Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
Μάθημα Επιλογής Z’ Εξαμήνου (final year elective course)
Ώρες διδασκαλίας: Πέμπτη 10-1 (Μ0), προσωρινά (Teaching schedule: Thursday 10-1, Room M0, may change)
Περιεχόμενο μαθήματος: Στο πρώτο μέρος του μαθήματος θα μελετήσουμε την δυναμική συμπεριφορά διακριτών δυναμικών συστημάτων, δηλαδή επαναλήψεων μιάς συνάρτησης 
- R. Devaney: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (more advanced)
- R. Devaney: A First Course in Chaotic Dynamical Systems (elementary)
- R. Holmgren: A First Course in Discrete Dynamical Systems (elementary)
- B. Hasselblatt, A. Katok: A First Course in Dynamics
- S. Sternberg: Dynamical Systems
- A. Beardon: Iteration of Rational Functions
- L. Carleson, T. Gamelin: Complex Dynamics
Ημερολόγιο
[μ,ν] ώρες διδασκαλίας, συνολικές ώρες
| Ημερομηνία, ώρες | Κάλυψη ύλης |
|---|---|
| 3/10/24 [3,3] | Εισαγωγή στα ΔΣ, ορισμός, συνεχή και διακριτά ΔΣ, μετάβαση από ΣΔΣ σε ΔΔΣ και ανάποδα. Ιστορική ανασκόπηση. Τροχιές, σταθερά σημεία, περιοδικά σημεία και περίοδος. Παραδείγματα. Γραφική μέθοδος (cobweb method), ευστάθεια, τοπικός ελκυστής από συνθήκη παραγώγου, απόδειξη. Η μέθοδος Newton-Raphson ως ΔΔΣ, αλγόριθμος για εύρεση ρίζας, υπερ-ελκυστές. |
| 10/10/24 [3,6] | Συμπεριφορά μη-υπερβολικών σταθερών σημείων (γραφικά μόνο). Υπερβολικότητα σε ΔΔΣ και σε ΣΔΣ, γραμμικοποίηση και modes, αναφορά σε δομική ευστάθεια και γενικότητα. Περιστροφές του κύκλου, προσαρμοσμένη μετρική/απόσταση σε κύκλο και σφαίρες, περιπτώσεις ρητής και άρρητης περιστροφής, πυκνότητα τροχιάς στη δεύτερη περίπτωση. Παρόμοια δυναμική για άρρητη γραμμική ροή στον τόρο, μπιλιάρδο σε κυρτό σύνολο (ελλειπτικά ΔΣ). |
| 17/10/24 [2,8] | Ανάλυση μη-υπερβολικών σταθερών σημείων. Συζυγία ΔΔΣ, ημι-συζυγία και παράγοντας. Η απεικόνιση διπλασιασμού, ημι-συζυγία με shift map, (τελικά) σταθερά σημεία και περιοδικές τροχιές. Δυαδικά αναπτύγματα, δυαδικοί ρητοί. |
| 24/10/24 [3,11] | Η απεικόνιση διπλασιασμού, ιδιότητες, περιοδικά σημεία από συζυγία, πυκνότητά τους. Η λογιστική εξίσωση ως ΔΕ (ΣΔΣ), αναλυτική μορφή ροής, ευστάθεια σημείου ισορροπίας. Η λογιστική οικογένεια σε διακριτό χρόνο, (άμεση) περιοχή έλξης, ιδιότητες, μικρές τιμές της παραμέτρου μ, 1<μ<3, ευσταθές σταθερό σημείο, Απώλεια ευστάθειας για μ>3 και δημιουργία δύο νέων σταθερών σημείων της f^2, υπολογισμός και ευστάθειά τους. Η διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου, γράφημα για την λογιστική οικογένεια. |
| 29/10/24 [3,14] | Περιγραφή αλληλουχίας διακλαδώσεων για τη λογιστική οικογένεια. Το θεώρημα του Singer, απόδειξη και χρήση του. Θεωρία διακλαδώσεων, γενικά, σύνολο σταθερών σημείων στο (x,μ) επίπεδο και η κανονική περίπτωση. Η διακλάδωση πτυχής (fold/pitchfork bifurcation), απόδειξη και περιγραφή της αλλαγής της δυναμικής. Η διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου, προκαταρκτικά, ρόλος της παραγώγου Schwarz. |