Εαρινό εξάμηνο 2023-2024, Μεταπτυχιακό Μάθημα
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις
Το μάθημα διδάσκεται Τρίτη 10:15-11:00 και Παρασκευή 11:15-13:00 στην αίθουσα Μ3.
Ενόσω διαρκεί η κατάληψη, τα μαθήματα γίνονται εξ αποστάσεως στο Zoom. Ο σύνδεσμος βρίσκεται στην 2η ιστοσελίδα του μαθήματος, στο e-learning.
Η βασική ιστοσελίδα του μαθήματος βρίσκεται εδώ στο e-learning.
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με εργασίες, και είτε με τελική προφορική ή γραπτή εξέταση, ή με μία εργασία σε ειδικό θέμα της επιλογής σας.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, χώροι κάλυψης, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο, αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, May, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων. Στα μεταπτυχιακά συγγράμματα στην βιβλιοθήκη υπάρχουν αντίτυπα των βιβλίων των Rotman, Bredon και tom Dieck. Ελεύθερα διαθέσιμα είναι τα βιβλία των Hatcher και J.P. May.
Ημερολόγιο
| Ημερομηνία, ώρες | Κάλυψη ύλης | Αρχεία |
|---|---|---|
| 13/2/24 [1,1] | Εισαγωγή: σκοπός της ΑΤ, τοπολογικοί χώροι, ισοδυναμία μέσω ομοιομορφισμών, ανάθεση αλγεβρικών αντικειμένων. Η χαρακτηριστική του Euler. | |
| 16/2/24 [2,3] | Ειδική περίπτωση: πολλαπλότητες. Για κλειστές προσανατολίσιμες επιφάνειες η χ αρκεί, γενικά όχι. Μη-προσανατολίσιμες επιφάνειες και το συνεκτικό άθροισμα. Οι δύο προσεγγίσεις με θεμελιωτή τον Poincaré, η θεμελιώδης ομάδα και οι ομάδες ομολογίας, σε τί διαφέρουν, παραδείγματα. | |
| 20/2/24 [1,4] | Τοπολογικές έννοιες που είδατε στη Διανυσματική Ανάλυση, βαθμωτά και διανυσματικά πεδία και παράγωγοι τους, αστρόβιλα και ασυμπίεστα ΔΠ, αντίστροφο πρόβλημα, ορισμός συνάρτησης δυναμικού σε απλά συνεκτικό τόπο, τα θεωρήματα Green, Stokes, Gauss. | |
| 23/2/24 [2,6] | Εισαγωγή στη θεωρία Κατηγοριών, κατηγορίες, παραδείγματα, ισομορφισμοί, υποκατηγορίες, αντίθετη κατηγορία, αρχικά και τελικά αντικείμενα. Συναρτητές, παραδείγματα, διαγράμματα, διατήρηση ισομορφισμών. | |
| 27/2/24 [1,7] | Ομοτοπία, είναι σχέση ισοδυναμίας, το λήμμα συγκόλλησης (Glueing lemma), αναφορά στην τοπολογία compact-open στον χώρο C(X,Y), το σύνολο [X,Y] των ΚΙ. Παραδείγματα, η αφινική (γραμμική) ομοτοπία, διατύπωση θεωρήματος για διανυσματικά πεδία σε σφαίρες. | |
| 1/3/24 [2,9] | Απόδειξη θεωρήματος για ύπαρξη παντού μη-μηδενικού ΔΠ σε σφαίρες περιττής διάστασης μόνο. Ομοτοπική ισοδυναμία και τύπος ομοτοπίας ΤΧ, σύμπτυξη και παραμορφωτική σύμπτυξη (ως strong deformation retraction), η κατηγορία hTop. | |
| 5/3/24 [1,10] | Δρομο-ομοτοπία και το θεμελιώδες ομαδοειδές, γινόμενο και επαλήθευση ότι έχουμε κατηγορία. | |
| 8/3/24 [2,12] | ||