Κλασική Διαφορική Γεωμετρία Ι | Elementary Differential Geometry 2017-18

Χειμερινό εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-18, Τμήμα Β.

Ώρες Γραφείου: Πέμπτη 11-1

Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις#

Επαναληπτική εξέταση Σεπτεμβρίου: τα αποτελέσματα εδώ

Ανακοίνωση: Τα αποτελέσματα της επί πτυχίω εξέτασης Ιουνίου 2018 εδώ.

Ανακοίνωση: Τα αποτελέσματα της εξεταστικής της 5-2 εδώ. Παρατηρήστε ότι δύο από τα θέματα ήταν ακριβώς από τις εργασίες που σας έδωσα να δουλέψετε! (Η άσκηση 13 της 1ης και η άσκηση 3 της 2ης εργασίας.)

Θέματα εξετάσεων με λύσεις: όπως είχα υποσχεθεί, αναρτήθηκαν θέματα της εξέτασης Σεπτεμβρίου 2017, μαζί με τις λύσεις τους. Στις λύσεις φαίνονται και οι μονάδες που δόθηκαν για το κάθε υπο-θέμα.

Πέμπτη 14 Δεκ.: Κάναμε μάθημα επισκόπησης των βασικών εννοιών και μεθόδων για την θεωρία καμπυλών στο επίπεδο –και τον χώρο. Καθώς, λόγω της απεργίας των ΜΜΜ, κάποιοι ίσως δεν μπόρεσαν να  προσέλθουν, θα βρείτε αναρτημένες φωτογραφίες του πίνακα (εδώ, εδώ κι εδώ) με όλα αυτά που γράψαμε.

Αναπληρώσεις– έξτρα μαθήματα: Θα γίνουν δύο επιπλέον μαθήματα: Τετάρτη 20 Δεκ. και Τετάρτη 10 Ιαν., και τα δύο στις 10π.μ. στην αίθουσα Δ11.

[11-12-2017] Καθώς πλησιάζουμε το τέλος των παραδόσεων, θα ήθελα να σας επιστήσω την προσοχή στο γεγονός ότι σ’αυτό το τελευταίο μέρος μελετούμε το πιό δύσκολο και βαθύ μέρος της ΚΔΓ Ι –την καμπυλότητα επιφανειών. Χρειάζεται επομένως ιδιαίτερη προσπάθεια για να κατανοηθεί σωστά, συνεχή παρακολούθηση, και βασίζεται στα περισσότερα από αυτά που έχουμε καλύψει έως τώρα. Εάν έχετε “τηρήσει του όρους της συμφωνίας μας” (με τακτική μελέτη από μέρους σας και προσπάθεια από μέρους μου να εξηγήσω και να αναλύσω γεωμετρικά όλες τις έννοιες όσο καλύτερα μπορώ), τότε θα σας είναι σχετικά εύκολο να ολοκληρώσετε επιτυχώς την αφομοίωση αυτού του πολύ ενδιαφέροντος αντικειμένου των Μαθηματικών.

Τρίεδρο Frenet για την έλικα: κίνηση των τριών ο.κ. διανυσμάτων t(s), n(s) και b(s) πάνω στην έλικα, και παράλληλα πάνω στην μοναδιαία σφαίρα (βίντεο του Βασίλη Παπαγεωργίου στην Geogebra).

Πρώτη Εργασία: είναι εδώ. Ίσως υπάρξουν προσθήκες στις επόμενες μέρες.

Αναπληρώσεις: Καθώς έχουμε χάσει κάποιες ώρες, και καθώς την Πέμπτη 16-11 θα λείπω, θα οργανωθούν αναπληρώσεις από το Τμήμα. Θα ενημερωθείτε σύντομα για μέρες και αίθουσες.

Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.

Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές από έναν συνάδελφο.

Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).

Διδασκαλία: Δευτέρα 11-1 (Δ21), Τρίτη 12-2 μμ (Δ11) και Πέμπτη 10-11 πμ (Δ21)

top

Ημερολόγιο#

([ν,μ] σημαίνει ν ώρες, μ ώρες συνολικά)

 Μάθημα/Ώρες  Κάλυψη ύλης
 Αρχεία, Links
Εργασίες
 2-10-2017 [2,2] Εισαγωγικά. Καμπύλες και επιφάνειες ως υποσύνολα του R3 με διάσταση 1 ή 2. Διαισθητική ανάπτυξη των εννοιών “γεωμετρίας” καμπυλών (καμπυλότητα και στρέψη) και επιφανειών (καμπυλότητα Gauss). Παράδειγμα: ο τόρος.
 3-10-2017 [2,4] Επισκόπηση γνώσεων Γραμμικής Άλγεβρας. ΔΧ, βάσεις, εσωτερικά γινόμενα, παράδειγμα μη-κανονικού ΕΓ.
 5-10-2017 [1,5] Ορθοκανονικές βάσεις Ευκλείδειου ΔΧ, προβολή διανύσματος σε υποχώρο, διαδικασία Gram-Schmidt, παράδειγμα.  Συμβουλές για αποτελεσματική μελέτη
 9-10-2017 [2,7] Θετικά ορισμένοι πίνακες και ΕΓ, Φασματικό θεώρημα, παραδείγματα. Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης και αλλαγή μεταβλητών. Γραμμικές αλλαγές μεταβλητών.
10-10-2017 [2,9] Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης, παραδείγματα και χρήση. Αναπτύγματα Taylor, γραμμικές και τετραγωνικές προσεγγίσεις. Καμπύλες στον χώρο, αρχή ορισμού και παραδείγματα Δόθηκαν προτάσεις για ασκήσεις κλπ σχετικές με τις προαπαιτούμενες γνώσεις
12-10-2017 [1,10] Ορισμός (κανονικής) παραμέτρησης καμπύλης και παραδείγματα.
 16-10-2017 [2,12] Παραδ. (συν.): παραμορφωμένη κυβική, καμπύλες C1 αλλά όχι C2 .  Ανάπτυγμα Taylor καμπύλης και προσεγγίσεις, εφαπτόμενη ευθεία σε σημείο. Αναπαραμετρήσεις και παραδείγματα.  Twisted cubic curve
17-10-2017 [2,14] Φυσική παραμέτρηση καμπύλης, συνάρτηση μήκους, παραδείγματα. Πρόταση: για καμπύλη με μοναδιαίο μέτρο ταχύτητας, η επιτάχυνση είναι παντού κάθετη στην ταχύτητα. Καμπύλες στο επίπεδο: ορισμός μοναδιαίου καθέτου διανυσματικού πεδίου και ορισμός καμπυλότητας.
19-10-2017 Το μάθημα δεν έγινε λόγω κατάληψης. Θα αναπληρωθεί αργότερα.
23-10-2017 [2,16] Περιστροφές και υπολογισμός του καθέτου n(s). Επαφή τάξης k μεταξύ καμπυλών σε σημείο. Προσεγγιστική παραβολή και κύκλος.
24-10-2017 [2,18] Πρoσεγγιστική (ή εφαπτόμενη ή εγγύτατη) παραβολή και κύκλος. Υπολογισμός ο.κ. βάσης (t,n) και καμπυλότητας κ από μη-φυσική παραμέτρηση, παραδείγματα.
 30-10-2017 [2,20]  Καμπύλες και συνάρτηση καμπυλότητάς τους. Αντίστροφα: δίνεται η κ(s) και θέλουμε να βρούμε καμπύλη. Ορισμός συνολικής μεταβολής γωνίας, προεργασία, δυσκολίες, τελικός ορισμός. Εφαρμογή για μεταβολή γωνίας εφαπτόμενου πεδίου καμπύλης, το Umlaufsatz.
31-10-2017 [2,22] Εμβυθισμένες καμπύλες και παραδείγματα. Καμπύλες στον χώρο: ορισμός καμπυλότητας και κάθετου μοναδιαίου n(s). Προσεγγίσεις.
 2-11-2017 [1,23] Προσεγγιστική παραβολή και κύκλος στο εφαπτόμενο (εγγύτατο) επίπεδο, εξισώσεις σε τοπικές αφινικές συντεταγμένες. Ανάγκη μέτρησης της απόκλισης καμπύλης από το εφαπτ. επίπεδο σε σημείο.  Εφαπτόμενο επίπεδο έλικας
 6-11-2017 [2,25] Δισκάθετο διάνυσμα και τρίεδρο Frenet. Οι εξισώσεις Frenet-Serret και ορισμός στρέψης.
 7-11-2017 [2,27]  Μοναδικότητα λύσεων των εξισώσεων F-S, με προσέγγιση Ευκλ. ισομετρίας. Στρέψη και μη-επίπεδες καμπύλες. Παράδειγμα: καμπύλες με σταθερή κ και σ είναι έλικες. Υπολογισμός στρέψης, δύο μορφές.
 9-11-2017 Δεν έγιναν μαθήματα λόγω διακοπής ρεύματος. Εργασία 1η
 13-11-2017 [2,29]  Υπολογισμός συναρτήσεων καμπυλότητας και στρέψης από μη-φυσική παραμέτρηση. Υπολογισμός τριέδρου Frenet με δύο τρόπους.
14-11-2017 [2,31] Τελικός ορισμός καμπύλης στον χώρο. Επιφάνειες: εισαγωγή, συνθήκη κανονικότητας, παραδείγματα.
16-11-2017 Δεν έγινε. Θα αναπληρωθεί εν καιρώ.
20-11-2017 [2,33] Παραδείγματα-συνέχεια, η σφαίρα. Μοναδιαίο κάθετο ΔΠ. Εφαπτόμενο επίπεδο και εφαπτ. χώρος, γραμμική προσέγγιση.
21-11-2017 [2,35] Γραμμική προσέγγιση και παράγωγος. Απεικόνιση στοιχείου εμβαδού και  || \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v || . Υπολογισμός εμβαδού (τμήματος) επιφάνειας. Προσανατολισμοί και κάλυψη επιφάνειας από πάνω από μία παραμέτρηση.
23-11-2017 [1,36] Είδαμε ασκήσεις από την πρώτη εργασία.
27-11-2017 [2,39] Επιφάνεις γραφήματα. Σχέση με μη-μηδενική κλίση συνάρτησης τριών μεταβλητών. Επιφάνειες εκ περιστροφής: πίνακες περιστροφής. Τρίεδρο Frenet έλικας
 28-11-2017 [2,41] Επιφάνειες εκ περιστροφής:  παραδείγματα (αλυσοειδής, τόρος). Ελικοειδής επιφάνεια.  Γεωμετρική ανάλυση επιφανειών: εφαπτόμενα διανύσματα και μεταφορά συνήθους εσωτερικού γινομένου στο R3 στον χώρο παραμέτρων.
 30-11-2017 [1,42]  Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή: ορισμός ως 2Χ2 συμμετρικός, θετικά ορισμένος πίνακας Q(u,v). Παράδειγμα σφαίρας.  Παράδειγμα καμπύλης Bézier
4-12-2017 [2,44]  ΠΘΜ: παραδείγματα (αφινικό επίπεδο, κύλινδρος) και χρησιμότητα –υπολογισμός μήκους καμπύλης σε επιφάνεια. Παράδειγμα: λοξοδρομία Λοξοδρομία στην σφαίρα
5-12-2017 [2,46]  ΠΘΜ και υπολογισμός εμβαδού. Λήμμα:  \det Q = || \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v ||^2. Ορισμός και ερμηνεία της Δεύτερης Θεμελιώδους Μορφής.
7-12-2017 [1,47] Γραφήματα και ΔΘΜ P(u,v). Φασματικό θεώρημα και ταξινόμηση κρίσιμων σημείων και επομένως γραφημάτων, τοπικά.
11-12-2017 [2,49] Βάση ( \mathbf{r}_u , \mathbf{r}_v, \mathbf{n} ) σε κάθε σημείο επιφάνειας. Εναλλακτική μορφή ΔΘΜ, \mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v, αν μηδενίζονται έχουμε επίπεδη επιφάνεια. Απεικόνιση Gauss, προεργασία για παράγωγο ως γραμμική απεικόνιση.
12-12-2017 [2,51] Εικόνα της απεικόνισης Gauss, παραδείγματα. Η παράγωγος ως γραμμική απεικόνιση από τον εφαπτ. χώρο T_{\mathbf{r}_0} \Sigma στον εαυτό του. Υπολογισμός του πίνακά της ως προς τη βάση ( \mathbf{r}_u , \mathbf{r}_v ): είναι ο - Q^{-1} (u,v) P (u,v).
14-12-2017 [1,52]  Μάθημα επισκόπησης: θεωρία καμπυλών (στο επίπεδο κυρίως). Πίνακας 1, 2, 3
18-12-2017 [2,54] Μελέτη καμπυλότητας επιφάνειας μέσω καμπυλών πάνω της, κάθετη καμπυλότητα κn . Θεώρημα Meusnier. Τελεστής σχήματος S=Q^{-1} P. Απόδειξη ότι είναι συμμετρικός.
19-12-2017 [2,56]  Κάθετη καμπυλότητα είναι η καμπυλότητα καμπύλης τομής με κάθετο επίπεδο. Πρωτεύουσες καμπυλότητες και κατευθύνσεις. Παραδείγματα.  Καμπύλες σε σάγμα  Εργασία 2η
20-12-2017 [1,57] Η συνάρτηση κn (θ) με θ την γωνία ως προς την ο.κ. βάση e1, e2. Ο τύπος του Euler. Ασυμπτωτικές κατευθύνσεις. (Έξτρα μάθημα)
21-12-2017 [1,58]  Μάθημα ασκήσεων. Είδαμε κάποια θέματα εξετάσεων.  Θέματα Σεπτ. 2017 με Λύσεις
8-1-2018 [2,60] Τρεις προσεγγίσεις στην καμπυλότητα επιφανειών και σχέσεις μεταξύ τους. K= \kappa_1 \kappa_2 = \frac{\det P}{\det Q}, H=\frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}. Ελλειπτικά, υπερβολικά, παραβολικά, επίπεδα και ομφαλικά σημεία, παραδείγματα.
9-1-2018 [2,62] Παραδείγματα (αλυσοειδής επιφάνεια, monkey saddle). Αλλαγή παραμέτρησης και πώς αλλάζει τα γεωμετρικά αντικείμενα (εφ. και κάθετα πεδία, ΠΘΜ, ΔΘΜ), η καμπυλότητα Gauss παραμένει αναλλοίωτη.
10-1-2018 [1,63] Ορισμός απεικόνισης επιφανειών και υπολογισμός παραγώγου της. Ορισμός τοπικής ισομετρίας μεταξύ επιφανειών. (Έξτρα μάθημα)
11-1-2018 [1,64] Μάθημα ασκήσεων στις επιφάνειες.
15-1-2018 [2,66] Ισομετρία και συνθήκη για τις ΠΘΜ. Παραδείγματα (κώνος/επίπεδο, αλυσοειδής/ελικοειδής επιφάνεια). Επιτάχυνση καμπύλης πάνω σε επιφάνεια.  Ισομετρία αλυσοειδούς και ελικοειδούς επιφάνειας
16-1-2018 [2,68] Σύμβολα Christoffel και ΔΕ με ΜΠ για τις παραγώγους της κινούμενης βάσης ( \mathbf{r}_u , \mathbf{r}_v , \mathbf{n} ). Συνθήκες συμβατότητας: εξισώσεις Codazzi-Mainardi και Gauss και το Theorema egregium του Gauss.
18-1-2018 [1,69] Βασικό θεώρημα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet) και συνέπειες (χωρίς απόδειξη). ΤΕΛΟΣ

top

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.