Τετάρτη Τρίτη 9:30-11:00 (Αίθουσα Μ3), Πέμπτη 12-1:30 (Αίθουσα Μ3) Παρασκευή 11-12:15 (Αίθουσα Α)
Παρουσίαση στοιχείων της θεωρίας μη-γραμμικών συστημάτων ελέγχου από γεωμετρική σκοπιά. Τα μαθηματικά εργαλεία, από τη Διαφορική Γεωμετρία και τα Δυναμικά Συστήματα, δεν θεωρούνται γνωστά και θα μας απασχολήσουν πρώτα. Έμφαση θα δοθεί και στη θεωρία ευστάθειας, με τοπική αλλά και ολική χρήση συναρτήσεων Lyapunov.
Ημερολόγιο
| Ημερομηνία | Κάλυψη Ύλης | Αρχεία |
| 4-10-2017 [1] | Εισαγωγή. Γραμμικά και μη-γραμμικά συστήματα ελέγχου. Παράδειγμα του απλού εκκρεμούς. | |
| 5-10-2017 [2] | Συστήματα σε κανονική μορφή, παραδείγματα γραμμικών ΔΣ σε 2 διαστάσεις, εκκρεμές. Ταύτιση ΔΣ και ΔΠ. Ορισμός τροχιάς και ροής. | |
| 17-10-2017 [3] | Οριακά σύνολα, παραδείγματα. Οριακός κύκλος, βασικό παράδειγμα σε πολικές συντεταγμένες. Απεικόνιση Poincaré. | |
| 20-10-2017 [4] | Ιδιότητες οριακών συνόλων, συμπαγή αναλλοίωτα σύνολα. Παράδειγμα: ρητή και άρρητη ροή στον τόρο. Θεωρία Poincaré-Bendixson στο επίπεδο. | |
| 24-10-2017 [5] | Εισαγωγή στις πολλαπλότητες. Παραδείγματα: καμπύλες και επιφάνειες, σφαίρα, προβολικός χώρος. | |
| 31-10-2017 [6] | Παραδείγματα (συνέχεια): γινόμενο πολ’των, τόροι, RPn. Η έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος, τρεις προσεγγίσεις. Εφαπτόμενος χώρος και δέσμη. | |
| 3-11-2017 [7] | Εφαπτόμενη δέσμη και διανυσματικά πεδία. Εμβυθίσεις και καταβυθίσεις πολλαπλοτήτων. | |
| 7-11-2017 [8] | Διανυσματικές δέσμες και τομές τους. Αγκύλη Lie δύο ΔΠ. | |
| 10-11-2017 [9] | Άλγεβρες Lie, ορισμός και παραδείγματα. Ορισμός Συστήματος Ελέγχου σε πολλαπλότητα. Δύο τρόποι εμπλουτισμού του συνόλου των ΔΠ ελέγχου, κυρτό περίβλημα και αγκύλες Lie. | |
| 14-11-2017 [10] | Μη-αντιμεταθετικότητα ροών, η γραμμική περίπτωση, γενικά. Η παράγωγος Lie για συναρτήσεις και ΔΠ (και διαφ. μορφές). Ομάδες Lie και άλγεβρες Lie, η ομάδα Gl(n,R). Αναφορά στον τύπο Campbell-Baker-Hausdorff. | |
| 28-11-2017 [11] | Κατανομές και τοπολογικοί λόγοι να μην έχουν σταθερό rank. Συστήματα ελέγχου ως υπο-άλγεβρες Lie της  . Ενειλιγμένες κατανομές. Υπο-πολλαπλότητες και ολοκληρώσιμες κατανομές. |
|
| 1-12-2017 [12] | Μέγιστες ολοκληρωτικές πολλαπλότητες. Το θεώρημα Frobenius, διατύπωση και αρχή απόδειξης. | |
| 5-12-2017 [13] | Απόδειξη Frobenius, τέλος. Παρατηρήσεις: τοπικό το θεώρημα, θέματα ολικής συμπεριφοράς, φυλλώσεις, άρρητη ροή στον τόρο. Drift-free συστήματα ελέγχου, πλήρης ελεγξιμότητα. Παράδειγμα: παράλληλο παρκάρισμα. | |
| 8-12-2017 [14] | Γενίκευση του Θ. Frobenius: κατανομές μεταβλητού βαθμού, διατύπωση του θεωρήματος Sussman-Stefan και ιδιάζουσες φυλλώσεις. Ανάγκη για ολική, αντί για τοπική ανάλυση δυναμικής συστημάτων. | |
| 12-12-2017 [15] | Δυναμική γραμμικών συστημάτων, ευσταθής/ασταθής/κεντρικός υποχώρος. Γραμμικοποίηση, μη-εκφυλισμένα και υπερβολικά σημεία ισορροπίας. | |
| 15-12-2017 [16] | Ορισμός τοπολογικής τροχιακής ισοδυναμίας. Τοπολογίες στον ΔΧ των ΔΠ, τοπολογία  του Whitney. Δομική ευστάθεια και ταξινόμηση γραμμικών συστημάτων με τον δείκτη  . Θεώρημα των Hartman-Grobman και ισχύς γραμμικοποίησης. |
Εργασία 1η |
| 19-12-2017 [17] | Χαρακτηρισμός δομικά ευσταθούς ΔΣ: τα ΣΙ είναι υπερβολικά. Ορισμός ευσταθούς/ασταθούς/κεντρικής (τοπικής) πολλαπλότητας, τομές τους (π.χ. σύνδεσμος σαγμάτων είναι δομικά ασταθής). | |
| 20-12-2017 [18] | Υπερβολικοί οριακοί κύκλοι, συνθήκη. 2η αναγκαία συνθήκη δομικής ευστάθειας: εγκαρσιότητα ευσταθών και ασταθών πολλαπλοτήτων. Πεδία κλίσης και Χαμιλτονιανά συστήματα. | |
| 23-1-2018 [19] | Μη-περιπλανώμενα και αλυσιδωτά επαναλαμβανόμενα σημεία. Ιδιότητες πεδίων κλίσης. Γενικεύσεις (Morse-Smale ) και ορισμός συναρτήσεων Lyapunov. Χαμιλτονιανά συτήματα και μέθοδος επίλυσης σε δύο διαστάσεις. | |
| 25-1-2018 [20] | Θεωρία ευστάθειας Lyapunov (στη Θεωρία Ελέγχου), βασικά θεωρήματα, παράδειγμα του εκκρεμούς. | |
| 1-2-2018 [21] | Εκκρεμές (συν.), περιοχή έλξης, ιδιότητες και προσεγγίσεις της, θεώρημα LaSalle. Δυναμική στην πολλαπλότητα κατάστασης. | |
| 2-2-2018 [22] | Γεωμετρική θεωρία ελέγχου: σχετικός βαθμός, μηδεν-δυναμική, προσέγγιση μέσω αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων και συναρτήσεων Lyapunov. ΤΕΛΟΣ | Εργασία 2η |