Εαρινό εξάμηνο 2016-2017
Περιεχόμενα
Ανακοινώσεις #
Υπενθύμιση: Μάθημα αύριο Τετάρτη 24-5 στις 1μμ.
Η πρώτη εργασία εδώ (με προθεσμία έως την Τετάρτη 3-5).
Αναπλήρωση: Την Τετάρτη 1 Μαρτίου στις 11π.μ. (Αίθ. Μ3) θα γίνει εκτάκτως μάθημα αναπλήρωσης.
Ώρες διδασκαλίας: (με αλλαγές, όπως προτάθηκαν την πρώτη δεύτερη βδομάδα)
Το μάθημα διδάσκεται σε δύο 90-λεπτα, Τρίτη, 11-12:30 (Αίθουσα Μ3) και Τετάρτη, 11-12:30 (Αίθουσα Μ3) .
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με εργασίες και μία τελική εξέταση. Πιθανόν να υπάρξουν και παρουσιάσεις.
Περιγραφή: Το μάθημα αυτό είναι μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία η οποία θα προσπαθήσει να παρουσιάσει μερικά από τα πολλά θέματα Άλγεβρας τα οποία αναπτύχθηκαν μέσω του αντικειμένου αυτού, αλλά χωρίς να χαθεί η πολύ ενδιαφέρουσα γεωμετρική/τοπολογική σκοπιά.
Σκοπός είναι να καλυφθεί η βασική θεωρία (θεμελιώδης ομάδα, χώροι κάλυψης, ομολογία) και παράλληλα να δοθούν βασικές κατηγορίες χώρων και κάποια στοιχεία της ταξινόμησής τους.
Δεν θα παρακολουθήσουμε κάποιο συγκεκριμένο βιβλίο, αλλά έχουμε την τύχη να έχουμε διαθέσιμα αρκετά εξαιρετικά συγγράμματα, όπως αυτά των Hatcher, Rotman, Bredon, Massey, tom Dieck, Greenberg & Harper και άλλων.
Ημερολόγιο#
| ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ | ΚΑΛΥΨΗ ΥΛΗΣ | ΑΡΧΕΙΑ, ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΥΛΙΚΟ |
| 21-2-2017 | Εισαγωγικά, ιστορική ανασκόπηση. Αλγεβρική τοπολογία στην Διανυσματική Ανάλυση! | Πηγές για διαφορικές μορφές και συνομολογία de Rham: 1) Madsen & Tornehave 2) L. Tu Intro to Manifolds |
| 1-3-2017 | Χαρακτηριστική Euler, κανονικά πολύεδρα και γενικεύσεις. Πολλαπλότητες και ταξινόμηση επιφανειών. | ΔΑ και συνομολογία |
| 7-3-2017 | Η μέθοδος της ΑΤ, ταξινόμηση μέσω ομοιομορφισμού για επιφάνεις/πολλαπλότητες αλλά μέσω ομοτοπίας γενικά. Ορισμοί ομοτοπικής ισοδυναμίας, τύπου ομοτοπίας, σύμπτυξης και παραμορφωτικής σύμπτυξης. | |
| 8-3-2017 | Κατηγορίες και συναρτητές. Παραδείγματα. Ισομορφισμοί. Εφαρμογή του συναρτητή ομολογίας για να δείξουμε το θεώρημα Brouwer. | |
| 14-3-2017 | Συναλλοίωτοι και ανταλλοίωτοι συναρτητές. Αντιμεταθετικά διαγράμματα σε κατηγορία. Η κατηγορία hTop . Συνεκτικότητα και δρομοσυνεκτικότητα, ο συναρτητής π0 από την hTop στην Set. Ομοτοπία ζευγών και η κατηγορία Top2 ζευγών Τ.Χ. | |
| 15-3-2017 | Θεμελιώδης ομάδα: ομοτοπία δρόμων rel  . Γινόμενο και ιδιότητες ομαδοειδούς. Θεμελιώδης ομάδα και ο συναρτητής π1 από την κατηγορία των σημειωμένων χώρων hTop* στην Group. |
|
| 21-3-2017 | Εξάρτηση θεμ. ομάδας από σημείο βάσης. Μέθοδοι υπολογισμού θεμ. ομάδας (επισκόπηση).  : εκθετική συνάρτηση και χώροι κάλυψης. Θεωρήματα ανύψωσης δρόμου και δρομο-ομοτοπίας. |
|
| 22-3-2017 | Θεώρημα ανύψωσης ομοτοπίας για χώρους κάλυψης και απόδειξη του από αυτό. Στοιχεία απόδειξης του θεωρήματος. |
|
| 28-3-2017 | Ελεύθερη ομοτοπία. Απλή συνεκτικότητα. Θεμελ. ομάδα καρτεσιανού γινομένου χώρων, ομάδα τόρου. Σύμπτυξη και παραμορφ. σύμπτυξη και π1. Εφαρμογές: θεωρήματα Brouwer, Borsuk-Ulam. | |
| 29-3-2017 | Το θεώρημα Borsuk-Ulam και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Ευθύ γινόμενο και ευθύ άθροισμα συλλογής ομάδων. Η έννοια του ελεύθερου γινομένου ομάδων. | |
| 4-4-2017 | Ελεύθερο γινόμενο και ελεύθερη ομάδα. Παράσταση ομάδας μέσω γεννητόρων και σχετιστών. Παραδείγματα, μη-μοναδικότητα παράστασης. Καθολική ιδιότητα ελεύθερης ομάδας, προβλήματα του Dehn. | |
| 5-4-2017 | Το θεώρημα των Seifet και van Kampen. Η έννοια του coproduct σε κατηγορία και ελεύθερο γινόμενο με amalgamation. Στοιχεία της απόδειξης του θεωρήματος. Εφαρμογή όταν η τομή  είναι απλά συνεκτική και όταν το ένα υποσύνολο είναι απλά συνεκτικό. |
Εργασία 1η |
| 25-4-2017 | Εφαρμογές του θεωρήματος Seifert-van Kampen: θεμελιώδης ομάδα επιφανειών. Κόμβοι, ορισμός και θεμελιώδης ομάδα του. | |
| 26-4-2017 | Θεμελιώδης ομάδα κόμβου: 1) για τορικούς κόμβους και 2) για γενικούς κόμβους από διάγραμμα. | Τορικός κόμβος 1 και 2 |
| 2-5-2017 | Παραστάσεις Wirtinger για την θεμελιώδη ομάδα κόμβου. Χώροι κάλυψης, βασικές ιδιότητες, Λήμμα Μονοδρομίας και παραδείγματα. | |
| 3-5-2017 | Χώροι κάλυψης. Συμπεριφορά ανύψωσης, ισοδύναμοι ΧΚ, χαρακτηριστική ομάδα ΧΚ. Θεώρημα Κριτηρίου Ανύψωσης, απόδειξη. | |
| 9-5-2017 | Μοναδικότητα ΧΚ μεσω χαρακτ. ομάδας. Ύπαρξη ΧΚ για οπιαδήποτε υπο-ομάδα G της π1 του Χ. Υπόθεση ημιτοπικής απλής συνεκτικότητας. Καθολικοί ΧΚ. | |
| 10-5-2017 | ΟΜΟΛΟΓΙΑ: κανονικά μονόπλοκα, ιδιάζοντα μονόπλοκα, οι ΕΑΟ Sp (X) και οι απεικονίσεις συνόρων. | |
| 23-5-2017 | Απόδειξη της ιδιότητας  , αλυσιδωτά σύμπλοκα και η κατηγορία Chain. Ορισμός ομάδων ομολογίας, κύκλοι και σύνορα. Υπολογισμός ομολογίας χώρου-σημείου. |
|
| 24-5-2017 | Πρόταση:  (για δρομοσυνεκτικό χώρο). Ομολογία αλυσιδωτών συμπλόκων, αναλλοίωτο τοπολογικής κλάσης της ομολογίας. Πρόταση: Για κυρτό υποσύνολο του  . Αλυσιδωτές ομοτοπίες στην Chain. |
|
| 30-5-2017 | Θεώρημα αναλλοίωτου ομοτοπίας για ομολογία. Στοιχεία ομολογικής άλγεβρας: ακριβείς ακολουθίες, παραδείγματα. | |
| 31-5-2017 | Ορισμός συνδετικού ομομορφισμού, snake lemma. Ορισμός σχετικής ομολογίας και μ.α.α. της. | |
| 6-6-2017 | Μειωμένη Ομολογία. Εφαρμογή μ.α.α. σχετικής ομολογίας: ομολογία σφαιρών. Ομολογία στηριγμένη σε συλλογή υποσυνόλων, βασικό θεώρημα. Προεργασία για απόδειξη ακολουθίας Mayer-Vietoris. | |
| 19-6-2017 | Η ακολουθία Mayer-Vietoris και εφαρμογές (σφαίρες, τόρος, θεωρία βαθμού). Το θεώρημα εκτομής (excision), το λήμμα των 5 και τοπική ομολογία ΤΕΛΟΣ |