Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις, Πληροφορίες
Η βασική ιστοσελίδα του μαθήματος είναι στο e-learning: https://elearning.auth.gr/course/view.php?id=13626 και περιλαμβάνει πλήρη video, εργασίες και άλλο χρήσιμο υλικό. Εδώ θα έχουμε αναλυτικό Ημερολόγιο με την κάλυψη της ύλης.
Περιγραφή: Θεωρία καμπυλών στο επίπεδο και τον χώρο: έννοια της καμπύλης. παραμετρήσεις και φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα και στρέψη. Τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίακμο). Εφαπτόμενος κύκλος και τετραγωνική προσέγγιση καμπύλης. Εξισώσεις Frenet-Serret και το Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας καµπύλων. Επίπεδες καμπύλες: καμπυλότητα και μεταβολή γωνίας.
Στοιχειώδης θεωρία επιφανειών: ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας και συνθήκη κανονικότητας. Βασικά παραδείγματα, επιφάνειες εκ περιστροφής, γραφήματα. Πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, έννοιες καμπυλότητας. Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήματος (απεικόνιση Weingarten). Ισομετρία μεταξύ επιφανειών. Τα σύμβολα Christoffel, συνθήκες συμβατότητας και το Theorema egregium του Gauss. Θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας επιφανειών (Bonnet).
Διδασκαλία: Δευτέρα 9-10 (Δ11), Τρίτη 12-2 (Δ11) και Παρασκευή 12-2 (Δ31)
Ενδεικτική βιβλιογραφία:
- M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2nd ed. Dover 2016
- A. Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd ed. Springer 2010 (και στον Εύδοξο, μεταφρασμένη η 1η έκδοση)
- M. Lipschutz: Schaum’s Outline of Differential Geometry, McGraw 1969
- Αρβανιτογεώργος Α.: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Κάλλιπος 2015 (ελεύθερη πρόσβαση)
Οδηγός μελέτης: Όπως κάθε αντικείμενο των Μαθηματικών, η γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών θέλει συνεχή απασχόληση και δουλειά για να αφομοιωθεί καλά. Για τους περισσότερους, είναι καλό να κρατάτε σημειώσεις. Η τακτική επανάληψη των σημειώσεων είναι απαραίτητη, ώστε να κατανοηθούν όλες οι έννοιες που καλύπτονται. Αλλά αυτό δεν αρκεί: πρέπει να συμπληρωθεί με πιό “ενεργητική” μελέτη, δηλαδή με κατ’ αρχήν καλή εξάσκηση στις βασικές τεχνικές, με επιπλέον παραδείγματα δικής σας επινόησης και κατόπιν με επίλυση πιο απαιτητικών προβλημάτων (είτε από εργασίες μας, είτε από βιβλία). Είναι φυσικά κρίσιμο να μην μείνετε πίσω στις παραδόσεις. Σκοπός σας πρέπει να είναι να “κατακτήσετε το αντικείμενο”, να το “κάνετε δικό σας”, έχοντας χτίσει τον προσωπικό σας τρόπο ερμηνείας και κατανόησης. Μην φοβάστε τα λάθη και μην διστάζετε να ρωτάτε συνέχεια ερωτήσεις για ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε –είναι τελείως φυσικό να μην είναι απόλυτα σαφές το κάθε τί την πρώτη φορά.
Και τέλος κάποιες καλές συμβουλές εδώ κι εδώ από συναδέλφους.
Ημερολόγιο
[ν,μ] : ν ώρες, μ ώρες συνολικά (5 ώρες ανά εβδομάδα)
| Ημερομηνία, Ώρες | Κάλυψη ύλης | Αρχεία |
|---|---|---|
| 2/10/23 [1,1] | Εισαγωγή: εξήγηση της ΚΔΓ ως μελέτης γεωμετρικών αντικειμένων με εργαλεία από διαφορικό λογισμό. Καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο, καμπυλότητα και στρέψη. | |
| 3/10/23 [2,3] | Επιφάνειες, παραδείγματα, κανονικότητα. Πώς μπορεί να μετρηθεί η καμπύλωση επιφάνειας; Γραφήματα δίνουν επιφάνειες. Ελλειπτικά, υπερβολικά και παραβολικά σημεία. Προαπαιτούμενες γνώσεις: Επισκόπηση διανυσματικών χώρων, γραμμικοί συνδυασμοί και ανάπτυγμα, γραμμική ανεξαρτησία. | |
| 10/10/23 [2,5] | Εσωτερικά γινόμενα, θετικά ορισμένες τετραγωνικές μορφές, παραδείγματα, κριτήριο Sylvester, φασματικό θεώρημα. Ορθοκανονικές βάσεις, παραδείγματα. | |
| 13/10/23 [2,7] | Προβολή διανύσματος σε υποχώρο, σε ΕΔΧ. Η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης Gram-Scmidt, παράδειγμα. Η ορίζουσα, ιδιότητες και γεωμετρική ερμηνεία. | |
| 17/10/23 [2,9] | Προσανατολισμοί βάσης. Ορίζουσα ως μοναδική πολυγραμμική, εναλλασσόμενη μορφή, με det I=1. Εξωτερικό γινόμενο, πρώτος ορισμός και γεωμετρική ερμηνεία, εμβαδά προβολών, ιδιότητες (από τη γεωμετρία). Δεύτερος ορισμός και γεωμετρική ερμηνεία. Τριπλό (ή μεικτό) γινόμενο, ιδιότητες. Αφινικοί χώροι, σύνολα λύσεων ΣΓΕ ως βασικά παραδείγματα. | |
| 20/10/23 [2,11] | Ευκλείδειοι ΔΧ και ΑΧ. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών: ορισμοί, η έννοια της παραγώγου ως γραμμικής απεικόνισης ΔΧ σε σημείο και την εικόνα του. Προσέγγιση συνάρτησης, τοπικά, από αφινική συνάρτηση | |
| 23/10/23 [1,12] | Τα Θεωρήματα Αντίστροφης και Πεπλεγμένης Συνάρτησης, και ερμηνεία τους μέσω καλής αφινικής προσέγγισης. | |
| 24/10/23 [2,14] | ΘΑΣ και ΘΠΣ, το ομογενές ΣΓΕ που δίνει αφινικό γράφημα για το ΘΠΣ. Χρήση του ΘΑΣ σε αλλαγές μεταβλητών, παραδείγματα: πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο και σφαιρικές στο χώρο, περιορισμοί για να έχουμε ολικά διαφορομορφισμό. | |
| 30/10/23 [1,15] | Καμπύλες: ορισμός κανονικής παραμέτρησης και η συνθήκη κανονικότητας, παραδείγματα. | |
| 31/10/23 [2,17] | [Ημίωρο Τέστ] Παραδείγματα, συνέχεια. Καμπύλες από τομή επιφανειών και το ΘΠΣ. Ανάπτυγμα Taylor της r(t), αφινική προσέγγιση είναι η εφαπτόμενη ευθεία, καμπύλωση από όρους υψηλότερης τάξης. | |
| 3/11/23 [2,19] | Επιτάχυνση και καμπυλότητα, ανάγκη να μην έχουμε γραμμική συνιστώσα της. Αναπαραμετρήσεις καμπυλών, συνάρτηση μήκους, φυσική παραμέτρηση καμπύλης, παραδείγματα, δυσκολία αναλυτικού υπολογισμού. Πρόταση: για κίνηση πάνω σε σφαίρα, η ταχύτητα είναι κάθετη στο διάνυσμα θέσης, απόδειξη. Επομένως, για καμπύλη με σταθερό μέτρο ταχύτητας, η επιτάχυνση είναι κάθετη στην ταχύτητα. | |
| 6/11/23 [1,20] | Ορισμός συνάρτησης καμπυλότητας κ(s). Μηδενική καμπυλότητα δίνει ευθύγραμμη κίνηση. Μη-μηδενική κ και ορισμός καθέτου n(s). Το εφαπτόμενο (αφινικό) επίπεδο σε σημείο και η ορθοκανονική αφινική βάση (ρ(s), t(s), n(s)). Τετραγωνικό ανάπτυγμα Taylor. | |
| 7/11/23 [2,22] | Δισκάθετο διάνυσμα και ο.κ. βάση (Frenet frame, πλαίσιο, τρίακμο). Προσεγγίσεις, εφαπτόμενη ευθεία, εφαπτόμενη παραβολή. Επαφή τάξης k μεταξύ καμπυλών, εφαπτόμενος κύκλος. | |
| 10/11/23 [2,24] | Η κινούμενη βάση Frenet και τα τρία επίπεδα σε κάθε σημείο. Οι εξισώσεις Frenet-Serret, πρωτοβάθμιο σύστημα γραμμικών ΔΕ, το Θεμελιώδες θεώρημα. Η στρέψη ως ρυθμός μεταβολής του εφαπτομένου επιπέδου. Μηδενική στρέψη δίνει επίπεδη καμπύλη. | |
| 13/11/23 [1,25] | Επαναδιατύπωση ΔΕ Frenet-Serret, d/ds U(s) = U(s) A(s), U(s) ορθογώνιος, A(s) αντισυμμετρικός. Παράδειγμα υπολογισμού, έλικα έχει σταθερή καμπυλότητα και στρέψη, από μοναδικότητα λύσεων και αντίστροφα. Υπολογισμοί από αρχική (μη-φυσική) παραμέτρηση: παράγωγοι της ρ(s) δεν χρειάζονται τις συναρτήσεις s(t), t(s), μόνο τις παραγώγους των. | |
| 14/11/23 [2,27] | Εφαπτόμενο επίπεδο ως ανάπτυγμα ταχύτητας και επιτάχυνσης της r(t). Τρόποι υπολογισμού στρέψης από φυσική παραμέτρηση. Υπολογισμοί κ και σ από αρχική παραμέτρηση, παράδειγμα. Δύο μέθοδοι υπολογισμού ο.κ. βάσης Frenet. | |
| 20/11/23 [1,28] | Καμπύλες σε επίπεδο. Αλλαγές στον ορισμό μοναδιαίου καθέτου και καμπυλότητας, παραδείγματα, σπείρες. | |
| 21/11/23 [2,30] | Πρόσημο καμπυλότητας και στροφές αριστερά/δεξιά. Εξισώσεις για την κινούμενη βάση, ύπαρξη και μοναδικότητα, ειδικές περιπτώσεις λύσεων. Υπολογισμός ο.κ. βάσης και καμπυλότητας από μη-φυσική παραμέτρηση, παράδειγμα σπείρας. Γωνία: μέτρηση σε rad, δυσκολίες στον ορισμό (απόλυτης) γωνίας, ρυθμός μεταβολής γωνίας για κίνηση στον μοναδαιαίο κύκλο. | |
| 24/11/23 [2,32] | Ορισμός ρυθμού μεταβολής γωνίας και συνολικής μεταβολής γωνίας για κίνηση στον μοναδιαίο κύκλο. Ρυθμός μεταβολής γωνίας και καμπυλότητα. Ολοκλήρωμα καμπυλότητας δίνει συνολική μεταβολή γωνίας, εφαρμογές, παραδείγματα. Κλειστές καμπύλες και το Θεώρημα Jordan. | |
| 27/11/23 [1,33] | Ορισμός και γενικευμένες έννοιες καμπύλης (τμηματικά C^2, εμβυθισμένη), εύρεση καμπύλης από γράφημα της κ, παραδείγματα με συνολική μεταβολή γωνίας 2kπ, η περίπτωση k=0. Το Θεώρημα Umlaufsatz. Αναφορά στο θεώρημα του Whitney για παραμορφώσεις καμπυλών και αναλλοίωτο του δείκτη k. | |
| 28/11/23 [2,35] | Θεωρία Επιφανειών: παραδείγματα γνωστών επιφάνειες, τρόποι ορισμού ως γραφήματα και ως αντίστροφες εικόνες λείας f:R3->R1, δυσκολίες (διάσταση μικρότερη του 2, αυτοτομές), επιλογή χρήσης κανονικών παραμετρήσεων, συνθήκη κανονικότητας, παραδείγματα. | |
| 29/11/23 [2,37] | [Αναπλήρωση 1η] Παραδείγματα (συνέχεια), σφαίρες. Ορισμός εφαπτόμενων διανυσμάτων και εφαπτόμενου επιπέδου σε κάθε σημείο επιφάνειας. Ορισμός επιφάνειας. Κάθετο μοναδιαίο πεδίο και προσανατολίσιμες επιφάνειες. | |
| 1/12/23 [2,39] | Μη-προσανατολίσιμες επιφάνειες, η λωρίδα του Möbius. Κατηγορίες επιφανειών: γραφήματα, πάντα δίνουν κανονική παραμέτρηση, παραδείγματα. Αλλαγή μεταβλητών για δύο κανονικές παραμετρήσεις, σχέση μεταξύ των βάσεων του εφαπτόμενου επιπέδου, παραδείγματα. Πρόταση: κάθε επιφάνεια είναι, τοπικά, γράφημα. | |
| 4/12/23 [1,40] | Απόδειξη της Πρότασης ότι κάθε επιφάνεια δίνεται, τοπικά, ως γράφημα. Κατηγορίες επιφανειών (συνέχεια): Επιφάνειες εκ περιστροφής. Περιστροφές σε ΕΔΧ και πίνακές τους. Ορισμός παραμέτρησης επιφάνειας με περιστροφή κανονικής καμπύλης. | |
| 5/12/23 [2,42] | Παράδειγμα επιφανειών εκ περιστροφής, ο τόρος. Υπολογισμός εμβαδού (τμήματος) επιφάνειας μέσω της συνάρτησης απεικόνισης στοιχείου εμβαδού, παραδείγματα υπολογισμών. | |
| 8/12/23 [2,44] | Η πρώτη θεμελιώδης μορφή (ΠΘΜ) ως προς παραμέτρηση. Μετρήσεις πάνω σε επιφάνεια με χρήση της ΠΘΜ (μήκη και γωνίες εφαπτόμενων διανυσμάτων, μήκος καμπύλης πάνω σε επιφάνεια, εμβαδόν). Σχέση με την συνάρτηση απεικόνισης στοιχείου εμβαδού. | |
| 11/12/23 [1,45] | Σύνοψη χρησιμότητας ΠΘΜ, εμβαδόν γραφήματος. Λοξοδρομίες στην σφαίρα, περιγραφή και ιστορία, αναλυτική μορφή λύσεων μέσω της σφαιρικής παραμέτρησης. | |
| 12/12/23 [2,47] | Μελέτη καμπύλωσης επιφάνειας: πρώτη από 3 προσεγγίσεις: απόκλιση από εφαπτόμενο επίπεδο και ορισμός Δεύτερης Θεμελιώδους Μορφής ως προς παραμέτρηση P(u,v). Παραδείγματα, σχέση με τον εσιανό πίνακα για γραφήματα. Ταξινόμηση σημείων σε ελλειπτικά, υπερβολικά, παραβολικά (και 2 ακόμα τύπους), παραδείγματα και σχέση με συνθήκες για μέγιστο/ελάχιστο ή σαγματικό σημείο συνάρτησης. | |
| 15/12/23 [2,49] | Ταξινόμηση σημείων του τόρου. Η δεύτερη προσέγγιση: μεταβολή του εφαπτόμενου επιπέδου, μέσω του μοναδιαίου καθέτου ΔΠ, η απεικόνιση Gauss, παραδείγματα εικόνων. | |
| 18/12/23 [1,50] | Η μέτρηση καμπύλωσης θα γίνει μέσω της παραγώγου της απεικόνισης Gauss. Γενικά: ορισμός λείας απεικόνισης μεταξύ δύο επιφανειών. Η παράγωγος είναι γραμμική απεικόνιση αντίστοιχων εφαπτόμενων επιπέδων (ως προς βάσεις από παραμετρήσεις), έκφραση μέσω της παραγώγου της λείας απεικόνισης των Π.Ο. των παραμετρήσεων. | |
| 19/12/23 [2,52] | Περιγραφή της παραγώγου της απεικόνισης Gauss ταυτίζοντας τα 2 εφαπτόμενα επίπεδα. Υπολογισμός του πίνακα της Dn ως προς τη βάση (r_u,r_v). Παράδειγμα και ερμηνεία, οι εξισώσεις Weingarten. Η 3η προσέγγιση θα μελετήσει την καμπύλωση μέσω καμπυλών πάνω στην επιφάνεια. [22/12/23 Αναβλήθηκε] | |
| 8/1/24 [1,53] | 3η προσέγγιση: ορισμός κάθετης καμπυλότητας, απόδειξη ότι είναι συνάρτηση του μοναδιαίου διανύσματος ταχύτητας μόνο, καμπύλες από τομή επιφάνειας με κάθετα επίπεδα. Ο τελεστής σχήματος S και ο πίνακάς του. | |
| 9/1/24 [2,55] | Ο τελεστής σχήματος είναι συμμετρικός, απόδειξη. Εκδοχή του Φασματικού Θεωρήματος για γενικό ΕΔΧ (απόδειξη στα video), πρωτεύουσες καμπυλότητες και κατευθύνσεις. Ο τύπος του Euler για την συνάρτηση κάθετης καμπυλότητας στο μοναδιαίο κύκλο, οι κ1, κ2 ως μέγιστη και ελάχιστη καμπυλότητα. Παραδείγματα και γεωμετρική ερμηνεία, κύλινδροι. | |
| 10/1/24 [2,57] | [Αναπλήρωση] Παραδείγματα: σφαίρες και τόροι, ασυμπτωτικές κατευθύνσεις, ταξινόμηση σημείων, καμπυλότητα Gauss Κ και μέση καμπυλότητα Η, αναλλοίωτο της Κ για αλλαγή παραμέτρησης, απόδειξη. Σύνοψη των τριών προσεγγίσεων και σχέσεις μεταξύ τους. | |
| 12/1/24 | [Δεν έγινε μάθημα. Κατάληψη Σχολής] | |
| 15/1/24 [1,58] | Οι 3 προσεγγίσεις, ρόλος της ΔΘΜ -- γιατί 2Χ2; -- (Πρόταση: μηδενικός Ρ δίνει επίπεδη επιφάνεια), των πρωτευουσών καμπυλοτήτων κ1, κ2 και της καμπυλότητας Gauss, η οποία είναι όπως θα δούμε αναλλοίωτη για τοποθετήσεις χωρίς παραμόρφωση μηκών (ισομετρίες). Υπενθύμιση λείας απεικόνισης επιφανειών και ορισμού παραγώγου της. Ορισμός γραμμικής ισομετρίας (ορθογώνιας απεικόνισης) από ΕΓ Ι. | |
| 16/1/24 [2,60] | Υπενθύμιση λείας απεικόνισης επιφανειών και παραγώγου της. Ορισμός τοπικής ισομετρίας και έκφραση μέσω των πινάκων της ΠΘΜ, είναι τοπικά αντιστρέψιμη. Παραδείγματα: 1) Κύλινδρος και επίπεδο, 2) Κώνος και επίπεδο, 3) Αλυσοειδής και ελικοειδής επιφάνεια (υπολογισμός ΠΘΜ για αλυσοειδή μόνο). | |
| 17/1/24 [2,62] | [Αναπλήρωση] Ισομετρία αλυσοειδούς και ελικοειδούς επιφάνειας, ελαχιστικές επιφάνειες. Κινούμενη βάση σε επιφάνεια, εύρεση συντεταγμένων διανύσματος ως προς αυτήν. ΔΕ για τις παραγώγους, τα σύμβολα Christoffel και υπολογισμός τους μόνο από τα στοιχεία του πίνακα της ΠΘΜ. | |
| 19/1/24 [2,64] |