Τετάρτη 9:15-10:30 (Αίθουσα Μ1), Πέμπτη 12-1:30 (Αίθουσα Μ1)
Παρουσίαση στοιχείων της θεωρίας μη-γραμμικών συστημάτων ελέγχου από γεωμετρική σκοπιά. Τα μαθηματικά εργαλεία, από τη Διαφορική Γεωμετρία και τα Δυναμικά Συστήματα, δεν θεωρούνται γνωστά και θα μας απασχολήσουν πρώτα. Έμφαση θα δοθεί και στη θεωρία ευστάθειας, με τοπική αλλά και ολική χρήση συναρτήσεων Lyapunov.
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ |
| 9-10-2015 | Εισαγωγή, ιστορική ανασκόπηση. Τα περισσότερα συστήματα είναι μη-γραμμικά. Κανονική μορφή ΔΕ. | |
| 15-10-2015 | Ορισμός κανονικού συστήματος dx/dt =f(x), ερμηνεία ως διανυσματικό πεδίο, λύσεις συστήματος ΔΕ. Σημεία ισορροπίας και γραμμικοποίηση. Το παράδειγμα του εκκρεμούς. | |
| 16-10-2015 | Γραμμικοποίηση, γραμμικά συστήματα, χρήση του exp(At) για τις λύσεις, ιδιοτιμές και modes, 2η μέθοδος εύρεσης λύσεων. Σάγματα και κέντρα για το εκκρεμές. | |
| 21-10-2015 | Γραμμικά συστήματα: ταξινόμηση σε δύο διαστάσεις (κόμβοι, εστίες, σάγματα), γενικότητα και μικρές διαταραχές. | |
| 22-10-2015 | Μορφή Jordan, υπολογισμός της exp(Jt), συνθήκη AB=BA και μηδενοδύναμοι (nilpotent) πίνακες. Ιδιοχώροι και αναλλοίωτοι χώροι (ευσταθής, ασταθής, κεντρικός). | |
| 29-10-2015 | Μη-εκφυλισμένα και υπερβολικά σημεία ισορροπίας. Ορισμοί τοπολογιών στο χώρο ΔΠ. Ορισμός ροής ενός ΔΠ και ιδιότητες. | |
| 4-11-2015 | Τροχιές, οριακά σημεία και σύνολα. Παραδείγματα. Ορισμός ισοδυναμίας συστημάτων (ΤΤΙ). Δομική ευστάθεια. | |
| 5-11-2015 | Θεώρημα Hartman-Grobman. Ευσταθής και ασταθής πολλαπλότητα (τοπικά πρώτα, επέκταση σε ολικά). Ορισμός διαφορίσιμης πολλαπλότητας. | |
| 11-11-2015 | Παραδείγματα: προβολικοί χώροι. Εφαπτόμενος χώρος και εφαπτόμενη δέσμη επιφάνειας και πολλαπλότητας. Διανυσματικά πεδία. | |
| 12-11-2015 | Διανυσματικά πεδία σε πολλαπλότητες και παραδείγματα. Θεώρημα εμβύθισης του Whitney. | |
| 18-11-2015 | ΔΠ ως τελεστές παραγώγισης 1ης τάξης. Παραγώγιση Lie συναρτήσεων και ΔΠ. Η αγκύλη του Lie και υπολογισμός για γραμμικά ΔΠ. Γεωμετρική ερμηνεία. | |
| 19-11-2015 | Ιδιότητες της αγκύλης Lie και δομή άλγεβρας Lie στο ΔΧ των ΔΠ. Παράδειγμα υπολογισμού αντιμεταθέτη (commutator) γραμμικών ροών και σχέση με την αγκύλη. | |
| 25-11-2015 | Υπο-πολλαπλότητες. Κανονικά και κρίσιμα σημεία και κρίσιμες και κανονικές τιμές. Θεώρημα των Sard-Brown. Θεώρημα κανονικής τιμής. Υπο-δέσμη (ή κατανομή) της εφαπτομένης δέσμης. Διανυσματικές δέσμες. Παράδειγμα Mobius. | |
| 26-11-2015 | Ορισμοί συστημάτων ελέγχου αυξανόμενης γενικότητας: γραμμικά, αφινικά στο έλεγχο και γενικά ΣΕ στο R^n και ΣΕ σε πολλαπλότητες. Το πρόβλημα του παρκαρίσματος –και η λύση του. | |
| 2-12-2015 | Υπο-άλγεβρα Lie που παράγεται από οικογένεια ΔΠ (controllability Lie algebra). Ενειλιγμένη και ολοκληρώσιμη κατανομή. Πλήρης ολοκληρωσιμότητα και θεώρημα του Frobenius. Απόδειξη του εύκολου μέρους του θεωρήματος. | |
| 3-12-2015 | Θεώρημα του Frobenius: Απόδειξη. | |
| 9-12-2015 | Γενικευμένη έννοια κατανομής μη-σταθερού βαθμού. Παράδειγμα στο χώρο με ιδιάζουσα φύλλωση (ημι-κύλινδροι, ημιάξονες z, κύκλοι και σημείο.) | |
| 10-12-2015 | Οι έννοιες της Ιδιάζουσας φύλλωσης και στρωμάτωσης, στρωμάτωση με ισοσταθμικά σύνολα τυχαίας συνάρτησης. Το θεώρημα των Sussmann και Sontag. | |
| 16-12-2015 | Λόγοι που οι αγκύλες Lie έχουν περιορισμένη χρησιμότητα στη θεωρία ελέγχου. Παράδειγμα στο επίπεδο με ένα φύλλο. Διαφορά αναλυτικών και λείων συναρτήσεων, διαμερισμοί της μονάδας και εφαρμογές. Αναλλοίωτες συναρτήσεις για συλλογή ΔΠ και επομένως για την άλγεβρα Lie που παράγουν. | |
| 17-12-2015 | Μελέτη ΔΠ, σημεία ισορροπίας και ευστάθεια. Χαμιλτονιανά συστήματα, ειδικά στο επίπεδο. | |
| 13-1-2016 | Θεωρία ευστάθειας Lyapunov: Ορισμοί, ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Εκφυλισμένα ΣΙ και ελλειπτικοί/υπερβολικοί/παραβολικοί τομείς. Το θεώρημα ευστάθειας του Lyapunov. | |
| 14-1-2016 | Θεώρημα ευστάθειας και θεώρημα ασυμπτωτικής ευστάθειας και στοιχεία αποδείξεών τους. Το εκκρεμές χωρίς και με τριβές ως παράδειγμα. | |
| 20-1-2016 | Θεωρία Lyapunov, χρησιμότητα και παραδείγματα. Περιοχή έλξης ασυμπτωτικού ΣΙ και ιδιότητες, εκκρεμές με τριβές, στερεό σώμα και εξισώσεις Euler –ευστάθεια μέσω συναρτήσεων Lyapunov. | Εργασία |