Geometric Control Theory | Γεωμετρική Θεωρία Ελέγχου 2016-17

Η δεύτερη εργασία εδώ.

Τετάρτη 9:15-10:30 (Αίθουσα Μ3), Πέμπτη 12-1:30 (Αίθουσα Μ3)

Παρουσίαση στοιχείων της θεωρίας μη-γραμμικών συστημάτων ελέγχου από γεωμετρική σκοπιά. Τα μαθηματικά εργαλεία, από τη Διαφορική Γεωμετρία και τα Δυναμικά Συστήματα, δεν θεωρούνται γνωστά και θα μας απασχολήσουν πρώτα. Έμφαση θα δοθεί και στη θεωρία ευστάθειας, με τοπική αλλά και ολική χρήση συναρτήσεων Lyapunov.

Ημερομηνία Κάλυψη Ύλης Αρχεία
5-10-2016 Εισαγωγή στη ΓΘΕ. Περιορισμοί της γραμμικής ΘΕ. Χώροι κατάστασης είναι πολλαπλότητες, η δυναμική δεν μπορεί να είναι ολικά γραμμική. Το εκκρεμές.
 6-10-2016 Διαφορίσιμες πολλαπλότητες, ορισμός και παραδείγματα (σφαίρες, γραφήματα, προβολικοί χώροι).
 12-10-2016  Παραδείγματα (συνέχεια): γινόμενο πολλαπλοτήτων, τόρος. Ck συναρτήσεις σε πολλαπλότητα, απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων. Ορισμοί εφαπτόμενου διανύσματος.
13-10-2016 Παράγωγος Df και γραμμικοποίηση στο Rn. Η εφ. δέσμη T Rn = Rn X Rn. Παράγωγος κατά κατεύθυνση και ορισμός εφ. χώρου σε σημείο πολλαπλότητας. Ιδιότητες και εφ. δέσμη. Παραδείγματα.
 19-10-2016 Διανυσματικά πεδία στο Rn  και σε πολλαπλότητες. Ορισμός και ιδιότητες (τοπικής) ροής.
20-10-2016 Γραμμικά διανυσματικά πεδία στο Rn . Εκθετική συνάρτηση πίνακα και τρόποι υπολογισμού της. Παραδείγματα μορφών Jordan, εισαγωγή στα πορτρέτα κίνησης (μέσω παραδείγματος).  [26, 27-10 δεν έγιναν μαθήματα.]
2-11-2016 Διανυσματικά πεδία σε πολλαπλότητα ως διαφορικοί τελεστές. Η αγκύλη Lie δύο ΔΠ. Η άλγεβρα Lie των ΔΠ. Η αγκύλη για γραμμικά ΔΠ. Σχέση με τις ροές των ΔΠ.
3-11-2016 Αγκύλη και εναλλαγή ροών, σχέση με προβλήματα ελέγχου. Ορισμός συστήματος ελέγχου,  άλγεβρας Lie ελέγχου και κατανομών. Ενειλιγμένες και ολοκληρώσιμες κατανομές, διατύπωση θεωρήματος Frobenius.
 9-11-2016 Τοπικές βάσεις κατανομής. Θεώρημα Frobenius και απόδειξή του.
 10-11-2016
23-11-2016 [Το μάθημα της 16-11 αναβλήθηκε.] Σύνοψη της προσέγγισης των ΣΕ μέσω αλγεβρών Lie ΔΠ. Υποθέσεις για εφαρμογή του  θεωρήματος Frobenius. Η φύλλωση Reeb, ολική γεωμετρία φυλλώσεων. Γενίκευση για μη-σταθερό  rank: το θεώρημα των Sussmann-Stefan. Ιδιάζουσες φυλλώσεις. Drift-free ΣΕ.
24-11-2016 Το ΣΕ του παράλληλου παρκαρίσματος είναι drift-free και πλήρως ελέγξιμο. Ορισμός παραγώγου Lie, υπολογισμός για γραμμικά ΔΠ και ισότητα με την αγκύλη Lie. Γενίκευση: παράγωγος  Lie συνάρτησης και διαφορικών μορφών.
30-11-2016 Υποπολλαπλότητες. Κανονικά και κρίσιμα σημεία. Κρίσιμες τιμές, θεώρημα των Sard-Brown. Επισκόπηση Λογισμού: θεωρήματα αντίστροφης και πεπλεγμένης συνάρτησης.
1-2-2016 Θεώρημα Sard-Brown  και θεώρημα κανονικής τιμής. Φυλλώσεις με σύνολα f-1(a), με α κανονική. Whitney: “Κάθε κλειστό σύνολο μπορεί να είναι f-1(a)”. Συναρτήσεις Morse, Λήμμα Morse και μορφές για n=1,2. Σε κάθε πολλαπλότητα υπάρχουν συναρτήσεις Morse.
 7-12-2016 Θέματα για 1η Εργασία. Συναρτήσεις Morse, μετρικές Riemann σε πολλαπλότητα, ΔΠ κλίσης, θετικά ορισμένοι πίνακες και εσωτερικά γινόμενα.
 8-12-2016 Πεδία κλίσης και ιδιότητές τους. Δυναμικά συστήματα: Μη-εκφυλισμένα σημεία ισορροπίας είναι μεμονωμένα. Οριακά σημεία.
14-12-2016 Δυναμικά Συστήματα και Ευστάθεια: ορισμός ευστάθειας και ασυμπτ. ευστ., παραδείγματα: γραμμικά ΔΣ στο R2  και γενικά σε Rn.  Προβλήματα πραγματικών κανονικών μορφών πινάκων.
15-12-2016 Αναλλοίωτοι υποχώροι για γραμμικά ΔΣ (ευσταθής/ασταθής και ουδέτερος). Δομική ευστάθεια: γενικά, δυσκολίες ορισμού ισοδυναμίας ΔΣ, με παραδείγματα. Ορισμός τοπολογικής τροχιακής ισοδυναμίας και διατύπωση του θεωρήματος των Hartman-Grobman.
21-12-2016 Ταξινόμηση ΔΣ μέσω ΤΤΙ, υπερβολικά γραμμικά ΔΣ μέσω της διάστασης του ασταθούς υποχώρου. Το θεώρημα Hartman-Grobman δεν ισχύει για μη-υπερβολικά ΣΙ: κέντρο στο επίπεδο και μη-γραμμικές διαταραχές, ΔΣ σε πολικές συντεταγμένες. ΔΣ στον κύκλο.
22-12-2016  Τοπολογίες σε χώρους συναρτήσεων και χώρους ΔΠ. Ορισμός δομικής ευστάθειας, παραδείγματα δομικά ασταθών ΔΣ. Εγκαρσιότητα και θεώρημα Thom.
18-1-2017 Εγκαρσιότητα: ορισμός δεσμών πιδάκων (jet bundles) και παραδείγματα. Το θεώρημα εγκαρσιότητας για πίδακες του Thom. Εφαρμογές: θεωρήματα Whitney και ύπαρξη συναρτήσεων Morse (διατύπωση μόνο).
19-1-2017  Στρωμάτωση της δέσμης πιδάκων με τα σύνολα Sr. Σύνολα πινάκων σταθερού βαθμού. Απόδειξη του θεωρήματος του Whitney για τις εμβυθίσεις.
25-1-2017  Συναρτήσεις Morse είναι άφθονες, από το θεώρημα εγκαρσιότητας, και για υποπολλαπλότητες του RN (γενικές συναρτήσεις ύψους, απόστασης). Θεωρία Morse: θεώρημα μη-κρίσιμου λαιμού, προσθήκη k-χερουλιού για κρίσιμο σημείο δείκτη k.
26-1-2017 Σύνοψη Θεωρίας Morse. Θεώρημα ύπαρξης ευσταθούς και ασταθούς πολλαπλότητας για υπερβολικό ΣΙ. Απεικόνιση Poincaré και διακριτά ΔΣ, υπερβολικότητα, οριακοί κύκλοι. Ορισμός non-wandering set, Morse-Smale ΔΣ και θεώρημα Peixoto.
 1-2-2017  Chain-recurrent set και διαφορές με το non-wandering set. Θεώρημα Conley. Συναρτήσεις Lyapunov στη θεωρία ΔΣ και στη θεωρία Ευστάθειας και ΣΕ. Θεώρημα Lyapunov.
 2-2-2017  Απόδειξη θεωρ. Lyapunov. Χαμιλτονιανά ΔΠ και σύγκριση με ΔΠ κλίσης, το εκκρεμές χωρίς και με τριβές.
8-2-2017  Το εκκρεμές με απόσβεση. Ασυμπτωτική ευστάθεια από συναρτήσεις Lyapunov και η αρχή του LaSalle. Περιοχή έλξης.
9-2-2017 Ελεγχόμενη δυναμική, εισαγωγή: αφινική δέσμη, ιδιάζον σύνολο, εγκάρσιες πολλαπλότητες και δυναμική πάνω τους. Ανάλυση γραμμικού ΣΕ. Σχέση με άλλες μεθόδους. [ΤΕΛΟΣ]
Scroll to Top