Elementary Differential Geometry | Κλασική Διαφορική Γεωμετρία Ι 2015-16

Χειμερινό εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2015-16, Τμήμα Β.

Περιεχόμενα

Ανακοινώσεις
Ημερολόγιο-σημειώσεις-ασκήσεις

Ανακοινώσεις#

Αποτελέσματα εξέτασης Σεπτεμβρίου 2016 εδώ. Αν κάποιος θέλει να δει το γραπτό του, ας μου στείλει email στις επόμενες τρεις μέρες (26/9/16).

Αποτελέσματα εξέτασης Ιουνίου 2016 εδώ.

Αποτελέσματα: οι τελικοί βαθμοί εδώ.

Τελική εξέταση της 8-2-2016: Υπενθυμίζω ότι δίνει μόνον το 60% του τελικού βαθμου για φοιτητές του Ε’ εξαμήνου (για τους παλαιότερους δίνει το 100% του βαθμού). Μόνον 23 φοιτητές έχουν δώσει τις προόδους —εδώ είναι ο βαθμός τους από τις 2 προόδους, που θα μετρήσει σε ποσοστό 40% του τελικού βαθμού (π.χ. ένα 6 δίνει 2.4 μονάδες). Όλοι οι υπόλοιποι φοιτητές του εξαμήνου έχουν χάσει αυτό το 40% και χρειάζονται τουλάχιστον 8/10 μονάδες από την τελική εξέταση για να περάσουν (με 5 ή 6!).

Ύλη μαθήματος: βρίσκεται εδώ. Το Ημερολόγιο περιέχει περισσότερες λεπτομέρειες. Βασικός οδηγός προετοιμασίας είναι οι σημειώσεις σας από το μάθημα.

2η Πρόοδος: Πέμπτη, 14 Ιανουαρίου, 9:15-10 π.μ. Καλύπτει τις επιφάνειες 😉

Το μάθημα της Δευτέρας, 14-12 αναβάλλεται και θα αναπλήρωθεί σύντομα.

Πέμπτη 3-12 δεν θα γίνει το μάθημα λόγω απεργίας ΟΑΣΘ.

3η Εργασία: αναρτήθηκε στο Ημερολόγιο Μαθήματος.

Αναπλήρωση: Θα γίνει έξτρα μάθημα αυτή την Παρασκευή, 27-11, 11-1 στην Μ0.

Δευτέρα 23-11 το μάθημα αναβάλλεται λόγω της ορκωμοσίας.

1η Πρόοδος: 23 μόνο φοιτητές ήταν παρόντες. Για τους απόντες, μέγιστος βαθμός από δω και πέρα το 8.

2η Εργασία: αναρτήθηκε στο Ημερολόγιο Μαθήματος πιο κάτω.

Ανακοίνωση 1ης Προόδου: Καλύπτει τη Θεωρία Καμπυλών.

Εξετάσεις και Πρόοδοι: θα γίνουν δύο εξετάσεις προόδου, οι οποίες θα μετρήσουν κατά 20% η κάθε μία, οπότε η Τελική Εξέταση θα μετρήσει με ποσοστό 60%. [Φοιτητές μεγαλυτέρων εξαμήνων επιλέγουν αν θέλουν να πάρουν τις προόδους ή όχι. Η προσέλευση στην πρόοδο θεωρείται θετική επιλογή. Αλλιώς, ο βαθμός τους θα δοθεί αποκλειστικά από την τελική εξέταση.]

Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο και στοιχειώδης θεωρία επιφανειών.

Διδασκαλία: Δευτέρα 10-12 πμ (Δ31), Τρίτη 12-2 μμ (Δ11) και Πέμπτη 9-10 πμ (Δ11)

top

Ημερολόγιο#

([ν,μ] σημαίνει ν ώρες, μ ώρες συνολικά)

Μάθημα	Περιεχόμενο μαθήματος	Εργασίες/Εξετάσεις
5-10-15 [2,2]	Γενικές πληροφορίες. Εισαγωγή στο αντικείμενο της Διαφορικής Γεωμετρίας: καμπύλες στο επίπεδο και χώρο και επιφάνειες στο χώρο. Έννοιες καμπυλότητας κα παραδείγματα.
6-10-15 [2,4]	Προαπαιτούμενες γνώσεις: επισκόπηση εννοιών από τη Γραμμική Άλγεβρα και τον Λογισμό.
8-10-15 [1,5]	Συνέχεια επισκόπησης Λογισμού. Θεωρήματα αντίστροφης και πεπλεγμένης συνάρτησης.	1η Εργασία
12-10-15 [2,7]	Θεωρία καμπυλών: ορισμοί και παραδείγματα. Ανοικτά και κλειστά διαστήματα για ορισμό παραμέτρησης καμπύλης, κλειστές καμπύλες. Συνάρτηση μήκους.
13-10-15 [2,9]	Φυσικά παραμέτρηση, παραδείγματα. Αναπαραμετρήσεις, αντιστροφή καμπύλης. Καμπύλες στο επίπεδο: Προσανατολισμός βάσης.
15-10-15 [1,10]	Ορισμός καθέτου n(s) στην κίνηση. Λήμμα: κίνηση στον μοναδιαίο κύκλο έχει ταχύτητα εφαπτόμενη στον κύκλο. Κινούμενη βάση (t(s),n(s)). Καμπυλότητα κ(s) και ερμηνεία.
19-10-15 [2,12]	Καμπυλότητα, αναπτύγματα Taylor για καμπύλες, επαφή καμπυλών, τετραγωνική προσέγγιση και εφαπτόμενος κύκλος.
20-10-15 [2,14]	Εξισώσεις Frenet για το κινούμενο πλαίσιο (t(s),n(s)). Γωνία περιστροφής της εφαπτομένης και καμπυλότητα, $\kappa (s) = \frac{d \theta}{ds}$ . Συνολική γωνία, κλειστές καμπύλες και Unlaufsatz (διατύπωση μόνο), παραδείγματα.
22-10-15 [1,15]	Καμπύλες στο χώρο: Ορισμός καμπυλότητας κ(s) στο χώρο –διαφορές με τον ορισμό στο επίπεδο. Παραδείγματα: έλικα και στριμμένη κυβική καμπύλη.
29-10-15 [1,16]	Γεωμετρικές συνέπειες της καμπυλότητας: μηδενική κ(s) δίνει τμήμα ευθείας, μη-μηδενική κ(s) και εφαπτόμενος κύκλος στο εφαπτόμενο επίπεδο.
2-11-15 [2,18]	Δισκάθετο διάνυσμα b(s) και τρίεδρο του Frenet. Οι εξισώσεις Frenet-Serret.
3-11-15 [2,20]	Γεωμετρική ερμηνεία και υπολογισμός της στρέψης σ(s). Παράδειγμα: η έλικα. Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων γραμμικών ΔΕ και προσδιορισμός καμπύλης από τις κ(s) και σ(s).
5-11-15 [1,21]	Υπολογισμός της καμπυλότητας και στρέψης από την αρχική (μη-φυσική) παραμέτρηση και γεωμετρικές ερμηνείες.	2η Εργασία
9-11-15 [2,23]	Τελικός ορισμός καμπύλης (με κανονικές παραμετρήσεις που την καλύπτουν). Εισαγωγή στις επιφάνειες. Συνθήκη κανονικότητας.
10-11-15 [2,25]	Παραδείγματα επιφανειών: επίπεδο, κύλινδρος, σφαίρα. Εφαπτόμενο επίπεδο επιφάνειας σε κάθε σημείο –δύο τρόποι έκφρασής του: $\mathbf{r} (u,v) + \alpha \mathbf{r}_u +\beta \mathbf{r}_v$ και $(\mathbf{r} - \mathbf{r} (u,v) ) \cdot ( \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v ) =0$ .
12-11-15 [1,26]	Παρουσίαση “Πινακοθήκης Καμπυλών”: έλικα και εφαπτόμενος κύκλος, έλκουσα και ιδιότητά της, έλλειψη και ενειλιγμένη της, καμπύλες Bézier, καμπύλη Viviani, λοξόδρομη καμπύλη στη σφαίρα.
16-11-15 [1,27]	Γεωμετρική ερμηνεία του $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ , μοναδιαίο κάθετο πεδίο n(s) και προσανατολισμός. Απεικόνιση στοιχείου εμβαδού: $du \, dv \rightarrow \| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \| du \, dv$ . Παράδειγμα της σφαίρας. Πρώτη Πρόοδος	1η Πρόοδος Λύσεις θεμάτων
19-11-15 [2,29]	[Θέματα της Προόδου — ανάγκη εντατικοποίησης της προσπάθειας.] Αλλαγή μεταβλητών. Επιφάνειες εκ περιστροφής, εισαγωγή, ορθογώνιοι πίνακες περιστροφής.
24-11-15 [2,31]	Αλλαγή μεταβλητών μεταξύ δύο παραμετρήσεων επιφάνειας. Παράδειγμα σφαίρας, βόρειο και ανατολικό ημισφαίριο. Γραφήματα είναι επιφάνειες –αντίστροφα, τοπικά, κάθε επιφάνεια έχει παραμέτρηση γραφήματος.
26-11-15 [1,32]	Επιφάνειες εκ περιστροφής –μέσω γραφήματος x=h(z) και μέσω καμπύλης x(t),z(t) με x(t)>0.
27-11-15 [2,34]	[Αναπλήρωση] Παραδείγματα επιφανειών εκ περιστροφής: κώνος, x=h(z)=(2-x)^3, τόρος, αλυσοειδής. Ελικοειδής επιφάνεια. Παρουσίαση γραφημάτων επιφανειών στον υπολογιστή.	3η Εργασία
30-11-15 [2,36]	Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή επιφάνειας: προκαταρκτικά από τη Γραμμική Άλγεβρα (εσωτερικά γινόμενα και τετραγωνικές μορφές, συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες). Ορισμός της ΠΘΜ πάνω στην επιφάνεια Σ και σε παραμέτρηση. Παράδειγμα της σφαίρας.
1-12-15 [2,38]	Παραδείγματα υπολογισμού ΠΘΜ (κύλινδρος, επίπεδο, σφαίρα). Καμπύλες σε επιφάνεια. Υπολογισμός μήκους καμπύλης. Παράδειγμα έλικας σε κύλινδρο.
7-12-15 [2,40]	ΠΘΜ: Υπολογισμός γωνίας –εφαρμογή: εύρεση λοξοδρόμων στη σφαίρα. Υπολογισμός εμβαδού τμήματος επιφανείας, παραδείγματα.
8-12-15 [2,42]	Δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Γραμμική και τετραγωνική προσέγγιση επιφάνειας. Ορισμός του πίνακα της ΔΘΜ. Αποτελέσματα Γραμμικής Άλγεβρας για συμμετρικούς πίνακες. Λήμμα για τις παραγώγους των r(u,v), n(u,v).
10-12-15 [1,43]	Απεικόνιση Gauss. Προσανατολίσιμες επιφάνειες και προσανατολισμοί. δηλ. ύπαρξη μοναδιαίου καθέτου ΔΠ n(r). Δυσκολίες στον ορισμό “παραγώγου” της n(r).
15-12-15 [2,45]	Υπολογισμός του πίνακα της παραγώγου Dn της απεικόνισης Gauss στη διαθέσιμη βάση $( \mathbf{r}_u , \mathbf{r}_v )$ . Καμπύλες τομής της επιφάνειας με κάθετα επίπεδα και καμπυλότητά τους. Σχέση με τον τελεστή σχήματος. Παράδειγμα της σφαίρας.
17-12-15 [1,46]	Επισκόπηση: καμπύλες σε επιφάνεια, η ταχύτητα εφάπτεται ενώ η επιτάχυνση γενικά όχι. Πίνακες πρώτης και δεύτερης θεμελιώδους μορφής και τελεστής σχήματος και σχέση με την κάθετη συνιστώσα επιτάχυνσης.
21-12-15 [2.48]	Κάθετη καμπυλότητα επιφάνειας. Συμμετρία του τελεστή σχήματος S. Πρωτεύουσες καμπυλότητες και τύπος του Euler. Ορισμός καμπυλότητας του Gauss και μέσης καμπυλότητας. Υπολογισμοί για σφαίρα και κύλινδρο.
22-12-15 [2,50]	Αλλαγή συντεταγμένων στην 1η και 2η Θεμελιώδη μορφή και αναλλοίωτο της καμπυλότητας Gauss. Ελλειπτικά/υπερβολικά/παραβολικά και επίπεδα σημεία, ελαχιστικές επιφάνειες. Θετική καμπυλότητα και κυρτότητα. Παραδείγματα: γραφήματα (Monge patches), ελικοειδής επιφάνεια.
11-1-16 [2,52]	Επισκόπηση εννοιών καμπυλότητας για επιφάνειες. Προτεινόμενες ασκήσεις και υποδείξεις για την επίλυσή τους.	4η Εργασία (στο μάθημα)
12-1-16 [2,54]	Ελικοειδής και αλυσοειδής επιφάνεια. Ορισμός απεικόνισης επιφανειών και ισομετρίας μεταξύ επιφανειών. Καμπυλότητα τόρου και συνολική καμπυλότητα, σε σύγκριση με τη συνολική καμπυλότητα σφαίρας –αναφορά στη χαρακτηριστική Euler.
14-1-16	Δεύτερη Πρόοδος	2η Πρόοδος
18-1-16 [2,56]	Επιτάχυνση καμπύλης σε επιφάνεια. Σύμβολα Christoffel, εξισώσεις Gauss και Weingarten. Τα σύμβολα Christoffel είναι συναρτήσεις των στοιχείων της ΠΘΜ και των παραγώγων τους.
19-1-16 [2,58]	Συνθήκες συμβατότητας, εξισώσεις Gauss και Codazzi-Mainardi, απόδειξη του Theorema Egregium και σημασία του (εσωτερική γεωμετρία και παραδείγματα). Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας επιφανειών. ΤΕΛΟΣ!