Εαρινό εξάμηνο 2015-2016
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις #
Η τρίτη εργασία αναρτήθηκε 7-6-16. Προθεσμία: μέχρι τις εξετάσεις, οι οποίες θα γίνουν την Τρίτη 28-6 στις 10πμ. Την Δευτέρα 13-6 στις 12 έχουμε συνάντηση για να δούμε τις εργασίες.
Η πρώτη εργασία να ετοιμαστεί μέχρι τη Δευτέρα 4 Απριλίου, στις 12. Nα την φέρετε στο γραφείο μου, χειρόγραφες ή με LaTeX είναι εντάξει, αλλά όχι με MS Word 🙂
Ώρες διδασκαλίας: Το μάθημα διδάσκεται σε δύο 90-λεπτα,Τρίτη, 11-12:30 (Αίθουσα Μ3) και Πέμπτη, 12-1:30μ.μ. (Αίθουσα Μ3).
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με εργασίες και μία τελική εξέταση. Πιθανόν να υπάρξουν και παρουσιάσεις.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων.
Ημερολόγιο#
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ |
| 18-2-2016 | Τί είναι η ΑΤ. Συμπαγείς επιφάνειες και χαρακτηριστική Euler. ΄Εχουμε συναντήσει στοιχεία Αλγεβρικής Τοπολογίας στη Διανυσματική Ανάλυση, διπλά διαφορικά, τοπολογικές συνθήκες ύπαρξης δυναμικών. | Εισαγωγή |
| 25-2-2016 | Θεωρήματα Stokes και Gauss και ύπαρξη “δυναμικών”, έννοιες συνεκτικότητας πέραν της “απλής”. Σύντομη παρουσίαση διαφορικών μορφών και συνομολογίας de Rham. | |
| 1-3-2-16 | Η μέθοδος της ΑΤ. Ομοιομορφισμοί, ομοτοπίες μεταξύ απεικονίσεων. Παραδείγματα. Αποτελέσματα για σφαίρες. | |
| 3-3-2016 | Ομοτοπική ισοδυναμία και τύπος ομοτοπίας. Συμπτύξεις και παραδείγματα. Μη-ύπαρξη σύμπτυξης του δίσκου στον κύκλο, θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Εισαγωγή στις κατηγορίες. | |
| 8-3-2016 | Συναρτητές. Αντιμεταθετικά διαγράμματα. Η κατηγορία hTop. Παραμορφωτικές συμπτύξεις και κύλινδρος απεικόνισης. | |
| 17-3-2016 | Συναρτητές ομοτοπίας: π0(Χ) και δρομοσυνεκτικότητα. Κατηγορία ζευγών ΤΧ, ομοτοπία δρόμων, γινόμενο δρόμων. | |
| 22-3-2016 | Θεμελιώδες ομαδοειδές. Ορισμός θεμελιώδους ομάδας π1(X, x0) σημειωμένου χώρου και συναρτητή π1 από την Top* στην Group. Εξάρτηση από το σημείο βάσης. | 1η Εργασία |
| 24-3-2016 | Θεώρημα:  . Χώροι κάλυψης και HLP. |
|
| 29-3-2016 | Απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας ανύψωσης ομοτοπίας για χώρους κάλυψης. Θεμελιώδης ομάδα για συμπτύξεις και παραμορφωτικές συμπτύξεις. | |
| 31-3-2016 | Θεώρημα Borsuk-Ulam. Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (τοπολογική απόδειξη). Θεώρημα:  |
|
| 5-4-2016 | Κατασκευές ομάδας από συλλογή ομάδων: ευθύ γινόμενο, ευθύ άθροισμα, ελεύθερο γινόμενο. Ορισμός ελεύθερης ομάδας F(S) σε σύνολο S (και ελεύθερης αβελιανής ομάδας). | |
| 7-4-2016 | Παραστάσεις ομάδων, γεννήτορες και σχετιστές. Καθολική ιδιότητα της F(S). Το θεώρημα των Seifert-van Kampen, διατύπωση και εφαρμογή για απλά συνεκτική τομή. | |
| 12-4-2016 | Εφαρμογές του θ. S-vK: α) θεμελιώδης ομάδα συμπαγούς επιφάνειας (τόρος, προβολικό επίπεδο), β) κόμβοι, ορισμοί και κατηγορία τορικών κόμβων. Η π1 του τετριμμένου κόμβου Κ0 είναι κυκλική. | |
| 14-4-2016 | Η σφαίρα ως ένωση δύο στερεών τόρων. Υπολογισμός ομάδας τορικών κόμβων. Προβολές κόμβου και υπολογισμός παράστασης γενικού κόμβου. Ομάδα του τρίφυλλου. | |
| 19-4-2016 | Χώροι κάλυψης (Covering spaces). Υπενθύμιση ορισμού και ιδιοτήτων ανύψωσης δρόμων και ομοτοπιών. Παραδείγματα. Ανυψωτική συμπεριφορά και ισοδυναμία ΧΚ. | |
| 21-4-2016 | Χώροι κάλυψης και θεμελιώδης ομάδα: συνθήκη για να υπάρχει ανύψωση, ισομορφία Χ.Κ. και ομάδα Χ.Κ., ταξινόμηση Χ.Κ. (διατύπωση μόνον.) | 2η Εργασία |
| 10-5-2016 | Ισοδύναμοι ΧΚ και χαρακτ. ομάδα. Κατασκευή ΧΚ για υπο-ομάδα της  . Ανάγκη υπόθεσης ημι-τοπικής απλής συνεκτικότητας. Καθολικοί ΧΚ. |
|
| 12-5-2016 | Συνοπτική παρουσίαση επιπλέον ιδιοτήτων και παραδειγμάτων ΧΚ (καθολικοί, διπλά καλύμματα). Θεωρία Ομολογίας: σύμπλοκα και ιδιάζοντα σύμπλοκα, σύνορο. | |
| 17-5-2016 | Πρόταση:  . Ορισμός ομάδων ομολογίας. Αλυσιδωτά σύμπλοκα και ο συναρτητής  . Στοιχειώδη παραδείγματα κύκλων και συνόρων. |
|
| 19-5-2016 |  ,  . Θεωρία Ελεύθερων Αβελιανών Ομάδων. Ομομορφισμός σε ομολογία που επάγει μία συνεχής απ.  . Απόδειξη στην κατηγορία Chain Αλυσ. Συμπλόκων. |
|
| 24-5-2016 | Ομοιόμορφοι ΤΧ έχουν ίδια ομολογία. Ομολογία κυρτού υποσυνόλου του Rn είναι μηδενική για  . Έννοια αλυσιδ. ομοτοπίας στην κατηγορία Chain –δίνει ισομορφισμό στην ομολογία. |
|
| 26-5-2016 | Ομοτοπικές απεικονίσεις δίνουν ίδιο ομομορφισμό σε ομολογία. Ακριβείς ακολουθίες, παραδείγματα. Βραχείες ακριβείς ακολουθίες. | |
| 31-5-2016 | Μακρά ακολουθία ομολογίας από βραχεία ακολουθία αλυσιδωτών συμπλόκων, λήμμα του φιδιού. | |
| 2-6-2016 | Μακρά ακολουθία σχετικής ομολογίας  . Μειωμένη ομολογία  . Υπολογισμός ομολογίας σφαιρών. Βασικό θεώρημα υπολογισμού ομολογίας και εξήγηση. |
|
| 7-6-2016 | Η ακολουθία Mayer-Vietoris. Εφαρμογές στον υπολογισμό της ομολογίας σφαιρών και του τόρου. | 3η Εργασία |
| 9-6-2016 | Ο βαθμός deg απεικ. f : Sn –> Sn, ιδιότητες και εφαρμογές. Εκτομή, το Λήμμα των 5 και απόδειξη. Εφαρμογή σε τοπική ομολογία. Διατύπωση (μόνο) του θεωρήματος Hurewicz. ΤΕΛΟΣ | |
| 13-6-2016 |