Εαρινό εξάμηνο 2020-2021, Μεταπτυχιακό Μάθημα
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις #
Ώρες διδασκαλίας (εξ αποστάσεως):
Το μάθημα διδάσκεται Δευτέρα 10:15-11:30 και Τρίτη 11:15-12:30 .
Υπάρχει ιστοσελίδα του μαθήματος και στο e-learning, όπου εμφανίζεται και ο σύνδεσμος για τις τηλεδιασκέψεις.
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με εργασίες και μία τελική εξέταση.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, χώροι κάλυψης, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο, αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, May, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων. Στα μεταπτυχιακά συγγράμματα στην βιβλιοθήκη υπάρχουν αντίτυπα των βιβλίων των Rotman, Bredon και tom Dieck. Ελεύθερα διαθέσιμα είναι τα βιβλία των Hatcher και J.P. May.
Ημερολόγιο, Εργασίες#
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ | ΕΡΓΑΣΙΕΣ |
|---|---|---|---|
| 16/2 [1,1] | Εισαγωγή. Στοιχεία της ιστορίας της ΑΤ, η χαρακτηριστική του Euler για επιφάνειες. Jordan, Betti και ο Poincaré ως θεμελιωτής της ΑΤ. | ||
| 22-23/2 [2,3] | Η μέθοδος της ΑΤ. Η γλώσσα των Κατηγοριών και Συναρτητών. Ομοτοπικές απεικονίσεις. Ομοτοπία και σφαίρες, ύπαρξη παντού μη-μηδενικού διανυσματικού πεδίου. | ||
| 1-2/3 [2,5] | Ομοτοπική ισοδυναμία. Συσταλτοί χώροι, συμπτύξεις και παραμορφωτικές συμπτύξεις, αναφορά στην simple homotopy theory. Δρομο-ομοτοπία, το Θεμελιώδες Ομαδοειδές και ορισμός της Θεμελιώδους Ομάδας. | ||
| 8-9/3 [2,7] | Εξάρτηση από το σημείο βάσης της π_1. Ο συναρτητής π_1, ομοιόμορφοι χώροι έχουν ισόμορφες ΘΟ. Εισαγωγή στους χώρους κάλυψης. Τα προβλήματα επέκτασης και ανύψωσης στην Τοπολογία. Ιδιότητα ανύψωσης δρόμων και ομοτοπιών για ΧΚ. Απόδειξη, ο αριθμός Lebesgue. | ||
| 22-23/3 [2,9] | Η Θ.Ο. του κύκλου είναι η π1(S1)=Z, ολοκλήρωση απόδειξης. Εφαρμογές: το θεώρημα του Brouwer ύπαρξης σταθερού σημείου για συνεχή απεικόνιση του κλειστού δίσκου στον εαυτό του. Το θεώρημα των Borsuk-Ulam σε δύο διαστάσεις. | ||
| 29-30/3 [2,11] | ΘΟ Καρτεσιανού γινομένου ΤΧ. ΘΟ σφαιρών σε διάσταση μεγαλύτερη του δύο. Ομοτοπικές απεικονίσεις και ΘΟ. Στοιχεία θεωρίας ομάδων για εφαρμογή στο θεώρημα των Seifert-van Kampen. Ευθύ γινόμενο, κατηγορικοί ορισμοί γινομένου, παραδείγματα. | ||
| 5-6/4 [2,13] | Coproduct, ελεύθερο γινόμενο ομάδων, ελεύθερη ομάδα, παραδείγματα. Παρουσίαση ομάδας μέσω γεννητόρων και σχετιστών. To θεώρημα των Seifert-van Kampen, διατύπωση, ειδικές περιπτώσεις, παραδείγματα (S1vS1, συμπαγείς κλειστές επιφάνειες.) | ||
| 12-13/4 [2,15] | Εφαρμογή του θεωρήματος των Seifert-van Kampen: θεμελιώδης ομάδα κόμβου ή συνδέσμου. Τα unknot και unlink. Τορικοί κόμβοι, Heegard decomposition της σφαίρας. Θεμελιώδης ομάδα γενικού κόμβου, διάγραμμα κόμβου, παράσταση του Wirtinger. Απόδειξη θεωρήματος των Seifert-van Kampen, προετοιμασία, πρώτα βήματα. | ||
| 19-20/4 [2,17] | Απόδειξη θεωρήματος των Seifert-van Kampen. Χώροι κάλυψης, εισαγωγή, τοπικά τετριμμένη ινώδης δέσμη (ίνωμα), ανυψώσεις δρόμων και ομοτοπιών, λήμμα μονοδρομίας, παραδείγματα. | ||
| 10-11/5 [2,19] | Χώροι κάλυψης, χαρακτηριστική ομάδα, κριτήριο ανύψωσης. Ισόμορφοι ΧΚ. Ύπαρξη ΧΚ για κάθε υπο-ομάδα της ΘΟ, βήματα της απόδειξης. | ||
| 17-18/5 [2,21] | Ολοκλήρωση της απόδειξης ύπαρξης ΧΚ με ομάδα G. Θεωρία ομολογίας, εισαγωγικά, ομάδες ομοτοπίας δύσκολο να υπολογιστούν, η ιδέα της ομολογίας. Στοιχεία αφινικής και κυρτής γεωμετρίας, k-simplices, σύνορα, αλυσίδες, ορισμός του singular chain complex. | ||
| 24-25/5 [2,23] | Κατηγορία Chain complexes, ένα chain map δίνει ομομορφισμούς σε ομολογία. Ομολογία μονοσημειακού χώρου, μηδενική ομολογία δρομο-συνεκτικού χώρου. Ομολογία κυρτού υποσυνόλου ΕΑΧ. Ορισμός chain homotopy. | ||
| 31/5,1/6 [2,25] | Chain homotopy και το Ιδιάζον Αλυσιδωτό Σύμπλοκο. Ομοτοπικές απεικονίσεις δίνουν ίδιους ομομορφισμούς σε ομολογία, επισκόπηση αποδείξεων. Συμπτύξεις και παραμορφωτικές συμπτύξεις και ομολογία. | ||
| 7-8/6 [2,27] (13,5 εβδομάδες) | Ακριβείς ακολουθίες, απλές περιπτώσεις. Ακριβείς ακολουθίες αλυσιδωτών συμπλόκων, μακρά ακριβής ακολουθία, ορισμός συνδετικού ομομορφισμού. Το snake lemma, απόδειξη. |