετατόπισης, ή δράσης, διάκριση σημείων και διανυσμάτων. Αφινικοί συνδυασμοί. Παραδείγματα: αφινικές ευθείες στο επίπεδο, μη-μοναδικότητα δράσης, αφινικά επίπεδα στον χώρο, δράση. | ||
| 13-3-2020 [1,15] | Video στο elearning: συνέχεια παραδείγματος, αφινική ανεξαρτησία. | ||
| 17-3-2020 [2,17] | Videos στο elearning: Αφινικές βάσεις (δύο μορφές, συμμετρική και μή-συμμετρική), αφινικές και βαρυκεντρικές συντεταγμένες. Θεώρημα: οι τρείς διάμεσοι ευθείες τριγώνου έχουν κοινό σημείο τομής. Κατηγορίες ΑΧ. Αφινικές απεικονίσεις, ορισμός. | ||
| 19-3-2020 [2,19] | Videos στο elearning: έκφραση αφινικής απεικόνισης ως προς αφινικές βάσεις y=Px+c_0. Παραδείγματα. Σύνθεση αφιν. απεικονίσεων και ύπαρξη αντίστροφης. | ||
| 24-3-2020 [2,21] | Videos στο elearning: Ιδιότητες αφινικών απεικονίσεων, αφινικοί υποχώροι πηγαίνουν σε αφινικούς υποχώρους, σύνθεση, η ταυτοτική απεικόνιση, η αφινική ομάδα Aff(X). Κατηγορίες στοιχείων της Aff(X): μετατοπίσεις, διαστολές, ομοθεσίες. Αλλαγή βάσης σε ΑΧ: πώς αλλάζουν οι αφιν. συντεταγμένες. Παραδείγματα. | ||
| 26-3-2020 [2,23] | Videos στο elearning: Συνέχεια παραδειγμάτων αλλαγής βάσης. Ορισμός παραλληλίας αφινικών υποχώρων ενός ΑΧ. Θεώρημα: κάθε αφινική απεικόνιση διατηρεί την παραλληλία. Ειδική περίπτωση και γενική απόδειξη. Η Αφινική Γεωμετρία, σύγκριση με την Γραμμική Άλγεβρα. | Πρώτη Εργασία (ΔΧ) | |
| 31-3-2020 [2,25] | Videos στο elearning: Στοιχεία Αφινικής Γεωμετρίας: δεν έχουμε μήκη ή γωνίες, αλλά έχουμε σε κάθε ευθεία έννοια σχετικής απόστασης. Στη Αφ. Γεωμ. όλα τα τρίγωνα είναι ισοδύναμα, αλλά όχι τα τετράπλευρα, εκτός αν είναι παραλληλόγραμμα. Θεωρήματα Αφινικής Γεωμετρίας: Θαλή, Μενελάου. | Δεύτερη Εργασία (ΑΧ) | |
| 2-4-2020 [2,27] | Videos στο elearning: Θεώρημα Ceva. Γεωμετρικοί τόποι σε ΑΧ οι οποίοι ορίζονται από εξισώσεις στις αφινικές συντεταγμένες ως προς επιλογή βάσης. Στοιχειώδη παραδείγματα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. | ||
| 7-4-2020 [2,31] | Videos στο elearning: Τετραγωνική εξίσωση σε ΑΧ, έκφραση μέσω συμμετρικού πίνακα, μη-συστηματικές απόπειρες απλοποίησης, ανάγκη για αφινική αλλαγή μεταβλητών. | ||
| 9-4-2020 [2,33] | Videos στο elearning: Τα βήματα της μεθόδου απλοποίησης τετραγωνικής εξίσωσης, κανονικές μορφές. Πρώτο βήμα: απλοποίηση τετραγωνικού μέρους. Επισκόπηση θεωρίας ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Συμμετρικές διγραμμικές μορφές και τετραγωνικές μορφές και σχέση με συμμετρικό πίνακα. Το Φασματικό Θεώρημα. | ||
| 14-4-2020 [2,35] | Videos στο elearning: Απόδειξη Φασματικού Θεωρήματος, ορθογώνιοι πίνακες. Εφαρμογή σε απλοποίηση τετραγωνικού μέρους, παράδειγμα, χρησιμότητα κριτηρίων αναγνώρισης της απλοποιημένης μορφής. | ||
| 23-4-2020 [2,37] | Videos στο elearning: Οι εννέα κανονικές μορφές για τους γεωμετρικούς τόπους λύσεων τετραγωνικής εξίσωσης. Κριτήρια για τις πέντε μη-εκφυλισμένες μορφές. Απαλοιφή γραμμικών όρων. Απόδειξη θεωρήματος κριτηρίων, αποτελέσματα από θεωρία πινάκων για ορίζουσα block πίνακα. Ευκολία εφαρμογής κριτηρίων σε παραδείγματα. Οι εκφυλισμένες μορφές, θεώρηση τετραγωνικού τους μέρους. | ||
| 28-4-2020 [2,39] | Videos στο elearning: Αναγνώριση εκφυλισμένων μορφών. Η συνθήκη det C=0 συνεπάγεται ότι ο τετραγωνικός όρος είναι τέλειο τετράγωνο. Κριτήρια για να έχουμε παραβολή. Κωνικές τομές, πρώτη επαφή. Εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία. Μη-παράλληλες ευθείες έχουν μοναδικό σημείο τομής. Αφινικό επίπεδο στο R^3 και αντιστοίχιση σημείων του με ευθείες στον χώρο που περνούν από το 0. Το προβολικό επίπεδο ως το σύνολο των ευθειών στον χώρο και το υποσύνολο των ευθειών που δεν έχουν τομή με το αφινικό επίπεδο. | ||
| 30-4-2020 [2,41] | Videos στο elearning: Ορισμός προβολικού επιπέδου ως συνόλου κλάσεων ισοδυναμίας. Επισκόπηση ΣΙ και ΚΙ, αντιπρόσωποι. Η προβολική ευθεία. Η προβολική "ευθεία" είναι, γεωμετρικά, κύκλος! Το προβολικό "επίπεδο" είναι φραγμένο σύνολο που παίρνουμε από δίσκο με ταυτίσεις στον συνοριακό του κύκλο. Σημασία διάκρισης σημείων και ευθειών σε ΑΧ και σημείων σε ΠΧ. Γεωμετρική ερμηνεία ανάθεσης σημείου τομής παραλλήλων ευθειών στο αφινικό επίπεδο ως ευθεία/σημείο του RP^2. | Το Προβολικό Επίπεδο ως cross-cap | |
| 5-5-2020 [2,43] | Videos στο elearning: Ορισμός σημείου τομής παραλλήλων ευθειών στο προβολικό επίπεδο και γεωμετρική ερμηνεία. Ανάγκη περιορισμού σε ομογενείς συναρτήσεις για να έχουμε καλά ορισμένο σύνολο λύσεων σε προβολικό χώρο. Ομογενείς πολυωνυμικές συναρτήσεις. Γεωμετρικός τόπος συνόλου λύσεων ομογενούς εξίσωσης είναι ένωση ευθειών, δηλαδή υποσύνολο του προβολικού επιπέδου. Μορφή πολυωνυμικής τετραγωνικής εξίσωσης με συμμετρικό 3Χ3 πίνακα, που είναι ακριβώς ο επαυξημένος της αφινικής τετραγωνικής εξίσωσης! Γραμμική εξίσωση δίνει επίπεδο στον χώρο, αλλά προβολική ευθεία στο προβολικό επίπεδο. | ||
| 7-5-2020 [2,45] | Videos στο elearning: Γραμμικές εξισώσεις στο αφινικό επίπεδο και, αντίστοιχα, τομή επιπέδων στον χώρο, εξήγηση (πάλι) του ορισμού "σημείου" στο RP2 τομής παραλλήλων ευθειών, τετραγωνική εξίσωση, Φασματικό Θεώρημα δίνει απλοποιημένες μορφές. Αντιστοίχιση των 9 αφινικών κανονικών μορφών με τις πέντε μορφές. Κριτήριο αναγνώρισης, ορισμός θετικά ορισμένου πίνακα, θεώρημα Sylvester. | ||
| 12-5-2020 [2,47] | Videos στο elearning: Απόδειξη κριτηρίου Sylvester. Πρόταση για ύπαρξη αρκετών θετικών ιδιοτιμών και χρήση της για εκλέπτυνση του κριτηρίου του Sylvester. Ευκλείδειοι διανυσματικοί χώροι: Ορισμός εσωτερικού γινομένου σε ΔΧ, συνάρτηση μέτρου, καθετότητα. Παραδείγματα: το σύνηθες "βαθμωτό" γινόμενο στο R^n. | Τρίτη Εργασία (ΑΧ, ΠΧ) | |
| 14-5-2020 [2,49] | Videos στο elearning: ΕΔΧ: παραδείγματα εσωτερικών γινομένων και γεωμετρία που δίνουν. Ορθοκανονικές βάσεις, προβολή διανύσματος σε ευθεία, μέθοδος Gram-Schmidt. | ||
| 19-5-2020 [2,51] | Videos στο elearning: Προβολή και η μέθοδος Gram-Schmidt. Η ανισότητα Cauchy-Schwartz και ορισμός γωνίας. Τριγωνομετρική ανισότητα. Ορθογώνιες απεικονίσεις μεταξύ ΕΔΧ. Διατήρηση μέτρου, γωνίας. Εφόσον απεικόνιση είναι ορθογώνια, είναι και γραμμική -- απόδειξη. Πίνακας ορθογώνιας απεικόνισης. | ||
| 21-5-2020 [2,53] | Videos στο elearning: ΕΔΧ, ιδιότητες ορθογώνιων απεικονίσεων, ορθογώνιες απεικονίσεις στο επίπεδο, περιστροφές και ανακλάσεις. Μετρική και παραδείγματα, απόσταση μεταξύ σημείων σε ΑΧ και ορισμός Ευκλείδειων Αφινικών Χώρων. | ||
| 26-5-2020 [2,55] | Videos στο elearning: Ορισμός ισομετρίας Ευκλείδειου αφινικού χώρου. Κάθε ισομετρία διατηρεί ο.κ. αφινική βάση και είναι αφινική απεικόνιση, με ορθογώνιο γραμμικό μέρος. Ισομετρίες του αφινικού επιπέδου: ορισμός σταθερών σημείων και εύρεσή τους. Σχέση με τις ιδιοτιμές του πίνακα P του γραμμικού μέρους της αφινικής μορφής της y=Px+c. Πρόταση: Εάν o P δίνει περιστροφή κατά μη-μηδενική γωνία, τότε η ισομετρία είναι περιστροφή, γύρω από το μοναδικό σταθερό σημείο της. | ||
| 28-5-2020 [2,57] | Videos στο elearning: Ισομετρίες του αφινικού Ευκλείδειου επιπέδου, απόδειξη πρότασης για περιστροφές, μετατοπίσεις, διατύπωση θεωρήματος ότι υπάρχουν ακριβώς τέσσερις τύποι: μετατοπίσεις, περιστροφές, ανακλάσεις και ολισθαίνουσες ανακλάσεις. Απόδειξη ότι κάθε ισομετρία με detP=-1 δίνει είτε ανάκλαση είτε ολισθαίνουσα ανάκλαση, γεωμετρικές ερμηνείες. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ | Κεφάλαια ΑΓ | |
| 2-6-2020 [Α1] | Ζωντανό μάθημα μέσω zoom: Μάθημα ασκήσεων και αποριών, η πρώτη εργασία. | ||
| 4-6-2020 [Α2] | Ζωντανό μάθημα μέσω zoom: Μάθημα ασκήσεων και αποριών, η δεύτερη εργασία. | ||
| 9-6-2020 [A3] | Ζωντανό μάθημα μέσω zoom: Μάθημα ασκήσεων και αποριών, η τρίτη εργασία. |